Computational modeling of strong and weak discontinuities [Elektronische Ressource] / von Julia Mergheim

Sujets

• Mathematics
• Physik

Informations

• Publié par: technische_universitat_kaiserslautern
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page 1 | #1
Computational Modeling of Strong and Weak
Discontinuities
vom Fachbereich Maschinenbau und
Verfahrenstechnik der Universitat¨ Kaiserslautern
zur Verleihung des akademischen Grades
Doktor–Ingenieur (Dr.–Ing.)
genehmigte Dissertation
von
Dipl.–Ing. Julia Mergheim
aus Bochum
Hauptreferent: Prof. Dr.–Ing. P. Steinmann
Korreferenten: JP Dr.–Ing. E. Kuhl
Prof. Dr.–Ing. P. Hansbo
Vorsitzender: Prof. Dr.–Ing. habil. D. Eifler
Dekan: Prof. Dr.–Ing. J. C. Aurich
Tag der Einreichung: 05. Oktober 2005
Tag der mundl.¨ Prufung:¨ 19. Dezember 2005
Kaiserslautern, Marz¨ 2006
D 386\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page 2 | #2\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page i | #3
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand w ahrend meiner Zeit als Stipendiatin im DFG
Graduiertenkolleg Ingenieurmaterialien auf verschiedenen Skalen: Experiment, Model-
lierung und Simulation an der TU Kaiserslautern. Ich war in den Jahren von 2002 bis
2005 am Lehrstuhl fur Technische Mechanik t atig. Die nanzielle Unterstutzung der
DFG im Rahmen des Graduiertenkollegs erm oglichte erst diese Arbeit.
Besonders herzlich m ochte ich Herrn Professor Steinmann danken, der es mir erm oglicht
hat, diese Arbeit erfolgreich durchzufuhren. Herr Professor Steinmann hat mich konse-
quent unterstutzt und gef ordert und mir trotzdem die n otige wissenschaftliche Freiheit
einger aumt. Seine kreativen Vorschl age und Anregungen waren ausschlaggebend fur das
Gelingen dieser Arbeit.
Frau JP Kuhl m ochte ich fur die intensive Betreuung in den letzten drei Jahren danken.
Zahlreiche motivierende Gespr ache und ihr gro es Interesse an meiner Arbeit haben
entscheidend zum erfolgreichen Abschluss dieser beigetragen. Herrn Professor Hansbo
danke ich sehr herzlich fur die Ubernahme des Korreferats und die zugige Begutachtung
der Arbeit.
Sehr wichtig in der Zeit in Kaiserslautern waren meine Kollegen vom Lehrstuhl fur
Technische Mechanik. Ich m ochte mich bei allen LTMlern fur ihre Hilfsbereitschaft
und die angenehme Arbeitsatmosph are bedanken. Ein besonderer Dank fur anregende
Diskussionen und motivierende Ka eepausen gilt Grieta Himpel, Ellen Kuhl, Ralf
Denzer, Gunnar Possart, Andreas Menzel, Swantje Bargmann und Sigrid Leyendecker.
Meiner Familie danke ich fur ihre Unterstutzung w ahrend meiner ganzen Ausbildung.
Besonders herzlich danke ich meinem Freund Christopher fur seine Unterstutzung und
Geduld.
Kaiserslautern, M arz 2006 Julia Mergheim
i\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page ii | #4\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page iii | #5
Einleitung
Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Analyse von neuartigen Finite Element
Ans atzen zur Beruc ksichtigung von Diskontinuit aten. Bei numerischen Simulationen mit
Hilfe der Finiten Element Methode war die Abbildung von Diskontinuit aten lange Zeit
durch die zu Grunde liegende Vernetzung eingeschr ankt. Unter dem Begri Diskonti-
nuit aten werden im Rahmen dieser Arbeit starke und schwache Diskontinuit aten zusam-
mengefasst. Starke Diskontinuit aten bezeichnen Sprunge im Verschiebungsfeld, also das
Auftreten von Rissen. Der Begri schwache Diskontinuit at bedeutet, dass ein Sprung
im Gradienten des Verschiebungsfeldes also in den Verzerrungen auftritt. Dieses ist zum
Beispiel der Fall bei unterschiedlichen Materialien, Einschlussen oder L ochern innerhalb
einer Struktur.
Im Rahmen der klassischen Finiten Element Methode k onnen solche Diskontinuit aten
nur entlang von Elementgrenzen beruc ksichtigt werden. Das fuhrt o ensic htlich zu netz-
abh angigen L osungen oder erfordert eine st andige Neuvernetzung der Struktur. Um diese
Einschr ankungen der Finiten Element Methode aufzuheben, werden in der vorliegenden
Arbeit diskontinuierliche Finite Element Ans atze entwickelt. Diese werden sowohl zur
Modellierung und Simulation von Versagensvorg angen und Rissfortschritt, als auch zur
netzunabh angigen Sim von Materialgrenzen und Einschlussen herangezogen.
Die maximal aufnehmbare Belastung einer Struktur ist durch das Entstehen von Ver-
sagenszonen begrenzt, die in spr oden Materialien durch das Auftreten von Rissen
gekennzeichnet sind. Der Versagensvorgang geht mit einer Entfestigung des Materials
durch Sch adigung und Bildung von Mikrorissen einher. Sobald eine kritische Belastung
ub erschritten wird, nimmt die aufnehmbare Last bei weiterer Deformation ab, bis die
Struktur letztendlich versagt. Zur Beschreibung von Versagensvorg angen sind in der Ver-
gangenheit kontinuierliche und diskontinuierliche numerische Methoden untersucht wor-
den. In den kontinuierlichen Ans atzen wird das Verschiebungsfeld als kontinuierlich ange-
sehen und entfestigendes Materialverhalten, welches den Versagensvorgang einleitet, wird
mit Hilfe spezieller konstitutiver Gesetze beschrieben. Dieses Verfahren hat den Vorteil,
dass numerische Analysen in einem kontinuierlichen Rahmen m oglich sind. Allerdings ist
bekannt, dass Regularisierungen der Kontinuumsformulierung (z. B. nicht-lokale oder gra-
dientenerweiterte Ans atze) n otig sind, um eine Netzabh angigkeit numerischer L osungen
beim Ubergang zu lokalisiertem Versagen zu vermeiden. Betrachtet man die Ausdehnung
der Versagenszone und den Versagensvorgang bis hin zu diskreten Rissen, so liegt es
nahe, diskontinuierliche Ans atze zu verwenden. Durch die Einfuhrung einer Diskonti-
iii\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page iv | #6
nuit at im Verschiebungsfeld wird eine realistischere Beschreibung des postkritischen Ver-
haltens erm oglicht. Die konstitutive Beschreibung inelastischen Materialverhaltens wird
durch die Einfuhrung von Traktions-Separations-Beziehungen entlang der Diskontinuit at
erm oglicht.
Die numerische Umsetzung des diskontinuierlichen Modells erfolgt in zwei Schritten.
Zun achst wird ein Ansatz zur Beschreibung von Versagensvorg angen entwickelt, bei dem
die Diskontinuit aten auf die Elementgrenzen beschr ankt sind. Wenn die Versagens-
geometrie a priori bekannt ist, k onnen Interface Elemente entlang dieser Versagenszone
eingesetzt werden. Im vorkritischen Bereich wird die Kontinuit at des Verschiebungsfeldes
mit Hilfe der diskontinuierlichen Galerkin Methode erzwungen, im postkritischen Bere-
ich beschreibt ein ph anomenologisches Traktions-Verschiebungs-Gesetz das entfestigende
Materialverhalten.
Bei der Simulation von sich ausbreitenden Diskontinuit aten ist im Allgemeinen allerdings
die Versagenszone nicht a priori bekannt. Aus diesem Grund wird eine Methode mit
diskontinuierlichen Elementans atzen entwickelt, die das Auftreten von Diskontinuit aten
innerhalb der Elemente erm oglicht. Dabei werden in den diskontinuierlichen Elementen
zus atzliche Freiheitsgrade an den schon bestehenden Knoten eingefuhrt. Das fuhrt
sozusagen zu einer Verdoppelung des Elements und erm oglicht somit die Approximation
von zwei unabh angigen Feldern. Bei der Integration der Gleichungen wird jeweils nur ein
Teil des Elements beruc ksichtigt. Dies erfolgt ub er die Formulierung diskontinuierlicher
Ansatzfunktionen, die identisch mit den normalen Ansatzfuntionen sind, allerdings jew-
eils auf einer Seite der Diskontinuit at den Wert Null annehmen. Um die Ausbreitung
des Risses zu beschreiben, werden ein Versagenskriterium und eine Methode zur Bestim-
mung der Rissrichtung ben otigt. Dazu wird ein Hauptspannungskriterium herangezogen.
Wird die Festigkeit des Materials ub erschritten, so wird die Diskontinuit at verl angert.
Zur Richtungsbestimmung wird ein gewichtetes Mittel der Spannungen im Bereich der
Rissspitze gebildet.
Der beschriebene Ansatz wird fur geometrisch lineare und nichtlineare Problemstellun-
gen spezi ziert. Die Erweiterung fur den geometrisch nichtlinearen Rahmen bringt
die Beruc ksichtigung unterschiedlicher kinematischer Beziehungen mit sich. Die De -
nition der Diskontinuit ats ache ist innerhalb der geometrisch nichtlinearen Theorie in
der verformten Kon guration nicht mehr eindeutig. Zur Formulierung von Traktions-
Verschiebungs-Beziehungen muss aus diesem Grund eine ktiv e Diskontinuit ats ache
eingefuhrt werden. Des Weiteren muss die Anderung des r aumlichen Normalenvek-
tors auf diese Diskontinuit ats ache bei der Formulierung von Traktions-Verschiebungs-
Beziehungen und deren Linearisierung beruc ksichtigt werden.
Die numerische Umsetzung dieses Ansatzes erfolgt fur zwei und drei dimensionale Prob-
lemstellungen. Dabei erfordert die Einfuhrung neuer Freiheitsgrade, die geometrische
Beschreibung des Risses und die Integration der diskontinuierlichen Elemente besondere
iv\main" | 2006/3/15 | 19:54 | page v | #7
Methoden. Die Einfuhrung neuer Freiheitsgrade erfolgt am Ende eines Lastschritts,
falls das Versagenskriterium ub erschritten wird. Die Beschreibung der Rissgeometrie
erfolgt durch die Identi zierung der Schnittpunkte der Elementkanten mit der Diskon-
tinuit ats ache. Diese werden auch zur Integration der diskontinuierlichen Elemente
herangezogen.
Die Leistungsf ahigkeit der entwickelten Methode wird mit Hilfe von zwei und drei di-
mensionalen Beispielen verdeutlicht. Dabei wird insbesondere die Unabh angigkeit der
Resultate von der r aumlichen Diskretisierung gezeigt.
Die diskontinuierlichen Elemente werden au erdem zur netzunabh angigen Simulation von
schwachen Diskontinuit aten verwendet. Wie bereits erw ahnt we