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Du même publieur

y
S.
e-mail:
aluations
de
Dériv
F13288
ées,
Ev
Multiplication
de
dans
y
les
9
Corps
CEDEX
Finis
r
et
R.
Co
Institut
des
Mathématiques
Correcteurs
Lumin
Nicolas
Lumin
Arnaud
Case
27
30,
juin
Marseille
2006
9
N.
arnaud@iml.univ-mrs.f
Arnaud,
1
C.
N..
6.1
non
ten
dèle
ts
7
1
.
In
.
tro
.
duction
.
générale
.
4
et
2
.
Un
.
algorithme
La
de
.
m
.
ultiplication
.
rapide
6.5
5
construction
2.1
.
Complexité
2
bilinéaire
.
de
.
la
co
m
.
ultiplication
6.1.1
.
.
.
our
.
.
.
.
.
.
.
6.3
.
.
.
Préliminaires
.
.
.
.
.
TVZ
.
.
5
.
2.1.1
.
Présen
our
tation
places
a
.
lgébrique
.
de
.
la
.
complexité
In
bilinéaire
our
.
cteurs
.
.
.
.
5
m-métrique
2.1.2
.
Com
.
ple
o
x
32
ité
.
et
.
complexité
.
bilinéaire
Résultats
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
des
6
.
2.2
non
Résultats
tati
an
.
térieurs
.
.
Propriétés
.
.
.
.
.
8
.
n
.
aleur
.
eaucoup
.
degré
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
.
duction
.
correcteurs
.
m-métriques
.
des
.
m-métriques
.
.
.
.
6
.
2.3
.
Nouv
notion
eaux
.
résultats
.
.
.
.
.
.
31
.
de
.
correcteur
.
distance
.
Un
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
.
térieurs
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
eaux
.
.
.
.
8
.
3
.
Une
.
généralisation
.
de
6.4
l'algorithme
.
d
.
e
.
s
.
frères
.
Ch
.
udno
des
vsky
usuels
9
.
4
.
T
ranemen
ours
amélioran
de
7.1
b
de
ons
.
corps
.
de
.
fonctions
.
15
36
4.1
.
La
.
construction
.
de
.
S.
.
Ballet
.
.
b
.
e
.
TVZ
.
les
.
de
.
Con
.
de
.
de
.
un
.
deux
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
.
5
.
Les
.
nouv
.
elles
.
b
.
ornes
.
16
6
5.1
tro
La
aux
métho
des
de
p
appliquée
les
à
31
la
Co
construc
corre
tio
et
n
.
de
.
S.Ballet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
16
La
5.2
de
La
.
même
.
métho
.
de
.
sur
.
la
.
tour
.
de
.
Garcia-Stic
.
h
6.1.2
tenoth-Rüc
notion
k
c
.
de
.
p
25
une
5.2.1
donnée
D
6.1.3
escription
mo
de
.
la
.
tour
.
de
.
Garcia-Stic
.
h
.
t
.
enoth-Rüc
.
k
.
.
.
.
.
.
.
25
.
5.2.2
6.2
G
an
enre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
.
Nouv
.
résultats
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
25
Notations
5.2.3
.
Nom
.
bre
.
de
.
places
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
.
Construction
.
m-Co
.
Géométriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
.
Un
.
t
.
linéaire
.
t
.
36
.
Présen
25
on
5.2.4
la
Ob
.
ten
.
tion
.
de
.
la
.
b
.
orne
.
.
.
.
.
.
7.2
.
asymptotiques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
.
Une
.
orne
.
constructiv
26
améliora
5.3
t
Des
p
tours
toutes
de
v
fonctions
s
a
44
v
ec
b
δdes
.
.
Déco
3
dage
linéaires
en
.
liste
.
48
Le
9.1
des
Le
.
cas
.
des
.
m-co
.
des
.
géométriques
9.2
usuels
cas
.
co
.
non
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
.
9
48m-métrique
qui
de
In
1
tro
T
duction
t
générale
traite
La
section
section
so
2
section
présen
t
te
l'existence
la
précédemmen
notion
cas
de
les
complexité
duit
bilinéaire,
co
certains
la
résultats
blo
qui
la
y
t
son
t
t
La
liés
lle
ainsi
d'étendre
que
Enn
nos
en
nouv
i
elles
en
b
ornes.
ornes
in
p
notion
our
celle
c
correcteur
ette
ainsi
complexité.
géométrique
La
et
sec-
L
tion
présen
3
d'une
présen
des
te
paramètres
l'algorithme
alués,
général
p
que
vue
nous
8
a
autre
v
co
ons
p
construit
résul-
et
obten
qui
dernière
nous
déco
a
adapté
p
m
ermis
s.
d'obtenir
et
les
déduisons
b
b
ornes.
La
Cet
6
algorithme
tro
nécessite
la
des
de
courb
et
es
de
don
de
t
as-
l
ciée,
e
que
s
construction
propriétés
de
détermineron
sfasman
t
Rosen
son
om.
ecacité,
a
la
7
section
te
4
construction
présen
famille
te
co
des
don
courb
les
es
son
qui
év
on
notammen
t
du
les
oin
propri
de
é
asymptotique.
tés
section
qui
établit
nous
d'une
in
fami
téressen
de
t.
des
En
nous
section
ermet
5
les
enn,
tats
nous
t
appliquons
us.
le
la
princip
section
e
du
général
dage
de
liste
l'a
au
lgorithme
des
aux
-métr
courb
que
es
4
présen
téesdu
s'écrit
t
Un
si
algorithme
.
de
pro
m
Si
ultiplication
du
rapide
ble
2.1
alors
Complexité
-espace
bilinéaire
ts
de
ce
la
elée
m
.
ultiplication
li
2.1.1
eut
Présen
l'ensem
ta
complexité
tion
,
algébrique
dual
de
ultiplication,
la
é
complexité
de
bilinéaire
con
Soit
ec
(1).
ultiplication
une
C'est
puissance
t
d'un
par
nom
et
bre
ecteur
premier
,
et
représen
e
un
yp

un
inéaire
corps
elé
ni
expression
a
so
v
désigne
ec
apparais-
t
ectoriel
élémen
.
ts.
de
Soit
é
de
et
expression
un
une
comme
une
olution
extension
a
de
e
dans
sur
t
de
de
est
degre
dire
apparaissan
e
.
expression
Nous
forme
noterons
ecte
termes

la
ai
m
la
ultiplication
et
ordinaire
désigne
dans
(2)
de
aussi
minimal
ter
bre
par
.
tenseur
Considérons
décrit
nom
Dénissons
au
de
ond
bil
comme
la
un
app
espace
est
v
n
e

ctoriel
dans
sur
san
corresp
le
et
du
,
tier
,
v
est
l'en
alors
m
une
Le
application
duit
bilinéaire
deux
de
l
sur
men
dans
de
ultiplication
algorithme
m
tel
la
est
de
alors
bilinéaire
la
dans
v
complexité
de
elée
tenseur
pp
v
,
l
et
tenseur
corresp
.
ond
dans
à
m
une
algorithme
application
app
linéaire
.
a
à
du
que
pro
2
duit
yp
tensoriel
du
est
Chaque
tité
linéaire
quan
la
La
ur
.
v
sur
(1)
dans
l'image
sur
re
ultiplication

m
forme
v
par
ers
,
de
v
algorithmes
l'image
des

.
alors
On
5
p
2
q F qq
nF F n mq q
F n F n F mq q q
n n nF ×F Fq q q
M F n ⊗F n F F nq q q q
∗ ∗ ∗
nM t ∈ F n⊗F n⊗F F nM qq q q
F F n xq q
ny Fq
x⊗y∈F n⊗F nq q
λ
X
t = a ⊗b ⊗c,M l l l
l=1
∗a,b ∈F c ∈Fnl l l qq
λ
X
x·y = a (x)b (y)c.l l l
l=1

na (x) x∈F a ∈F nl q l q
∗b (y)∈F y∈F n bnl q lq
F n F U λq q
μ(U)
U
μ (n) = minμ(U),q
U
nU F Fq q
μ (n) F nq q
Fqdonnan
constitué
La
Complexité
itérée
et
.
complexité
nograd
bil
faut
inéaire
corresp
Si
m
on
actuellemen
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cer-
la
par
notion
ortemen
de
a
"nom
négligeable
bre
de
d'op
p
érations
terp
nécessaires",
la
on
Rolland
v
dénie
oit
.
im-
t
médiatemen
y
t
dans
que
de
la
Seroussi
complexité
v
bilineaire
,
corresp
élémen
ond
matrices
à
t
la
u
partie
et
"m
total
ultipli-
con
cation
même
de
éai
deux
préo
élémen
2.2
ts
osen
arbitrai
conn
re
de
s".
[2],
Le
G
reste
cette
de

la
p
complexité
t
totale,
our
reste
complexité
qu'on
de
p
A.
ourrait
mon
app
la
eler
an
"complexité
fonct
linéaire",
dev
concerne
6
les
v
additions
à
et
linéarité
les
quadratiques
m
prouv
ultiplications
li
par
hacune
une
tiellemen
constan
es
te
soit
conn
sur
ue.
m
Si
algorithme
on
tout
p
l'étude
ense
li
en
e
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une
de
de
"nom-
S.
bre
an
d'op
bilinéaire
é
pro-
rati
t
ons"
p
cette
v
partie
et
linéaire
[1]
de
W
la
H.
complexité
ote
p
t
eut
est
a
et
v
l'égalité
oir
t
un
[4]
p
jeur
oids
uniquemen
vraimen
cas.
t
le
imp
de
o
p
r
v
tan
,
t;
[3]
par
el,
exemple
S.
dans
t
la
linéarité
m
bilinéaire,
ultiplication
l'inégalité
de
Un
p
on
olynomes
t
à
an
co
our
ef-
une
cien
deux
ts
ts
complexes
ariables
la
ond
complexité
la
linéaire,
de
qui
la
corresp
formes
ond
sur
à
en
l'utilisatio
,
n
t
d'une
e
transformée
c
de
à
F
oten
ourrier,
t
sera
algébriques
en
courb
améliorations.
ultiplications;
breuses
au
nom
des
de
olation
à
d'in
.
ultiplications
Ce
tre
p
un
endan
Notons
t,
de
par
que
nature,
de
les
complexité
op
n
éra-
r
tions
est
que
t
comptabilise
des
la
ccupations
c
R.
om
et
plexité
Ballet.
bilinéaire
Résultats
son
térieurs
t
complexité
plus
t
compliquées
p
que
vsky
celles
précédemmen
que
est
comptabilise
ue
la
our
complexité
taines
linéaire.
aleurs
T
udno
en
Ch
tons
Dans
d'illustrer
et
ce
S.
dernier
i
p
et
oin
De
t
ro
:
mon
si
ren
on
que
considère
dernière
lieu
minorée
donne
D.V.
départ
G.V.
de
,
e
a

an
comme
lieu
un
our
espace
par
v
est
ectoriel
ma
de
et
dimension
t
i
ce
sur
P
leur
connaitre
suite
comp
,
t
alors
la
la
bilinéaire
m
our
ultiplication
grandes
par
aleurs
une
tournan
constan
il
te
attendre
corresp

ond
Lemp
à
G.
une
et
ma-
Winograd
trice
tren
la
l
ar
quasi-
P
de
d'application
complexité
linéaire
a
et
ec
donne
suiv-
lieu
te
à
fois.
au
logarithme
plus
i
bilinéaire.
la
complexité
désignan
op
t
érations;

de
tout
même
p
la
est
m
fonction
ultiplication
de
2.1.2
nlog(n)
F = F rq p
r Fp
2r×r r
r
rr×r Fp
2 3 2 2r +r r +r r
μ (n)q
n q
12n−1 n≤ q+1
2
n
μ (n)≤C (n)n,q q
(k) (k)C (n) k log (n) logq
kour
Ch
en
[5]
our
I.
mon
Shparlinski,
plus
M.A.
6]
T
.
sfasman
la
et
sur
S.
à
G
par:
.
l
Vl duµ
ultiplicatio
étudien
[9]
t
de
cet
égal
algo-
tre
rithme
de
et
même
déduisen
égal
t
premier
des
carr
encadremen
t
t
des
s
mon
asymptotiques.
bilinéaire
Plus
à
préc
7
i
[8]

ariation
m
certaine
e
ou
n
bilinéaire
t,
[7]
.
our
étan
2
t
courb
une
d
puissance
t
d'un
sinon.
nom
inférieur
bre
our
premier,
en
ils
parfait,
dénissen
est
t
En
si
des
,
vsky
si
es
parfait,
M.A.
arré
dans
c
la
un
la
est
est
et
la
si

,
S.
si
et

Dans
et
de
érie
v
v
plage
,
une
premier
p
bre
e
nom
est
d'un
complexité
arbitraire
que
puissance
dans
une
p
our
tout
p
il
que
genre
et
es
prouv
des
en
ée
t
i
que:
la
t
appliquan
en
Puis
prouv
à
Ils
ou
.
,
genre
p
de
tout
algébriques
tier
fonctions
grand
de
le
corps
é
des
un
p
si
our
dénie
tout
appliquan
cas
l'idée
au
frères
Shokrollahi
udno
A.
sur
M.
courb
par
e
faite
liptiques,
tude
Shokrollahi
é
tre
l'
[
t
que
généralisen
complexité
Rolland
de
R.
m
et
n
Brigand
égale
Le
fonction
p
p
our
est
tout
Dans
D.
Ballet,
q
μ (n)q
M = lim supq
n→∞ n
μ (n)q
m = lim infq
n→∞ n
1M ≤ 6(1+ ), q≥ 3,q q−2
1
2M ≤ 2(1+ ), q≥ 3,q q−2
M ≤ 27,2
1 12+ ≤m ≤ 3(1+ ), q≥ 3,qq−1 q−2
1 1
22+ ≤m ≤ 2(1+ ), q≥ 3,2 qq −1 q−2
353.52≤m ≤ .2 6
1 12n q +1<n< (q +1+(q))
2 2

2 q, q
(q) = √
q 2 q
2n 2n+1
n
g q p
μ (n)q
μ (n)≤C n,q q

p
 6(1+ ), q> 3 q−3 p2(1+ √ ), q> 9 q
q−3C ≤q
 27, q = 3 2p 3(1+ ), q≥ 16
q−3vsky
eaux
Ballet,Le
son
el,Seroussi,Winograd
mémoire
sfasman,Vl duµ
de
ote
Thèse
p
[10
uniformes
],
l
J.
s
Chaumine
p
,
l'alg
en
p
appliquan
de
t
de
les
udno
mêmes
d'
idées
de
aux
asym
courb
ornes
es
p
de
Winograd,De
la
des
tour
Nous
de
2.3
Garcia-Stic
d
h
v
tenoth-Rüc
carré
k
quasi
obtien
our
t
b
Dans
,Ch
.
princip
si
basé
,
s
si
amélioration
,
b
si
o
,
Shokrollahi
si
and
:
aleurs
oir
c
v
8
sa
Gro
à
frères
uniformes,
orithme
ornes
généralisons
si
résultats
b
Nouv
elles
premier
nouv
our
,
e
quatre
etites
d'obtenir
aleurs
ermet
d'un
p
Lemp
algorithme
ou
el
linéarité
nouv
premier
Ce
p
ée.
ornes
dériv
Ch
aluation
vsky
d'év
udno
turelle
des
na-
e
notion
algorithme
la
sur
à
e
si
corps
grâce
fonctions
vski
Shparlinski,T
udno
Chaumine
.
ornes
Résultat
pt
qu'on
tique
trouv
ormes
e
unif
égalemen
b
t
Brigand,Roll
dans
de
[11].
v
Résumé
our
des
ertaines
cas
etites
traités:
Ch

4
μ (n)≤ 3 1+ n p≥ 5p
p−3

2
μ 2(n)≤ 2 1+ n p≥ 5p
p−3
( ) μ (n) = 2n−1 nq
( ) μ (n)q
( )
( )
( ) μ (n) = 2n nq
( )
( ) q
!
p
μ 2(n)≤ 2 1+ n q≥ 4q 1(q−3)+(p−1)(1− )
q+1
!
2p
μ (n)≤ 3 1+ n, q≥ 4q 1(q−3)+2(p−1)(1− )
q+1

4
μ (n)≤ 3 1+ n p≥ 5p
p−1

2
μ 2(n)≤ 2 1+ n p≥ 5p
p−2fonctions
r
c
Une
ar
gén
le
ér
arr
a
de
lisation
place
de
p
l'alg
ase
orithme
de
des
toute
frères
et
Ch
amètr
udno
tenan
vsky
endant
Dans
gr
cette
est
sec
p
tio
manièr
n
ent,
nous
ne
traiterons
,
de
et
résultats
9
généraux
al)
assuran
(c
t
dép
l'existence
c
de
dériv
b
ux.
ons
un
algorithmes.
plac
P
l'évaluation
ar
lo
l
a
a
'est
suite
d'éléments
nous
r
ne
dénit
ferons
e
aucune
a
diérence
choix
en
des
tre
élément
une
oser
place
lors
et
'est
son
é
idéal
ons
de
de
dénition.
dérivé
Soit
en
3
fois
ossible.
p
p
du
est
e
un
Dénissons
corps
l'év
de
en
fonctions
degré
algébriques,
3.2
de
(c'est
une
orps
place
de
de
de
degré
deux
1
c
de
amètr
choix
al
p
et
our
p
laquelle
.
on
as
se
Soit
donne
une
un
c
paramètre
unique
lo
de
cal
et
tel
tel
xé,
à
et
.
Un
moins
3.3
en
Lemme
exp
n'admettan
p
t
acines
pas
es
.
une
p
n
our
alors
p
suite
ôle.
A
Alors
de
t
as
admet
c
une
d'un
é
ler
criture
c
en
élément
séries
et
de
l'évaluation
Lauren
e
t,
c
c'est
lo
à
ette
dire
e
érian
ar
v
du
hoisira
end
c
p
on
amètr
,
lo
our
al).
p
main
érie
t
v
aluation
si
ée
suite,
une
la
de
ar
de
P
Dénition
t.
Soit
ortan
indép
Imp
en
L'unicité
c
de
de
cette
algébriques,
é
une
criture
e
p
de
ermet
é
de
de
dénir
ave
la
un
suite
ar
al).
e
c
c
lo

e
,
amètr
quantité
ar
L
p
our
d'élémen
quel
ts
n
de
p
du
un
end
ôle.
Dénition
de
3.1
suite
Posons
une
dép
du
(
orps
en
ésiduel
de
e
e
en
dérivé
sur
ion
qui
;
e
c'
,
est
que
l'évaluation
dir
de
c'est
at
aur
en
On
u
au
(ça
L
ne
série
dép
ansion
end
de
p
qui
as
sont
du
as
p
r
ar
c
amètr
é
e
d'un
l
de
o
admet
c
o
al
supp
choisi).
a
Posons
dans
ensuite
la
éval
que
est
6
quantité
.
la
que
que
n
a
p
dir
une
on
acine
;
arr
nou
e
s
élément
app
el
b
F/F Pq
F t
h∈F P h
2h =a +a t+a t +....0 1 2
(a ) Fi i∈N q
h(P) := a h P0
0h(P) := a1
0
F h P h(P)q
F/F Pq
F t h∈F P
1,i F 2 P F f ∈Fq q
2f(P) =i q −2q i
F q = 2q
i F hq
2h = (a +fb )+(a +fb )t+(a +fb )t +...0 0 1 1 2 2
(a +ib ) F 2k k k∈N q
h(P) =a +ib h P0 0
0h(P) := a +ib1 1
0h P h(P)
2 ∗i i +λi +μ = 0 λ,μ ∈ Fq
2 2f f +λf +μ∈P
fThéorème
de
un
e
ées
.
ec
Soit
des
vérie
e
v
places
érian
co
t
é
dans
sont
ation
,
multiplic
,
la
.
de
immé-
e
algébriques
;

on
p
a
e
alors
de
air
e
biliné
ne
é
gulièr
omplexit
et
c
de
la
é
insi
S'il
A
év
.
de
e
ors
air
On
iné
c
bil-
c'est
ité
et
c'est
,
à
ecien
dire
v
omplex
de
c
ou
de
ave
dans
ar
ation
c
multiplic
et
e
plac
d
r
.
en
Rapp
que
elons
é
qu'on
es
a
deux
v
un
ait
de

une
un
Preuv
paramètre
cas
lo
luations
cal
une
algorithme
1
en
Considérons
un
cas
et
degré
notons
un
existe
de
la
Soit
v
dire
aleur
.
résiduelle
Preuv
de
t
il
.
alors
se
ctive,
constan
inje
Le
est
a
ar
donc
p
de
en
gr
dénie
1
.
2
Comme
p
vers
c
de
p
ation
amètr
l'applic
lo
6
al
(3)
xé,
),
soient
,
es
il
les
existe
fonctions
e
é
plac
es
la
(1)
de
alors
valuation
tels
tels
,
que
gr
de
de
au
plac
l'anne
ensembles
est
et
(ici
diviseur
ctive
,
surje
gr
est
de
ésiduel
plac
.
existe
P
entier.
osons
e
main
Le
tenan
des
t
a
r
dériv
orps
en
c
place
le
degré
vers
est
de
diat.
d'évaluation
al
ation
le
l'applic
des
(2)
de
.
2.
La
a
fonction
et
,
fonctions
ainsi
orps
obten
un
ue
3.5
con
.
vien
à
t.
Or
de
donc
Lemme
,
3.4
s'écrit
Soit
de
ort
ecien
supp
Le
le

dans
réecrire
un
eut
c
t"
orps
t
de
"co
fonctions
.
algébriques,
v
soit
a
as
ec
une
10
plac
2g g(P) = i g (P) +λg(P) +μ = 0
2g +λg +μ ∈ P t P
2g +λg+μ
r P λ+2i = 0
t
−ra,b ∈ F = a +ib f = g + (a +bg)tq λ+2i
f
F/F Pq
F t h,g ∈ F
P
0 0 0(hg)(P) =h(P)g(P)+g (P)h(P).
h = (a +fb )+(a +fb )t+r g = (c +fd )+(c +fd )t+l0 0 1 1 0 0 1 1
2r,l∈P ,
hg = (a +fb )(c +fd )+((a +fb )(c +fd )+(a +fb )(c +fd ))t+u0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
2u∈P
(a c + f(a d + c b )− (λf +0 0 0 0 0 0
2 2 2μ)b d )+b d (f +λf +μ) b d (f +λf +μ)∈P0 0 0 0 0 0
t a c +a c −(λf +μ)(b d +b d )+f(a d +b c +0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1
2 2 2a d +b c )+(f +λf+μ)(b d +b d ) (f +λf+μ)(b d +b d )∈P1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0(hg) =a c −μb d +a c −μb d +i(a d +b c +a d +b c +λ(b d +b d ))0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 0hg +gh = (a +ib )(c +id )+(a +ib )(c +id ); (hg) =1 1 0 0 0 0 1 1
0 0hg +gh

F/F n > 1q
Q n D
0 0 01 P ={P ,...,P } P ={P ,...,P }1 N1 a
0 0Q,P ,...,P ,P ,...,P D1 N 1 a
Ev L(D) F =O/QQ Q
O Q
N a
0T L(2D) F ×FP,P q q
0 0 0 0
0T (h) = (h(P ),...,h(P ),h(P ),...,h(P ))P,P 1 N 1 a
nFq
nN + 2a Fq
μ (n)≤N +2aq

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