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Contrôle des calculs en dynamique : bornes strictes et pertinentes sur une quantité d'intérêt, Model verification in transient dynamics : efficient and strict bounds on a quantity of interest

De
223 pages
Sous la direction de Pierre Ladevèze
Thèse soutenue le 10 décembre 2010: École normale supérieure de Cachan
Dans l'industrie, l'objectif est de remplacer certains essais expérimentaux très coûteux par des simulations numériques. Cependant, peut-on faire confiance à la simulation numérique? C'est l'objet de la thématique de recherche appelée “vérification”. Elle a pour but d'estimer l'erreur commise entre la solution du modèle mathématique et celle fournie par un modèle numérique. De plus, pour le dimensionnement de structures, l'ingénieur requiert que cet estimateur d'erreur soit garanti, c'est à dire qu'il majore l'erreur réelle, et qu'il soit pertinent, c'est à dire qu'il soit proche de l'erreur réelle. Les travaux présentés ici consistent tout d'abord à prouver la faisabilité de la méthode d'obtention de bornes garanties de l'erreur sur une quantité d'intérêt dans le cadre de la dynamique transitoire. Cette méthode est basée sur le concept d'erreur en relation de comportement et la résolution d'un problème adjoint. Dans un deuxième temps, différentes stratégies sont développées afin d'améliorer la pertinence de l'estimateur d'erreur locale. Enfin, cette méthode est étendue aux quantités d'intérêt ponctuelles. La difficulté majeure réside dans la résolution du problème adjoint dont le chargement est singulier. Pour cela, nous avons choisi de décomposer la solution en une partie analytique, déterminée à partir des fonctions de Green de dynamique, et d'une partie numérique, déterminée à l'aide de la méthode des éléments finis et d'un schéma d'intégration temporel. Tous ces aspects visant à mettre en place les premières bornes garanties et pertinentes de l'erreur sur une quantité d'intérêt en dynamique, sont illustrés et validés sur des exemples numériques en 2D.
-Vérification
-Erreur locale
-Erreur en relation de comportement
-Dynamique
-Fonctions de Green
Thanks to the development of computers and dedicated methods, more and more numerical computations are used in mechanical engineering to substitute expensive experiments. Nevertheless, one can wonder whether numerical results are reliable or not? Research domain called verification focus on this question. In verification, we aim at estimating the discretization error between the solution of a mathematical model and the solution of a numerical model. For robust design, the error estimator must be guaranteed i.e. it should overestimate the real error, and sharp i. e. it should be close to the real error. Within the framework of transient dynamics problems, we first deal with the feasibility of the method to obtain guaranteed bounds ofthe error on a quantity of interest. This method uses the concept of constitutive relation error and the resolution of an adjoint problem. Finally, it must be noted that admissible fields in dynamics need to be computed. Then, our objective is to perform techniques that improve the accuracy of the bounds. Lastly, an extension to pointwise quantities of interest is proposed. The main difficulty is the resolution of the adjoint problem whose loading is singular. Consequently, we choose to decompose the solution within an analytical part, determined from dynamical Green functions in infinite media and a residual part, determined numerically using the finite element method and a time integration scheme. In summary, this work intends to present and illustrate on 2D numerical examples the first guaranteed and sharp bounds of the error on a quantity of interest in transient dynamics.
Source: http://www.theses.fr/2010DENS0051/document
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CACHAN
ENSC-2010/2011
`THESE DE DOCTORAT
´ ´DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
Pre´sente´e par
Julien Waeytens
pour obtenir le grade de
´ ´DOCTEUR DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
Domaine
´ ´ ´ ´MECANIQUE - GENIE MECANIQUE - GENIE CIVIL
Sujet de la the`se
ˆControle des calculs en dynamique :
´ ´ ˆbornes strictes et pertinentes sur une quantite d’interet
Soutenue a` Cachan le 10 de´cembre 2010 devant le jury compose´ de :
Marc Bonnet Directeur de recherche, Ecole Polytechnique Pre´sident du jury
Arnaud Deraemaeker Directeur de recherche, Universite´ Libre de Bruxelles Rapporteur
Pedro D´ıez Professeur, Universitat Polite`cnica de Catalunya Rapporteur
Luc Gonidou Inge´nieur, CNES Examinateur
Bing Tie Charge´e de recherche, Ecole Centrale Paris Examinateur
Ludovic Chamoin Maˆıtre de confe´rences, ENS de Cachan Examinateur
Pierre Ladeve`ze Professeur, ENS de Cachan Directeur de the`se
LMT-Cachan
ENS Cachan / CNRS / UPMC / PRES UniverSud Paris
61 avenue du Pre´sident Wilson, F-94235 Cachan cedex, France
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011Je tiens en premier lieu a` exprimer ma profonde gratitude a` mon directeur de the`se
Pierre Ladeve`ze pour m’avoir accorde´ sa confiance en me permettant de travailler sur ce
sujet.
J’ai vraiment e´prouve´ un grand plaisir a` travailler avec Ludovic Chamoin. Sa
sympathie, sa disponibilite´ et ses compe´tences m’ont permis de re´aliser la the`se dans les
meilleures conditions. En plus d’eˆtre un excellent encadrant, c’est un tre`s bon ami. Merci
de m’avoir fait de´couvrir le vin d’Irancy et le stade bourguignon de l’Abbe´-Deschamps !
Je suis sensible a` l’honneur que m’ont fait M. Bonnet, M. Deraemaeker, M. D´ıez, M.
Gonidou et Mme Tie en acceptant d’eˆtre dans mon jury.
Au cours de ma scolarite´, j’ai eu le privile`ge de travailler avec Theofanis Strouboulis.
Je tiens a` le remercier de m’avoir accueilli a` Texas A&M University et de m’avoir initie´
au calcul d’erreur.
Je n’oublierai jamais ma premie`re confe´rence internationale a` Bruxelles ; studieuse
la journe´e et festive la nuit. Un grand merci a` Eric, pilier de l’e´quipe erreur, ainsi qu’a`
Aure´lie et Tanguy !
A mes amis de la 211, j’exprime de chaleureux remerciements pour tous les bons
moments passe´s au bar du labo a` discuter d’agriculture biologique avec Thomas, du mol
avec Matthieu, des night clubs de l’ˆıle de Rhodes avec Gre´gory, des diffe´rentes recettes
de brioche avec Chloe´, d’IP over pigeon avec Augustin, de spe´cialite´s culinaires a` base
de biscottes avec Pierre-Etienne et des DJ nic¸ois avec Nathan.
Je souhaite remercier Franc¸oise et Lydia pour leur aide concernant les formalite´s
administratives et Ame´lie pour la recherche d’articles.
J’ai beaucoup appre´cie´ ces anne´es passe´es au DGM en tant que moniteur et au LMT.
Malgre´ l’absence du soleil et des cigales, c’est un endroit convivial ou` il fait bon vivre !
Merci a` tous pour cette bonne humeur permanente.
Bien suˆr, je n’oublie pas mes colle`gues footballeurs de l’ENS avec qui j’ai joue´ tout
au long de ma scolarite´. Je les remercie pour leur accueil et pour leurs innombrables
conseils footballistiques.
Enfin, je ne remercierai jamais assez ma Caro.
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011`Table des matieres
Table des matie`res i
Table des figures v
Liste des tableaux ix
Introduction 1
1 Etat de l’art sur l’estimation d’erreur 7
1 Proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 La viscoe´lasticite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 De´finition du proble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Re´solution du proble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Estimateur d’erreur globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Erreur de discre´tisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Erreur de discre´tisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Erreur de discre´tisation en espace et en temps . . . . . . . . . . . 30
3 Les estimateurs d’erreur locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Les premiers travaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Me´thodes utilisant un proble`me adjoint . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Me´thodes base´es sur l’erreur en relation de comportement . . . . 45
2 La me´thode de calcul des bornes garanties sur une quantite´ d’inte´reˆt 49
1 Proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.1 De´finition du proble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 Re´solution du proble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Erreur en dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Quantite´ d’inte´reˆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Proble`me adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Obtention de bornes strictes sur une quantite´ d’inte´reˆt . . . . . . . . . . . 57
5.1 Majoration avec l’ine´galite´ de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . 57
5.2 Majoration avec l’ine´galite´ de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . 59
6 Exemples nume´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1 Re´solution du proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . . . . . . 67
Controˆle des calculs en dynamique: bornes strictes et pertinentes sur une quantite´ d’inte´reˆt
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011ii Table des matie`res
6.2 Erreur en dissipation du proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . 68
6.3 Etude de la quantite´ d’inte´reˆt n˚1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Etude de la quantite´ d’inte´reˆt n˚2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 La technique de construction de champs admissibles en dynamique 81
1 Notion de champs admissibles en dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1 Cas de l’erreur au sens de Drucker . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.2 Cas de l’erreur en dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Reconstruction des champs admissibles pour l’erreur en dissipation . . . 85
2.1 De´marche ge´ne´rale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.2 Une technique de construction d’une contrainte admissible . . . . 87
2.3 Autres me´thodes de construction d’une contrainte admissible . . . 90
3 Reconstruction optimise´e des champs admissibles . . . . . . . . . . . . . 93
4 Exemples nume´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1 Sche´ma des acce´le´rations line´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Sche´ma des acce´le´rations moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Ame´lioration de la pertinence des bornes d’erreur garanties 101
1 Raffinement global du proble`me adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.1 Etude de la quantite´ d’inte´reˆt n˚1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.2 Etude de la quantite´ d’inte´reˆt n˚2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Raffinement local du proble`me adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.1 Champs admissibles pour des maillages non-conformes . . . . . . 115
2.2 Erreur en dissipation et obtention des bornes . . . . . . . . . . . 119
3 Encadrement prenant en compte le terme d’e´nergie cine´tique . . . . . . . 121
3.1 De´marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2 Exemples nume´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 Calcul de bornes d’erreur garanties pour des quantite´s ponctuelles 137
1 Fonctions e´le´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.1 Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.2 Elastodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.3 Viscoe´lastodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2 Bornes sur une quantite´ d’inte´reˆt ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.1 Proble`me adjoint et sa re´solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.2 Reconstruction des champs admissibles pour le proble`me adjoint . 156
2.3 Obtention de l’encadrement de la quantite´ d’inte´reˆt ponctuelle . . 158
3 Exemples nume´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.1 Quantite´ d’inte´reˆt ponctuelle en espace et moyenne´e en temps . . 160
3.2 Vers des quantite´s d’inte´reˆt ponctuelles en espace et en temps . . 168
Conclusion 171
A Lien entre les diffe´rentes repre´sentations de la viscoe´lasticte´ 175
Controˆle des calculs en dynamique: bornes strictes et pertinentes sur une quantite´ d’inte´reˆt
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011Table des matie`res iii
B Analyse du parame`tre de viscosite´ 179
C Obtention du proble`me adjoint 185
D Preuve du re´sultat fondamental 189
E De´termination du pas de temps critique 193
´F Solution de Green en viscoelastodynamique 195
Bibliographie 201
Controˆle des calculs en dynamique: bornes strictes et pertinentes sur une quantite´ d’inte´reˆt
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011iv Table des matie`res
Controˆle des calculs en dynamique: bornes strictes et pertinentes sur une quantite´ d’inte´reˆt
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011Table des figures
1 Validation et ve´rification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Patchs d’e´le´ments pour la me´thode SPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Une premie`re proce´dure de maillage adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Proble`mes de re´fe´rence et adjoint en e´lastodynamique 1D . . . . . . . . . 39
1.5 Solution approche´e du proble`me d’e´lastodynamique 1D . . . . . . . . . . 40
1.6 Erreur sur la quantite´ d’inte´reˆt en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Fonctions de ponde´ration - Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2 Proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 De´forme´e et de´placement approche´s de la structure en L . . . . . . . . . 68
2.4 Contrainte approche´e de la structure en L . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Cartes d’erreur du proble`me de re´fe´rence . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6 Extracteur (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7 Chargement du proble`me adjoint (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8 De´placement approche´e pour le proble`me adjoint (Q.I n˚1) . . . . . . . . 72
2.9 Contrainte approche´e (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.10 Cartes d’erreur du proble`me adjoint (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.11 Erreurs en dissipation ponde´re´es (Q.I n˚1) - Legendre-Fenchel . . . . . . 75
2.12 Zone d’inte´reˆt et extracteur (Q.I n˚2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.13 Cartes d’erreur du proble`me adjoint (Q.I n˚2) . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.14 Erreurs en dissipation ponde´re´es (Q.I n˚2) - Legendre-Fenchel . . . . . . 78
2.15 Fonctions de ponde´ration pour des q.i. inde´pendantes de l’histoire . . . . 79
3.1 Reconstruction classique des champs admissibles - Sche´ma des acc. lin. . 86
3.2 Noeud inte´rieur d’un maillage avec des quadrangles a` 4 noeuds . . . . . . 88
3.3 Reconstruction de la contrainte admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Cartes d’erreur - Sche´ma des acc. lin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Erreur en dissipation en fonction de h - Meth. 1 - Sche´ma des acc. lin. . . 96
3.6 Erreur en dissipation en fonction de h - Meth. 2 - Sche´ma des acc. lin. . . 97
3.7 Erreur relative en fonction de h - Meth. 1 - Sche´ma des acc. lin. . . . . . . 98
3.8 Erreur en dissipation - Reconstruction optimise´e . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 Les grandes e´tapes pour obtenir les bornes sur la quantite´ d’inte´reˆt . . . . 103
Controˆle des calculs en dynamique: bornes strictes et pertinentes sur une quantite´ d’inte´reˆt
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011W

vi Table des figures
4.2 Extracteur (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 De´finition des diffe´rentes zones d’inte´reˆt (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Influence du parame`tre de viscosite´ (Q.I n˚1) . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 De´forme´e et contrainte pour une structure fortement visqueuse . . . . . . 109
4.6 Zone d’inte´reˆt et extracteur (Q.I n˚2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7 Bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement du proble`me adjoint - Cauchy-Schwarz 111
4.8 Influence du parame`tre de viscosite´ (Q.I n˚2) . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.9 Zone de raffinement local en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.10 Construction des densite´s pour des maillages incompatibles . . . . . . . . 116
4.11 Densite´s pour des maillages incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.12 Influence de la zone de raffinement en espace . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.13 Influence du maillage dans la zone de raffinement . . . . . . . . . . . . . 121
4.14 Fonctions de ponde´ration - Legendre-Fenchel et Legendre-Fenchel Brun . 128
4.15 Chargements du proble`me de re´fe´rence sur [0,2T] . . . . . . . . . . . . . 129
4.16 Chargement du proble`me adjoint bis (Q.I n˚2) . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.17 Cartes d’erreur en dissipation (au carre´) du proble`me adjoint bis (Q.I n˚2) 131
4.18 Proble`me de re´fe´rence de type “choc” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.19 Cartes d’erreur des 3 proble`mes (Q.I n˚2) - Exemple n˚2 . . . . . . . . . 135
5.1 Contours d’inte´gration dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 Solution de Green en 1D - Equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 Solutions de Green en 2D et 3D - Equation d’onde . . . . . . . . . . . . 144
5.4 Onde longitudinale et onde transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 Solution de Green 1D - Equation d’onde avec amortissement . . . . . . . 150
5.6 Solutions de Green 2D contraintes planes - Elasto et viscoe´lastodynamique 152
5.7 De´finition des sous-domaines et point d’inte´reˆt . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 De´composition des densite´s sur le bord . . . . . . . . . . . . . . . . 1582
5.9 Evolution temporelle des extracteurs pour les quantite´s d’inte´reˆt A et B . 161
5.10 Proble`me de re´fe´rence et proble`me adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.11 Domaines et fonction de ponde´ration pour la structure carre´e . . . . . . . 162
5.12 Cartes d’erreur en dissipation pour le proble`me de re´fe´rence . . . . . . . 163
5.13 Solution de Green ge´ne´ralise´e 2D contraintes planes - Chargement rampe 163
5.14 Cartes d’erreur en dissipation du proble`me adjoint (Q.I. A) . . . . . . . . 164
5.15 Solution de Green ge´ne´ralise´e 2D contraintes planes - Chargement e´chelon 166
5.16 Influence de la zone d’enrichissement (Q.I A) . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.1 Mode`le de Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.2 Solution d’un essai de fluage avec le mode`le de Kelvin-Voigt . . . . . . . 176
A.3 Mode`le de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.4 Solution d’un essai de relaxation avec le mode`le de Maxwell . . . . . . . 177
B.1 Mode`le de Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2 Amortissement en fonction de la pulsation propre - Mode`le de Kelvin-V. . 181
B.3 Mode`le de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Controˆle des calculs en dynamique: bornes strictes et pertinentes sur une quantite´ d’inte´reˆt
tel-00561476, version 1 - 1 Feb 2011