A semigroup approach to the numerical solution of parabolic differential equations [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Markus Jürgens

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 6
• Langue: English
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Extrait

ASemigroupApproachtothe
NumericalSolutionof
ParabolicDifferentialEquations
VonderFakultätfürMathematik,InformatikundNaturwissenschaften
derRheinisch WestfälischenTechnischenHochschuleAachen
zurErlangungdesakademischenGrades
einesDoktorsderNaturwissenschaften
genehmigteDissertation
vorgelegtvon
Diplom Mathematiker
MarkusJürgens
aus
Wilhelmshaven.
Berichter: UniversitätsprofessorDr.WolfgangDahmen
UnivDr.HenningEsser
TagdermündlichenPrüfung: 1.9.2005
DieseDissertationistaufdenInternetseitenderHochschulbibliothek
onlineverfügbar.Abstract
Thisworkisconcernedwiththenumericalsolutionoflinearparabolicdifferential
equations
d
u(t)+Au(t) =f(t), t∈ [0,T],
dt
u(0) =u ,0
whereA :D(A)⊂ X→ X denotes a sectorial operator acting on some Banach
spaceX andf is a given forcing term. The most basic example would be given
by the negative Laplacian A =−Δ on X = L (Ω) with domain of definition2
2 1 dD(A) =H (Ω)∩H (Ω)onsomeboundeddomainΩ⊂R .0
In the first chapter, we focus on the homogeneous problem, the solution to
−tAwhich is given byu(t) = e u . A short introduction to the theory of analytic0
semigroupsisgiven,whichformsthebasisforthefurtherdevelopment. Weprove
Besovregularityofthesolutionu(t)foreachfixedt> 0wherethespatialdomain
Ω may have a non smooth boundary and reentrant corners. Moreover, we exploit
the Dunford Cauchy representation of analytic semigroups to numerical evaluate
the operator exponential. Essentially, a quadrature rule for a Banach space val
ued integrand over an infinite integration interval is presented. The error analysis
whichincorporatesspatialdiscretisationerrorsalsoleadstoanefficientalgorithm
−tA evaluatese u up to any prescribed target accuracy. In contrast to clas 0
sical schemes (e.g. Implicit Euler) the algorithm allows us to do arbitrary large
timestepsandisinherentlyparallel.
In the second chapter, the scope is extended to the inhomogeneous problem.
AftersomeresultsaboutthemappingpropertiesofthesolutionoperatorLwhich
maps the forcing term f ∈ L (0,T;X) to the solution u ∈ L (0,T;D(A))∩2 2
1H (0,T;X), we present a new discretisation scheme. We utilise multi wavelets
todiscretisethetimedirection. Thecoefficientsofthewaveletdecompositionbe
come X valued and can in turn be discretised by a wavelet basis on the spatial
domain Ω. For this scheme to be successful, we have to show that theX valued
coefficients decay sufficiently fast to permit a sparse approximation to the solu
tion. This goal is accomplished under very weak regularity assumptions on f.
Moreover, we outline an efficient algorithm which calculates the wavelet decom
position of u = Lf given the forcing term f. This algorithm is based on the
quadraturerulefromthefirstchapter.
The third chapter is devoted to applications in regularisation theory. The in
verse problems to the homogeneous and the inhomogeneous problem are well
known to be ill posed such that we have to apply some regularisation technique.
After a short introduction to the classical theory, we present a modification of
Tikhonov regularisation which is closely adapted to the eigenspaces of the ill
posed operator. While this eigenspaces are usually unknown, we develop an al
iiiiv
gorithm based on a contour integral which projects any given value onto certain
selected eigenspaces. Moreover, this algorithm allows us to apply the inverse of
the restriction of an analytic semigroup to certain eigenspaces which yields an
economical regularisation scheme. Concerning the inhomogeneous problem, an
adaptive discretisation is presented which proves useful in Tikhonov regularisa
tion.
In the fourth chapter numerical experiments for the algorithms from the pre
ceding chapters as well as comparisons to classical methods are collected. The
error analysis from the first chapter turns out to be rather sharp. Moreover, the
algorithm based on quadrature outperforms a classical single step method of sec
ond order. The new discretisation scheme for the inhomogeneous problem leads
to very few significant coefficients in the time decomposition which renders the
scheme very appealing. This is exemplified in Tikhonov regularisation where we
observesingularitiesinthesolutionwhichareresolvedwellbytheadaptivesolu
tionscheme.Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit ist der numerischen Lösung linearer, parabolischer Diffe
rentialgleichungen
du(t)+Au(t) =f(t), t∈ [0,T],
dt
u(0) =u ,0
gewidmet. Hierbei bezeichnetA :D(A)⊂ X→ X einen sektoriellen Operator,
deraufeinemBanach Raum X operiert.f isteinvorgegebenerZwangsterm.Das
einfachste Beispiel für diese Situation liefert der negative Laplace Operator A =
2 1−ΔmitDefinitionsbereichD(A) =H (Ω)∩H (Ω)imRaumX =L (Ω),wobei20
nΩ⊂R einbeschränktesGebietist.
Das erste Kapitel beschäftigt sich mit dem homogenen Problem, dessen Lö
−tAsungdurchu(t) =e u gegebenist.NacheinemkurzenAbrißderTheorieana 0
lytischer Halbgruppen beweisen wir ein Resultat über die Besov Regularität von
u(t) für jedes festet > 0, wobei das Gebiet Ω einen nicht glatten Rand und ins
besondere einspringende Ecken besitzen darf. Die Dunford Cauchy Darstellung
−tAdes Evolutionsoperators wird zur numerischen Approximation von e u aus 0
genutzt, wobei eine Quadraturregel über unbeschränkte Integrationsintervalle für
Integranden mit Werten in Banach Räumen zur Anwendung kommt. Die Fehler-
analyse bezieht auch Fehler aus der Diskretisierung des Raumes X mit ein und
−tAliefert einen Algorithmus, der e u bis auf eine vorgegebene Zielgenauigkeit0
auswertet.ImGegensatzzuklassischenVerfahren,wiez.B.demimplizitenEuler,
erlaubt der Algorithmus beliebig große Zeitschritte und eine sehr einfache Paral
lelisierung.
Das zweite Kapitel zielt auf die Lösung inhomogener Probleme. Zunächst
werdendieAbbildungseigenschaftendesOperatorsLuntersucht,derdenZwangs
1termf∈ L (0,T;X) auf die Lösungu = Lf∈ L (0,T;D(A))∩H (0,T;X)2 2
abbildet. Basierend auf Multiwavelets, wird eine Diskretisierung in Zeitrichtung
entwickelt. Die Koeffizienten in der Multiskalen Zerlegung liegen im Banach
RaumX und können selbst wieder in eine Waveletbasis über dem Gebiet Ω ent
wickeltwerden.DamitdieseDiskretisierungpraktischanwendbarist,müssendie
X wertigen Koeffizienten ein hinreichend starkes Abklingverhalten zeigen. Wir
beweisen entsprechende Resultate unter sehr schwachen Voraussetzungen an den
Zwangstermf.Zusätzlichwird,aufbauendaufderQuadraturregelausdemersten
Kapitel,einAlgorithmuszureffizientenBerechnungderWaveletentwicklungvon
u =Lf skizziert.
Im dritten Kapitel werden Anwendungen in der Regularisierungstheorie vor-
gestellt. Die Invertierung der Lösungsoperatoren aus den beiden ersten Kapiteln
führt bekanntermaßen zu schlecht gestellten Problemen, die durch entsprechen
de Techniken regularisiert werden müssen. Zunächst stellen wir die klassische
vvi
Tikhonov Regularisierung vor, die dann an die Eigenräume der Vorwärtsoperato
ren angepaßt wird. Typischerweise sind diese unbekannt, aber über
dieIntegraldarstellungderProjektorenaufdieseRäumeinKombinationmiteiner
Quadraturregel wird ein Algorithmus entwickelt, der die Projektoren numerisch
approximiert. Derselbe erlaubt es auch, die Restriktion analytischer
Halbgruppen auf gewisse Eigenräume zu invertieren, was zu einem neuartigen
Regularisierungsschema führt. Für das inhomogene Problem stellen wir eine ad
aptive Diskretisierung derjenigen linearen Probleme vor, die bei der Tikhonov
Regularisierungauftreten.
Im vierten Kapitel sind numerische Experimente zu den neuen Algorithmen
und Vergleiche mit klassischen Verfahren zusammengestellt. Die Fehleranalyse
aus dem ersten Kapitel erweist sich als scharf. Desweiteren benötigt die Qua
draturregelwenigerAufwandalseinklassischesEinschrittverfahrenzweiterOrd
nung, um eine vorgegebene Fehlerschranke zu erreichen. Das neuartige Diskre
tisierungsschema für inhomogene Probleme führt zu sehr wenigen signifikanten
Koeffizienten,sodaßdasSchemasehrerfolgversprechenderscheint.Wirdemon
strierendiesenVorteilamBeispielderTikhonov Regularisierung.AmRandedes
DiskretisierungsbereichestretenSingularitätenauf,dievonderadaptivenMultis
kalendiskretisierungsehrguterfaßtwerden.Contents
1 HomogeneousInitialValueProblems 1
1.1 AnalyticSemigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 SpectralProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 FractionalPowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 InterpolationSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 SemigroupsGeneratedbyEllipticOperators . . . . . . . . . . . . 13
1.5 EvaluationoftheLineIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 SincQuadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 PropertiesoftheIntegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 ConvergenceinL(X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
1.5.4 ConvergenceinL(X ,X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 1
1.6 NumericalRealisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 WaveletsforOperatorEquations . . . . . . . . . . . . . . 31