Contribution à l'analyse de la dynamique quantique dans des systèmes de Hall en présence d'un flux Aharonov-Bohm dépendant du temps, Contributions to the analysis of the quantum dynamics of Hall systems with time dependant Aharonov-Bohm flux

Cédric Meresse

Description

Sous la direction de Joachim Asch
Thèse soutenue le 25 novembre 2010: Aix Marseille 2
Nous nous intéressons à la dynamique dans les systèmes de Hall en présence d'un flux Aharonov-Bohm dépendant du temps. Nous présenterons deux théorèmes adiabatiques applicable à ces modèles ainsi qu'un résultat sur l'existence d'une constante de mouvement non-trivial. On utilisera un algorithme de diagonalisation partielle.
-Dynamique quantique
-Systeme de Hall
-Flux Aharonov-Bohm
We will ahve interest in the quantum dynamics in Hall systems with time dependent Aharonov-Bohm flux. We will present two adiabatic theorems which can applied to these models and a quantitive result on the existence of a non-trivial constant of motion. To prove this result, we will use a partial diagonalization algorithm
Source: http://www.theses.fr/2010AIX22116/document

Informations

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Extrait

Centre de Physique Th´eorique
Th`ese de doctorat
Contribution `a l’analyse de la dynamique quantique
dans des syst`emes de Hall en pr´esence d’un flux
Aharonov-Bohm d´ependant du temps
MERESSE Cedric
Directeur de th`ese : Dr ASCH Joachim
Jury :
25 Novembre 20102Table des Mati`eres
1 Introduction 6
2 Analysespectraledumod`eledeLandau`afluxAharonov-Bohmd´ependant
du temps 11
2.1 D´efinition du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Op´erateurs de cr´eation et d’annihilation . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Propri´et´es des op´erateurs de cr´eation et d’annihilation et rela-
tion avec H(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 D´etermination du spectre et des fonctions propres . . . . . . . 17
2.3 Propri´et´es des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Continuit´e en “flux” des fonctions propres . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Fonctions propres et transformation de jauge . . . . . . . . . . 28
2.3.3 D´eveloppement dans la base propre des d´eriv´ees en temps des
fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Th´eor`emes adiabatiques 34
3.1 Th´eor`eme adiabatique pour la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Principe g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Un r´esultat sur les projecteurs diff´erentiables . . . . . . . . . . 36
3.1.4 Th´eor`eme adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Application `a notre mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Choix du projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
33.2.2 Un r´esultat adiabatique pour le probl`eme `a flux d´ependant du
temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Dynamique adiabatique du niveau fondamental de Landau . . . 52
3.2.4 Dynamique de superposition d’´etats propres du niveau fonda-
mental de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Second th´eor`eme adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Le th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
La 24 Forme normale de l’hamiltonien H +ε V ou` V est un polynˆome du
second degr´e. 62
4.1 Structure symplectique et repr´esentation m´etaplectique . . . . . . . . . 63
4.1.1 Groupe et alg`ebre de Lie symplectique . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Cadre quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Repr´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Mise en place du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Diagonalisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.1 Le cas elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.2 Le cas hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.3 Le cas parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Une remarque sur le cas lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
La5 Diagonalisation partielle d’op´erateurs du type H +V 90
5.1 Le r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Un algorithme de diagonalisation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Enonc´e de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Algorithme formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Les outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.4 Sur l’´equation au commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.5 Convergence de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Preuve du r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Application `a la dynamique des syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . 108
46 La classe de potentiels G 110
6.1 La fonction gaussienne g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Les ´el´ements de matrice de g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.3 Estimation des ´el´ements de matrice . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 La classeG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.1 D´ecaler les potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2 D´ecroissance des potentiels deG . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Bibliographie 125
5Chapitre 1
Introduction
En 1879, E. H. Hall [Hall] observa l’effet Hall classique, c’est-`a-dire la valeur
B
R =H
n|e|
de la composante off-diagonale du tenseur de r´esistance pour le probl`eme 2 dimension-
nel en champ magn´etique et ´electrique crois´e. Ici,e la charge de l’´electron (classique),
B la valeur du champ magn´etique et n le nombre d’´electrons par unit´e de surface.
En 1980, K. von Klitzing [KDP] observa un nouveau ph´enom`ene qui apparait dans
un r´egime quantique. Cette d´ecouverte lui valut le prix Nobel de Physique en 1985.
Il mesura la r´esistance de Hall en fonction du champ magn´etique et s’aperc¸ut quelle
n’´etait pas lin´eaire mais pr´esentait des plateaux quantifi´es selon la relation
h
R =H 2ie
avec i est un entier, pendant que la r´esistance longitudinale s’annule.
Pour les th´eoriciens, ils fallaient maintenant expliquer d’ou` venaient ces plateaux,
pourquoi leurs quantifications ´etaient si pr´ecises et pourquoi la r´esistance longitudinale
s’annulait lors d’un plateau.
Parmi les premiers travaux donnant une explication `a ces r´esultats, on trouve ceux
6Figure1.1: Dansl’effetdeHall, lechampmagn´etiqueestappliqu´eperpendiculairement
`a l’´echantillon suivant la direction z, nous faisait passer un courant suivant x et la
tension de Hall est mesur´e suivant y. Cr´edit : NIST.
de Laughlin et Halperin [La, Halp]. Pour cela, le mod`ele qu’ils utilis`erent fut celui d’un
anneau dans lequel on fait passer un tube de flux. Nous pouvons ´etendre cet anneau `a
l’infini afin d’obtenir un plan perc´e par le tube de flux. Ce mod`ele, que l’on appellera
par la suite ce probl`eme “mod`ele de type Aharonov-Bohm avec flux d´ependant du
temps”, fut tr`es ´etudi´e [BvES, ASS1, ASS2, EGS].
Uneanalysepr´ecisedeladynamiquen’´etaitcependantpas unbutpourcestravaux.
Ils firent un usage des th´eor`emes adiabatiques, qui ne sont pas, strictement parlant,
directement applicables. D’un autre cˆot´e, le mod`ele est suffisamment explicite pour
que nous pr´ecisions ces informations. C’est cette id´ee qui guida l’analyse produite dans
ce document.
Dans un autre mod`ele, nous consid´erons un potentiel de confinement qui enferme
les particules dans une bande. Il fournit ´egalement une r´eponse au probl`eme de quan-
tification en pr´esence de d´esordre [CGH]. D’autres r´esultats ont pu ˆetre rigoureuse-
ment v´erifi´e `a l’aide de ce mod`ele, comme l’´egalit´e entre la conductivit´e d´efinie par
les courants de bords et dans le bulk [El]. On se r´ef´erera `a [Gra] et aux r´ef´erences `a
7l’int´erieur pour plus d’informations.
La version classique du mod`ele que nous allons ´etudier, a ´et´e ´etudi´ee dans [AS2].
On y observe un comportement curieux concernant la dynamique des particules duˆ `a
la pr´esence d’un tube de flux. Il y a deux r´egimes diff´erents. Le premier est le mouve-
ment cyclo¨ıdale classique avec un centre qui se d´eplace le long des lignes de niveaux
du potentiel. Dans le second r´egime, la particule, une fois arriv´ee sur le tube de flux,
spirale autour. La figure 1.2 repr´esente la trajectoire d’une particule pour l’hamiltonien
`a flux d´ependant du temps plus un potentiel p´eriodique V(z). En arri`ere-plan sont
dessin´ees les lignes de niveaux du potentiel V(z) + argz. argz est formellement le
potentiel ´electrique cr´ee par le flux lin´eairement en temps.
1 2Figure 1.2: V(x,y) = (sinx+siny), (x,y)∈ [−10,10]
10
Le ph´enom`ene classique illustr´e par la figure 1.2 se r´esume en coordonn´ees de gy-
ration comme suit : avant de toucher le tube de flux, l’´energie cin´etique est constante
et c’est le centre qui bouge. D`es que la particule atteint l’origine, alors le centre se
fixe et l’´energie se met `a croitre.
Dans cette th`ese, nous contribuons `a l’analyse quantique correspondante.
8Dans le cas quantique, pour chaque valeur du temps, nous sommes amen´e `a
¯´etudier l’op´erateur d’´energie cin´etique H(t) et son complexe conjugu´e H(t). C