Adaptive space-time finite element methods for optimization problems governed by nonlinear parabolic systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Dominik Meidner

Dominik Meidner

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• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 16
• Langue: English
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Extrait

Inaugural-Dissertation
zur
Erlangung der Doktorwürde
der
Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakultät
der
Ruprecht-Karls-Universität
Heidelberg
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker Dominik Meidner
aus Heidelberg
Tag der mündlichen Prüfung: 3. März 2008Adaptive Space-Time Finite Element Methods
for Optimization Problems Governed by
Nonlinear Parabolic Systems
Gutachter: Prof. Dr. Rolf Rannacher
Prof. Dr. Dr. h.c. Hans Georg BockAbstract
Subject of this work is the development of concepts for the efficient numerical solution of optimization
problems governed by parabolic partial differential equations. Optimization problems of this type arise
for instance from the optimal control of physical processes and from the identification of unknown
parameters in mathematical models describing such processes. For their numerical treatment, these
genericallyinfinite-dimensionaloptimalcontrolandparameterestimationproblemshavetobediscretized
by finite-dimensional approximations. This discretization process causes errors which have to be taken
into account to obtain reliable numerical results.
Focal point of the thesis at hand is the assessment of these discretization errors by a priori and especially
a posteriori error analyses. Thereby, we consider Galerkin finite element discretizations of the state
and the control variable in space and time. For the a priori analysis, we concentrate on the case of
linear-quadratic optimal control problems. In this configuration, we prove error estimates of optimal
order with respect to all involved discretization parameters. The a posteriori error estimation techniques
are developed for a general class of nonlinear optimization problems. They provide separated and
evaluable estimates for the errors caused by the different parts of the discretization and yield refinement
indicators, which can be used for the automatic choice of suitable discrete spaces. The usage of adaptive
refinement techniques within a strategy for balancing the several error contributions leads to efficient
discretizations for the continuous problems.
The presented results and developed concepts are substantiated by various numerical examples including
large scale optimization problems motivated by concrete applications from engineering and chemistry.
Zusammenfassung
Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung von Konzepten für das effiziente numerische Lösen
von Optimierungsproblemen mit Beschränkungen durch parabolische partielle Differentialgleichungen.
Probleme dieser Art entstehen beispielsweise bei der optimalen Steuerung physikalischer Prozesse sowie
bei der Identifizierung unbekannter Parameter in mathematischen Modellen zur Beschreibung solcher
Prozesse. Für ihre numerische Behandlung ist es notwendig, diese generisch unendlich-dimensionalen
Probleme der optimalen Steuerung und Parameterschätzung mittels endlich-dimensionaler Approxima-
tionen zu diskretisieren. Dieser Diskretisierungsprozess verursacht Fehler, die berücksichtigt werden
müssen, um verlässliche numerische Ergebnisse zu erhalten.
Schwerpunkt der vorliegenden Dissertation ist die Abschätzung dieser Diskretisierungsfehler mit Hilfe
von a priori und insbesondere a posteriori Fehleranalysen. Dabei betrachten wir Finite-Elemente-
Diskretisierungen der Zustands- und Kontrollvariablen in Ort und Zeit. Bei der a priori Analyse
konzentrieren wir uns auf den Fall linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme. Hierfür zeigen
wir Fehlerabschätzungen von optimaler Ordnung bezüglich aller beteiligten Diskretisierungsparame-
ter. Die Techniken zur a posteriori Fehlerschätzung werden für eine allgemeine Klasse nichtlinearer
Optimierungsprobleme entwickelt. Sie liefern separierte und auswertbare Schätzungen der durch die
verschiedenen Teile der Diskretisierung verursachten Fehler und stellen Verfeinerungsindikatoren für
die automatische Wahl der geeigneten diskreten Räume bereit. Die Verwendung von adaptiven Ver-
feinerungstechniken innerhalb von Strategien zur Balancierung der einzelnen Fehlerbeiträge führt zu
effizienten Diskretisierungen der kontinuierlichen Probleme.
Die präsentierten Ergebnisse und entwickelten Konzepte werden durch verschiedene numerische Tests
bestätigt. Im Rahmen dieser Tests werden auch Optimierungsprobleme betrachtet, die durch konkrete
Anwendungen aus den Ingenieurwissenschaften und der Chemie motiviert sind.Contents
1 Introduction 1
2 Theoretical Results 7
2.1 Basic notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Abstract optimization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Existence and uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Representation formulas for the derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1 First derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2 Second derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Space-Time Finite Element Discretization 25
3.1 Time discretization of the state variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Discontinuous Galerkin methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Continuous methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Space discretization of the state variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Triangulations and finite element spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Discretization on dynamic meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Discretization of the control variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Time stepping schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Implicit Euler scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Crank-Nicolson scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Algorithmic Aspects of Numerical Optimization 47
4.1 Newton-type methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Optimization loop without assembling the Hessian . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 loop with assembling the Hessian . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.3 Comparison of the presented optimization loops . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Extensions and concretizations of Newton methods . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Linear solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Globalization techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Storage reduction techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Abstract algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Optimization loop without assembling the Hessian . . . . . . . . . . . . 61
4.3.3 loop with assembling the Hessian . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.4 Comparison of the presented optimization loops . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iContents
5 A Priori Error Analysis 67
5.1 Continuous optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Stability estimates for the state and adjoint state . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Error analysis for the state equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Analysis of the temporal discretization error . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.2 of the spatial discretization error . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Error analysis for the optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.1 Error in the control variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.2 Error in the state and adjoint state variable . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.3 Error in terms of the cost functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6 A Posteriori Error Estimation and Adaptivity 97
6.1 Abstract error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Error estimator for the cost functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Error for an arbitrary functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Evaluation of the error estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.1 Approximation of the weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.2 Localization of the error estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Adaptive refinement algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 A heuristic error estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.7 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.7.1 Time-dependent Neumann boundary control . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7.2 Space- and time-dependent control by right-hand side . . . . . . . . . . 120
6.7.3 Comparison to a heuristic error estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 Applicati