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Ecole Doctorale ”Sciences, Ingenierie´ et Environnement”
Laboratoire de Modelisation´ et Simulation Multi Echelle MSME (CNRS, UMR 8208)
Equipe de Mecanique´
These` de Doctorat present´ ee´ pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universite´ Paris Est
Specialit´ e´ : Mecanique´
Present´ ee´ et soutenue publiquement le 17 Septembre 2010 par
Minh Tuan NGUYEN
CONTRIBUTION A LA FORMULATION SYMETRIQUE
DU COUPLAGE EQUATION INTEGRALE - ELEMENTS FINIS.
APPLICATION A LA GEOTECHNIQUE.
Directeurs de these`
Guy BONNET et Duc Chinh PHAM
Jury :
F.Z. QIANG Universite´ d’Evry
A. CORFDIR Universite´ Paris Est. Ecole des Ponts ParisTech
D.H. NGUYEN Universite´ de Liege,` Belgique
Q.S. Ecole Polytechnique
D.C. PHAM Institut de Mecanique,´ Hanoi,Vietnam
´G. BONNET Universite Paris Est
1
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Remerciements
Ce travail a et´ e´ realis´ e´ dans le Laboratoire de Modelisation´ et Simulation Multi Echelle MSME (CNRS,
URM 8208) de l’Universite´ Paris Est Marne la Vallee,´ dirige´ par Monsieur Christian SOIZE.
Je voudrais adresser mes premiers remerciements a` mon directeur de these,` Monsieur Guy BONNET. Je
tiens sincerement` a` lui exprimer toute ma reconnaissance pour tous les conseils et suggestions qu’il m’a
apportes´ lors de la direction de ma these.`
J’exprime eg´ alement ma reconnaissance a` Monsieur Duc Chinh PHAM pour sa participation a` la di
rection de ma these.` Je tiens a` remercier Messieurs Dang Hung NGUYEN et Zhi Qiang FENG d’avoir
accepte´ de rapporter sur mon memoire´ de these,` ce qui n’est pas un travail si facile.
Je remercie Monsieur Quoc Son NGUYEN d’avoir examine´ ce travail et de m’avoir fait l’honneur de
presider´ le jury de cette these.`
Je remercie eg´ alement Monsieur Alain CORFDIR d’avoir et´ e´ membre du jury et d’avoir examine´ mon
travail tout au long de ma these.`
Je voudrais adresser mes remerciements a` tous les membres du Laboratoire de Modelisation´ et Simula
tion Multi Echelle MSME (CNRS, URM 8208) de l’Universite´ Paris Est Marne la Vallee,´ pour leurs
conseils, leurs competences´ ou leur amitie´ ; ils m’ont et´ e´ d’un grand secours dans les moments parfois
difficiles rencontres´ tout au long de ma these.`
Je tiens eg´ alement a` exprimer du fond du coeur, ma reconnaissance a` mes parents, les membres de
ma famille et mes amis, qui m’offrent toujours un appui par leur soutien et leurs encouragements. En
particulier, a` ma femme Thien Huong et a` ma fille Ngoc Le : apres` les separations´ de longue haleine,
nous retrouvons le goutˆ veritable´ de la vie familiale. Merci de m’avoir soutenu, encourage.´ Merci aussi
pour toute la patience et l’amour qu’elles m’ont apportes.´
Enfin, les remerciements ci dessus ne sont qu’une petite partie des mots que je veux exprimer, je garde
le reste dans mon coeur.
2
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Table des matier` es
Introduction 11
´1 Equation integrale, el´ ements´ de frontier` e et couplage avec les el´ ements´ finis 14
1.1 Gen´ eralit´ es´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
´1.1.1 Equation integrale´ pour un operateur´ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Operateur´ de l’elasticit´ e´ lineaire´ et probleme` aux limites . . . . . . . . . . . . . 15
´ ` ´ ´ ´ ´ ´1.2 Theoreme de reciprocite et solution elementaire pour l’elastostatique . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Theor´ eme` de reciprocit´ e´ de Maxwell Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Solutions el´ ementaires´ de l’elasticit´ e´ lineaire´ isotrope . . . . . . . . . . . . . . . 17
´ ´1.3 Formules de representation integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Probleme` interieur´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
´1.3.2 Equation integrale´ regularis´ ee´ en deplacement´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Probleme` exterieur´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Methode´ des el´ ements´ de frontiere` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Principe de la methode´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Discretisation´ des inconnues, construction et resolution´ numerique´ du probleme`
discretis´ e´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Couplage el´ ements´ finis el´ ements´ de frontiere` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Position du probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Procedure´ de couplage a` l’aide du logiciel CESAR LCPC . . . . . . . . . . . . 28
2 Couplage el´ ement´ finis el´ ements´ de frontier` e et fonctions de Green modifiees´ 29
2.1 Resultats´ anterieurs´ sur la validite´ de l’equation´ integrale´ pour le probleme` plan exterieur´ 30
2.2 Formulation ener´ getique´ et construction de la matrice de raideur de frontiere` . . . . . . . 31
2.3 Mise en oeuvre pour un demi plan par tenseur de Green classique . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Solutions el´ ementaires´ de Green pour un demi plan . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Construction des matrices[H] et[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Calcul des integrales´ el´ ementaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20112.3.4 Test sur la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . 43
2.4 Analyse de la non positivite´ de la matrice de raideur et construction des fonctions de
Green modifiees´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Discussion sur la non positivite´ de la matrice de raideur a` partir de solutions
physiques pour l’equation´ de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Obtention d’une solution physique par un choix convenable de solution singuliere` 45
2.4.3 Fonctions de Green et tenseur de Green modifies´ pour quelques problemes` plans 46
2.4.4 Verification´ de la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . 48
2.5 Mise en oeuvre pour un demi plan par fonctions de Green ”modifiees”´ . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Fonctions de Green ”modifiees”´ pour un demi plan . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 Construction des matrices[H];[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3 Test sur la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . 50
2.6 Mise en oeuvre pour un plan entier avec le tenseur de Green modifie´ . . . . . . . . . . . 50
´2.6.1 Tenseur de Green modifie pour un plan entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2 Calcul des integrales´ el´ ementaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3 Test sur la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . 52
2.7 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.1 Massif soumis a` une pression uniforme en surface . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.2 Cavite´ circulaire soumise a` une pression uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Couplage el´ ement´ finis el´ ements´ de frontier` e par formulation ener´ getique´ symetrique´ 69
3.1 Formulation ener´ getique´ symetrique´ - cas de l’elasticit´ e´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1 Formulation de l’apport d’ener´ gie induit par un champ de deplacement´ . . . . . 70
3.1.2 Discretisation´ de l’apport d’ener´ gie et construction de la matrice de raideur . . . 72
3.2 Mise en oeuvre de la formulation ener´ getique´ symetrique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.1 Fonctions de Green ”modifiees”´ pour un plan entier . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.2 Construction des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.3 Test de positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . . 87
3.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.1 Comportement elastique´ lineaire´ isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.2 elastoplastique´ de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Conclusion et perspectives 93
A Mise en oeuvre du progiciel CESAR LCPC 95
4
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011B Quelques formules utilisees´ dans le calcul des integrales´ 97
´ ´References 98
5
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Table des figures
1.1 Domaine d’etude´ › et domaine auxiliaire(E) servant a` definir´ U(x,y). . . . . . . . . . . 17
1.2 Demi plan : notations geometriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19´ ´
1.3 Voisinage d’exclusionv (x) et notations utilisees´ pour le passage a` la limite. . . . . . . 21"
1.4 Domaine› pour le passage a` la limiter¡!1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22R
1.5 Maillage des el´ ements´ finis el´ ements´ de frontier` e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Geom´ etrie´ du probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Geom´ etrie´ du probleme` et notations pour la solution analytique. . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Chargement sur une fondation superficielle. Maillage des el´ ements´ finis utilise´ pour les
calculs numeriques.´ Les el´ ements´ de frontier` e sont appliques´ sur les bords verticaux et
sur le bord horizontal inferieur´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Contrainte verticale
au droit de l’axe de symetrie´ en fonction de la distance a` la surface. Influence de la
dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Deplacement´ verti
cal des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence de
la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Deplacement´ verti
cal relatif des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence
de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Contrainte verticale
au droit de l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele` theorique´ pour une
dimension caracteristique´ (a=120m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Deplacement´ verti
cal relatif sur la surface. Ecart relatif par rapport au modele` theorique´ pour une dimen
sion caracteristique´ (a=120m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20112.9 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Contrainte
verticale au droit de l’axe de symetrie´ en fonction de la distance a` la surface. Influence
de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.10 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Deplacement´
vertical des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence
de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Deplacement´
vertical relatif des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ .
Influence de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.12 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Deformation´
plastique sur l’axe de symetrie´ en fonction de la profondeur. Influence de la dimension
caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.13 Maillage utilise´ pour les calculs numeriques´ dans le cas d’une cavite´ circulaire. . . . . . 61
2.14 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Contrainte radiale en
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence de la dimension caracteristique´ a
sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.15 Cas d’une cavite circulaire sous pression dans un sol elastique. Deplacement radial en´ ´ ´
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence de la dimension caracteristique´ a
sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.16 Cas d’une cavite circulaire sous pression dans un sol elastique. Contrainte radiale en´ ´
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et
la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.17 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Calcul de la contrainte
radiale. Ecart relatif par rapport au modele` theorique´ pour une dimension caracteristique´
(a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.18 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Deplacement´ relatif en
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et
la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.19 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Deplacement´ relatif en
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele` theorique´
pour une dimension caracteristique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.20 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Contrainte radiale
en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´
et la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20112.21 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Contrainte ra
diale en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ pour une dimension caracteristique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.22 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deplacement´
radial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution
theorique´ et la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.23 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deplacement´ ra
dial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ pour une dimension caracteristique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.24 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deformation´ plas
tique en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Contrainte radiale en fonction de
la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les resultats´
numeriques (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88´
3.2 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ sur la contrainte radiale en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Com
paraison entre les resultats numeriques (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88´ ´
3.3 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Deplacement´ radial en fonction de
la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les resultats´
numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ sur le deplacement´ radial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Com
paraison entre les resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Contrainte radiale en fonc
tion de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les
resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Ecart relatif par rapport au
modele` theorique´ sur la contrainte radiale en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ .
Comparaison entre les resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deplacement´ radial en fonc
tion de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les
resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Ecart relatif par rapport au
modele` theorique´ sur le deplacement´ radial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ .
Comparaison entre les resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20113.9 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deformation´ plas
tique en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . 92
9
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Liste des tableaux
2.1 Matrice de raideur pour un domaine ouvert carre´ plan elastique´ et ses valeurs propres. . 43
2.2 Matrice de raideur pour l’equation de Laplace dans un domaine carre plan et ses valeurs´ ´
propres, pour une longueur caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Matrice de raideur pour l’equation´ de Laplace dans un domaine carre´ plan et ses valeurs
propres, pour une longueur caracteristique´ a=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Matrice de raideur pour un domaine elastique´ carre´ plan non ferme´ et ses valeurs
propres, pour une longueur caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Matrice de raideur pour un domaine elastique´ carre´ plan ferme´ et ses valeurs propres,
pour une longueur caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Domaine plan carre´ elastique´ . Matrice de raideur obtenue par formulation symetrique´
et ses valeurs propres pour une distance caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . 87
10
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011