A posteriori error estimators based on duality techniques from the calculus of variations [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Hinderk Martens Buß

Hinderk Martens Buß

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• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 12
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Inaugural-Dissertation
zur
Erlangung der Doktorw urde
der
Naturwissenschaftlich-Mathematischen
Gesamtfakult at
der
Ruprecht-Karls-Universit at
Heidelberg
Vorgelegt von:
Diplom-Mathematiker & Diplom-Physiker
Hinderk Martens Bu
aus Emden
Tag der m undlichen Pr ufung:
09.10.2003Thema
A posteriori Error Estimators
based on
Duality Techniques
from the
Calculus of Variations
Gutachter:
1.) Prof. Dr. Rolf Rannacher
2.) Prof. Dr. Hans-Georg BockA posteriori Error Estimators
based on
Duality Techniques
from the
Calculus of Variations
Hinderk M. Bu
Institute of Applied Mathematics
Im Neuenheimer Feld 293
69120 Heidelberg, Germany
October 15, 2003
Abstract
A theoretical framework is presented within which we can systematically develop a posteriori
error estimators for any variational statement of the form
F( x) + G(x) ! min :
We merely have to require, that the linear operator be coercive and that the functional F
be uniformly convex. As the convex functional G may be arbitrary, the theory can also cover
constrained variational formulations. Two applications are discussed in detail: the Dirichlet
Problem and the Obstacle Problem. A number of technical issues is considered as well, which
pertain to the evaluation of the proposed error bounds using nite element methods: Inter
alia a novel non-conforming discretisation scheme for the dual formulation is analysed. The
resulting algebraic problem may be solved by a new preconditioned relaxation method, for
which a proof of convergence is supplied.
Zusammenfassung
Ein allgemeiner theoretischer Rahmen wird entworfen, der die systematische Entwicklung
von a posteriori Fehlersch atzern fur Variationsprobleme der Form
F( x) + G(x) ! min
erm oglicht. Vorausgesetzt wird neben der Koerzivit at des linearen Operators lediglich die
uniforme Konvexit at des Funktionals F. Das Funktional G wird als konvex angenommen,
so da auch restringierte Variationsprobleme betrachtet werden k onnen. Anwendungen der
Theorie werden in Gestalt des Dirichlet- bzw. des Hindernis-Problems diskutiert. Praktische
Fragen werden er ortert, die mit der Auswertung der Fehlersch atzer im Rahmen einer FEM-
Simulation zusammenh angen: u. a. wird eine nicht-konforme Diskretisierungsmethode fur
die duale Formulierung vorgestellt und ein Konvergenzbeweis fur ein neues pr akonditioniertes
Relaxationsverfahren angegeben, mit dessen Hilfe sich das diskretisierte Problem l osen l a t.
1Contents
Introduction 4
1 A general Framework 14
1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1 Convex sets and paired spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Convex and uniformly convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Lower-semicontinuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 The Fenchel transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.5 Subdi eren tials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.6 Properties of uniformly convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Error Estimates in the Energy Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Statement of the variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 An abstract a posteriori error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Towards a computable error majorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Separating primal and dual variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.5 The second duality relation revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.6 General features of the error majorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.7 A review of our ndings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Bounds on functional outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Treatment of the linear case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2 On possible extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Applications 35
2.1 The Laplace Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Some remarks on the notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 A duality estimate for the Helmholtz problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Error bounds for the Laplace problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4 On the E ciency of the Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.5 The relationship with the Helmholtz problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.6 Summary Statement of our Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 The Obstacle Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Capacity and order relations on Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Statement of the variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 A Description of the Subdi eren tial @G(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.4 Error estimates for the Energy Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 An alternative approach to the obstacle problem . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.6 Preliminary Remarks on the E ciency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.7 An Analysis of the Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.8 A Comparison of the Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Discretisation Procedures 55
3.1 General Remarks on Finite Element Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 An abstract description of nite element schemes . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 A note on parametric nite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.3 On the Rami cations of the Numerical Cubature . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Discretisation Methods for the Dual Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 Statement of the Variational Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 The Discretisation Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Proof of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4 Processing the Numerical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Hypercycle Estimates in a Finite Element Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73CONTENTS 3
3.3.1 A posteriori estimates for the Laplace Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 A p for the Obstacle . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Computational issues 84
4.1 General Remarks on Mesh Handling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.1 Technical Prerequisites for Adaptive Mesh Re nemen t . . . . . . . . . . . . 84
4.1.2 On an algorithm for dynamic mesh re nemen t . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.3 On the removal of elements from a mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.4 On the use of auxiliary re nemen t schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Merging and matching of meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Identifying mesh entities by Sorting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Management of auxiliary Re nemen t Patterns . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.3 The Description of a Merging Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.4 On the Insertion of auxiliary Re nemen t Patterns . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Multilevel techniques for constrained variational problems . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.1 Introductory remarks on multilevel schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.2 Statement of the dual formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.3 Discretisation of the dual formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.4 Description of the multilevel algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.5 A proof of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.6 Avoiding the global complementary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Numerical Experiments 114
5.1 General remarks on the simulation code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Energy Error Estimates for the Laplace Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.1 A description of the experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2 On the choice of certain constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.3 Error estimates on uniformly re ned meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.4 Minimising the generalised hypercycle estimates . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.5 Alternative Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Energy Error Estimates for the Obstacle Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.1 Obtaining the Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.2 Residual based Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.3 Miscellaneous Remarks on the Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.4 A few Remarks on the Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Error Es