Notes-Cours-6

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MAT 563 - Notes cours 6 1 mars 2010Classes de Pontryagin Complexification d’un fibre reel SoitE unR-espace vectoriel. Le complexi e de E est leC-espace vectorielC E. L’application EE ! C E; (x;y)7! 1 x +{ y estR R R Run isomorphisme deR-espaces vectoriels. Ceci conduit a une de nition tresconcrete du complexi e de E : le groupe abelien sous-jacent est EE estla multiplication par un scalaire complexe est de nie par la formule(a +{b):(x;y) = (ax by;bx +ay) :Il est clair que si leR-espace vectorielE est dimension nie alors il en est dem^eme pour le leC-espace vectorielC E et que l’on a :Rdim (C E) = dim E :C R R Soit F un C-espace vectoriel. On rappelle que l’on de nit un nouveauC-espace vectoriel, noteF et appele conjugue deF , de la fa con suivante. Legroupe abelien sous-jacent a F est encore F mais la multiplication par lesscalairesCF!F est ( ;x )7! x .Soit E un R-espace vectoriel. Alors le complexi e de E et le conjugue ducomplexi e de E sont deuxC-espaces vectoriels canoniquement isomorphes.Precisement : l’applicationEE!EE ; (x;y)7! (x; y)induit un isomorphisme deC-espaces vectorielsC E = C E :R R1 SoitF unC-espace vectoriel. On note reF leR-espace vectoriel sous-jacenta F . Il est clair que si leC-espace vectoriel F est dimension nie alors il enest de m^eme pour le leR v reF et que l’on a :dim reF = 2 dim F :R CSoit E un R-espace vectoriel. Il est clair egalement que l’on a un isomor-phisme ...

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MAT 563 - Notes cours 6

Classes de Pontryagin

1mars2010

Complexificationd’unfibr ´ er ´ eel •SoitEunR-ecevseapl.ieorctlempcoLeede´fiixEest leC-espace vectoriel C⊗ R E. L’applicationE⊕E→C⊗ R E ,(x, y)7→1⊗ R x+ı⊗ R yest un isomorphisme deR-seels.torisvecpaceenua`tiudnociceCs`etrontiniefid´ concr`eteducomplexifi´edeEectnsetgel:puoreab´eliensous-jaE⊕Eest lamultiplicationparunscalairecomplexeestd´efinieparlaformule (a+ıb).(x, y) = (ax−by, bx+ay). Il est clair que si leR-espace vectorielEest dimension finie alors il en est de meˆmepourleleC-espace vectorielC⊗ R Eet que l’on a : dim C (C⊗ R E) = dim R E .

•SoitFunCorctveceraOnl.ieuqelleppe´dno’lefinitunnouveauseap- ¯ C-espace vectoriel, noteFtaeelppco´egujnde´ueF.eeLavtnsdn,iu¸faaolce groupeab´eliensous-jacenta`Fest encoreFmais la multiplication par les ¯ scalairesC×F→Fest (λ, x)7→λx. SoitEunRde´fiixeleleov.aAcetloreicmpcolsepr-seEocelteu´ednjugu complexifie´deEsont deuxC-espaces vectoriels canoniquement isomorphes. Pr´ecis´ement:l’application E⊕E→E⊕E ,(x, y)7→(x,−y) induit un isomorphisme deC-espaces vectoriels ∼ C⊗ R E = C⊗ R E .

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•SoitFunCOn note re-espace vectoriel.FleR-espace vectoriel sous-jacent `aFest clair que si le. IlC-espace vectorielFest dimension finie alors il en estdemˆemepourleleR-espace vectoriel reFet que l’on a : dim R reFdim= 2 C F . SoitEunR-moronusi’onaquelmentgalee´rialctselI.leiorctvecepaes- phisme canonique deR-espaces vectoriels ∼ re(C⊗ R E) =E⊕E . Lesfoncteurs“complexification”et“espacevectorielre´elsous-jacent”sont relie´spar“l’isomorphismed’adjonction”suivant: ∼ Hom R (E,reF) = Hom C (C⊗ R E, F). L’isomorphisme canonique ci-dessus montre que l’on dispose de deux homo- morphismes canoniques deC-espaces vectoriels ¯ C⊗ R reF→F ,C⊗ R reF→F .

Proposition.Le produit des deux homomorphismes ci-dessus ¯ C⊗ R reF→F⊕F est un isomorphisme deC-espaces vectoriels. D´emonstration.Il suffit de se convaincre de ce que l’homomorphisme deR- espaces vectoriels sous-jacentsF⊕F→F⊕FOr onest un isomorphisme. constate qu’il s’agit de l’homomorphisme (x, y)7→(x+ıy, x−ıy). •Soitξbfinu.leLelrieer´evr´toecelix´fieocpmdeξ,not´eC⊗ R ξestle´rbfie vectorielcomplexed´efinimutatis mutandisadsnde.ec`eipr´cequ Onpeutparexempleproce´derdelafac¸onsuivante.Onpose: – B(C⊗ R ξ) = B(ξ) ; – E(C⊗ R ξ) = E(ξ)×E(ξ). B(ξ)

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La projection E(C⊗ R ξ)→B(C⊗ R ξ) est induite par la projection E(ξ)→ B(ξ). Parconstruction, la fibre de E(C⊗ R ξ)→B(C⊗ R ξ) en un pointxde B(ξ) est E x (ξ)×E x (ξ) que l’on munit d’une structure deC-espace vectoriel commepr´ec´edemment,detellesortequel’ona ∼ E x (C⊗ R ξ) =C⊗ R E x (ξ).

Onpeutalternativementproc´ederdelafac¸onsuivante.SoitR(ξ)er´fible desrepe`resdeξrappelle que R(. Onξ`ndaortinuaetcoistmunid’ued)e groupe GL n (R),nltnanaree´dngisidem(gal)nedsnoiξ, que la projection canonique R(ξ)→R(ξ) est un GL n (R-fi)droite)etquel’onrbe´rpniicap(la` aunhome´omorphismecanonique n ∼ E(ξ) = R(ξ)×R. GL n (R) On pose n E(C⊗ R ξ) := R(ξ)×C. GL n (R) Lelecteurauraacoeurdev´erifierquelesdeuxde´finitionsdonnentlemˆeme objet ! •Soitηnubfi´rveevtcrbe´rle´roeielleirotceexelpmocfin´ead.Lufindioit sous-jacent,encorenot´ereξvi´entdee.tse, •Soientξnubfi´rveceotirelr´eeletηveceotirleocpmelxe.Onalesunfibr´ proprie´te´ssuivantes: – rang(C⊗ξ) = rangξ; C R R ∼ –C⊗ R ξ = C⊗ R ξotcevse´mocsleirdeesexplsebai(rphisomoefibrsmed B(ξ)) ; – rangreη= 2rangη; R C ∼ – re(C⊗ R ξ) =ξ⊕ξhirpedsm(imosootceleirrbfievse´eebaselsdsr´e B(ξ)) ; ∼ –C⊗ R reη = η⊕ηefiedsmhirpmoso(icsleirotcevse´rblpmo¯sexeed base B(η)).

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D ´ efinitiondesclassesdePontryagind’unfibr ´ evectorielre ´ el diff ´ erentiable SoitξbliaLee.r´fibecevirotocleelpmexunfibr´evectorile´reedlffie´ertnC⊗ R ξ estaussidiff´erentiable,sibienquel’onpeutconside´rersesclassesdeChern 2k c k (C⊗ R ξ)∈H B(ξ). ∼ L’isomorphismeC⊗ R ξ = C⊗ R ξectorielefibr´esvdesabedsexelpmocs B(ξ) implique k c k (C⊗ R ξ) = (−1) c k (C⊗ R ξ). Onend´eduitc k (C⊗ R ξ) = 0 pourkimpair. On pose k p k (ξ) := (−1) c 2k (C⊗ R ξ) Onvoitdoncquel’onpeutassocier`atoutfibre´vectorielr´eeldiff´erentiableξ une suite de classes de cohomologie 4k p k (ξ)∈H B(ξ), k∈N, appele´esclasses de Pontryaginire´´tseL.serppoesdeCherdesclass-nen traıˆnentformellementcellesdesclassesdePontryagin. 1.On a p 0 (ξ) = 1 et p k (ξ) = 0 pour 2k >rangξ. 2lit´e)arutaN(.Soientξetηduefixrbe´rse´leiffsdre´eiantesblsnO.oppues qu’ilexisteundiagrammed’applicationsdiff´erentiables F E(ξ)−−−→E(η)   y y f B(ξ)−−−→B(η) tel que pour tout pointxde B(ξ) l’application E x (ξ)→E f(x) (η) induite par ∗ Fmosinutsemsihproeanceairlin´orsoe.Al k (ξ) =fc k (η). Variante.Soientξetηdfixuee´rbe´rsseO.snpuopesuqi’ellsdiff´erentiabl existeuneapplicationdiff´erentiablef: B(ξ)→B(η) et un isomorphisme ∼ ∗ ξ = f ηeˆmedsle(Besabembr´eedefitorisveci(osihmsomprξ)). Alorson a ∗ ∗ c k (f η) =fc k (η). 4

3ivit´e)tiplicatluM(.Soientξetηemessurlamˆentiablesleiddx´uffbrfie´rse´ree base. Alorson a : X p k (ξ⊕ηp) = i (ξ)∧p j (η). i+j=k

4´ebrnfiaut`enac-jsuoslee´re´rbfiudaginntrydePossesC(al-complexediff´eren tiable).Soitηosroannur´fibomecexplAle. X k+i p k (reη() =−1) c i (η)∧c j (η). i+j=2k

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