A mathematical analysis of foam films [Elektronische Ressource] / Christian Schick

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• Publié par: technische_universitat_kaiserslautern
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

A Mathematical Analysis of
Foam Films
Dipl. Math. techn. Christian Schick
Dem Fachbereich Mathematik
der Universit at Kaiserslautern
zur Verleihung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
(Doctor rerum naturalium, Dr. rer. nat.)
vorgelegte Dissertation
Referent: Prof. Dr. Dr. h.c. H. Neunzert
Korreferent: Prof. Dr. A. Unterreiter
Kaiserslautern, 27.04.2004The image on the title page shows the shape of a three-dimensional hexagonal lamella
(ref. page 43) of a pure liquid at time t = 0:001. The solution has been computed using
the model derived in Chapter 3 for the initial condition given in Section 5.1.Meinen ElternAn dieser Stelle m ochte ich all jenen danken, die mich beim Zustandekommen
der vorliegenden Arbeit unterstutzt haben. An erster Stelle zu nennen ist hierbei
Prof. Helmut Neunzert fur die M oglichkeit, am Fraunhofer-Institut fur Techno-
und Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern zu promovieren, und fur die Un-
terstutzung, die ich durch ihn in den vergangenen drei Jahren erfahren habe.
Danken m ochte ich auch Prof. Andreas Unterreiter fur die fruchtbaren Diskus-
sionen, die ich mit ihm fuhren durfte, sowie fur die Ubernahme des Korreferats.
Ein besonderer Dank gilt Dr. J org Kuhnert, Prof. Michael Junk, Dr. Thomas G otz
und Prof. Reinhardt Illner fur eine Vielzahl wertvoller Hinweise und Anregun-
gen. Des weiteren danke ich den ubrigen Mitarbeitern der Arbeitsgruppe Tech-
nomathematik sowie der Abteilung Transportvorg ange des Fraunhofer ITWM fur
die gute und freundschaftliche Zusammenarbeit. Im speziellen geht mein Dank
an Nicole Marheineke und Markus von Nida fur das Korrekturlesen der Arbeit
sowie zahlreiche hilfreiche Anmerkungen und Diskussionen.
Die nanzielle Unterstutzung dieser Arbeit erfolgte im Rahmen des Forschungspro-
jekts Umweltfreundliches Betanken des Fraunhofer ITWM in Verbindung mit dem
Bundesministerium fur Bildung und Forschung (BMBF) und der Volkswagen AG.
Ich m ochte mich dafur bei den beteiligten Parteien bedanken.
Mein ganz besonderer Dank gilt meinen Eltern, die mich w ahrend des gesamten
Studiums und der Promotion stets mit viel positiver Energie unterstutzt haben.vii
Table of Contents
Table of Contents vi
Preface xi
1 An introduction to foams 1
1.1 Basic notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Foam scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Basic properties of foam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Laplace’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Plateau’s laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Foam stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Surfactants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Volatile components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Molecular forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Surface viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Aspects of foam research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Foam creation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.3 Rheology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.4 Decay and coarsening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.5 Foam drainage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.6 Film . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Model of a real foam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Foams in gasoline and diesel fuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Derivation of the thin lm equations (TFE) 15
2.1 Newtonian uid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Physical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16viii TABLE OF CONTENTS
2.1.2 De nition of interface parameters . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Interface conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Nondimensionalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5 Asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Surfactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Physical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Conditions at the free interfaces . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 In uence on the surface tension . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.4 Nondimensionalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5 Asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.6 Surface tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Volatile component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Physical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Interface conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Determination of the evaporation rate . . . . . . . . . . . 35
2.3.4 In uence on the surface tension . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.5 Nondimensionalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.6 Asymptotic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.7 Surface tension and evaporation rate . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1 Pure liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.2 Presence of a surfactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 of a volatile component . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Analysis of a foam lm in fuel 41
3.1 Setting of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Initial and boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 One-dimensional problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Two-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Discussion of parameter sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Resulting model for fuel foam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Analytical discussion of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 Classi cation of the PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 An existence and uniqueness result for the linearized problem 57TABLE OF CONTENTS ix
3.5.3 Discussion of the nonlinear problem . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 A numerical scheme for the solution of the lamella problem . . . . 68
3.6.1 A Galerkin nite element approach . . . . . . . . . . . . . 68
3.7 Discussion of the error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 The limit "! 0 75
4.1 Domain splitting approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Inertia-free case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 General model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.2 Pure liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3 Presence of a surfactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4 of a volatile component . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Non-planar lamella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Generalized splitting approach . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Pure liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.4 Presence of a surfactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.5 of a volatile component . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Generalization to 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.1 Example: Foam lm stabilized by a surfactant . . . . . . . 96
5 Results and applications 98
5.1 General remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Pure liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1 In uence of inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2 Choice of initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.3 Dependence on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.4 Behaviour for "! 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.5 Two-dimensional problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 In uence of a surfactant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Evolution of the lm thickness . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.2 Approximation for "! 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Two-dimensional problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 In uence of a volatile component . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.1 Coupling with a global foam model . . . . . . . . . . . . . 122x TABLE OF CONTENTS
5.5.2 Application of an enhanced evaporation model . . . . . . . 123
5.5.3 Continuous thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Conclusion 124
Nomenclature 127
References 130
Index 134