Cours 9: Algorithmes et physique statistique • Mod`ele d’Ising et coupe maximale, NP-compl´etude • Fonction de partition, polynome de Tutte • Mod`ele inhomog`ene, calculs dans le cas planaire • Recuit simul´e, une heuristique inspir´ee par la physique Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique statistique 1-1Mod`ele d’Ising et coupe maximale Donn´ees: Un graphe G = (X,E), une application J de E dans R, d´ecrivant l’´energie d’interaction entre sites voisins. Une configuration de spins est une applicationσ deX dans{−1,+1} L’´energie associ´ee `a σ est donn´ee par X X H(σ) =−M σ(x)− J(e)σ(x)σ(y) x∈X e={x,y}∈E Probl`emes: • Trouver la configuration d’´energie minimale. P −βH(σ)• Calculer la fonction de partition Z (β) = e .G σ Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique statistique 2-1Mod`ele d’Ising et coupe maximale Donn´ees: Un graphe G = (X,E), une application J de E dans R, d´ecrivant l’´energie d’interaction entre sites voisins. Une configuration de spins est une applicationσ deX dans{−1,+1} L’´energie associ´ee `a σ est donn´ee par X X H(σ) =−M σ(x)− J(e)σ(x)σ(y) x∈X e={x,y}∈E Probl`emes: • Trouver la configuration d’´energie minimale. P −βH(σ)• Calculer la fonction de partition Z (β) = e .G σ Une coupe est un ensemble d’arˆetesC telles qu’il existe une partition X = X ∪ X , X ∩ X = ∅ pour laquelle C = C(X ,X ),+ − + − + − l’ensemble des arˆetes ayant leurs extr´emit´es dans 2 parts diff´erentes. Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique ...
Mod`le d’Ising et coupe maximale e Donnees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, ´ de´crivantl’´energied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’greie´enice´saose`aσreepaonn´estd H(σ) =−MXσ(x)−XJ(e)σ(x)σ(y) x∈Xe={x,y}∈E Probl`emes:•figonaturndioen’´igrenimelami.erTuoevlrca •Calculer la fonction de partitionZG(β) =Pσe−βH(σ).
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Mode`led’Isingetcoupemaximale Donne´es:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, de´crivantl’e´nergied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’egieren´ocssaa`ee´iσest d ´e par onne H(σ) =−MXσ(x)−XJ(e)σ(x)σ(y) x∈Xe={x,y}∈E Proble`mes:•orTrevu.iminamele´engreirationd’laconfigu •Calculer la fonction de partitionZG(β) =Pσe−βH(σ). Unecoupeesetrˆsnenutsea’delbmeCtelles qu’il existe une partition X=X+∪X−,X+∩X−=∅pour laquelleC=C(X+, X−), l’ensembledesareˆtesayantleursextre´mit´esdans2partsdiff´erentes.
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Mode`led’Isingetcoupemaximale Donn´ees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, d´ecrivantl’e´nergied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’ne´eierge´ica`esoasσeepardtse´nno H(σ) =−MXσ(x)−XJ(e)σ(x)σ(y) x∈eX={x,y}∈E Proble`mes:•ouev.eTraliminemgieren’´dnoitarugfinocalr •Calculer la fonction de partitionZG(β) =Pσe−βH(σ). Unecoupebmes’deltsenenuˆearsteCtelles qu’il existe une partition X=X+∪X−,X+∩X−=∅pour laquelleC=C(X+, X−), l’embledesareˆtesayantleursextr´emit´esdans2partsdiffe´rentes. ens Chaqueσ:eniefid´upconetuCσ=C(X+, X−)u`oX+=σ−1(1).
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Mode`led’Isingetcoupemaximale Donne´es:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, d´ecrivantl’e´nergied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’engreie´asae`´ecisoσontdesrapee´n H(σ) =−MXσ(x)−XJ(e)σ(x)σ(y) x∈eX={x,y}∈E Proble`mes:•ouTrrugfioitalrevnocagieminimnd’´enerla.e •Calculer la fonction de partitionZG(β) =Pσe−βH(σ). Unecoupeeteˆra’dsestunensembleCtelles qu’il existe une partition X=X+∪X−,X+∩X−=∅pour laquelleC=C(X+, X−), l’ensembledesareˆtesayantleursextre´mite´sdans2partsdiff´erentes. Chaqueσinutenoc´dfiee:upCσ=C(X+, X−)ou`X+=σ−1(1). PourM= 0etJ <0constant,H(σ) =−|E| ∙J+ 2|Cσ| ∙J.
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Mode`led’Isingetcoupemaximale Donn´ees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, de´crivantl’´energied’interactionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’eigrene´icossaa´ee`σest donnee par ´ H(σ) =−MXσ(x)−XJ(e)σ(x)σ(y) x∈Xe={x,y}∈E Probl`emes:•taoidn´’canogfiruTrouverle.aliminemgieren •Calculer la fonction de partitionZG(β) =Pσe−βH(σ). Unecoupeeteˆsestunensembled’arCtelles qu’il existe une partition X=X+∪X−,X+∩X−=∅pour laquelleC=C(X+, X−), lensembledesareˆtesayantleursextr´emite´sdans2partsdiff´erentes. ’ Chaqueσocen:epufie´dutinCσ=C(X+, X−)u`oX+=σ−1(1). PourM= 0etJ <0constant,H(σ) =−|E| ∙J+ 2|Cσ| ∙J. Trouver la configuration d’Ising d’energie minimale⇔MaxCut.
Onr´eduit3-SAT`aMaxCuteme3obl`leprvia-NAESATate´tn: donn´eunensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitte´ralfaux. 3-SATude´a`tiers3-NAESAT:soit(Ci=xi∨yi∨zi)i=1,...,mune instance de3-SAT; on poseCi0=xi∨yi∨tietCi00=zi∨t¯i∨u`uo uet lestisont de nouvelles variables.
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NP-comple´tudedeMaxCut
Onre´duit3-SATa`MaxCutbl`eme3-vialeproNAESATtenat´: donne´unensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitte´ralfaux. 3-SATdeiu`tar´se3-NAESAT:soit(Ci=xi∨yi∨zi)i=1,...,mune instance de3-SAT; on poseCi0=xi∨yi∨tie00¯u tCi=zi∨ti∨uo` uet lestisont de nouvelles variables. Il faut voir que(Ci)admet une affectation ssi(Ci0, Ci00)admet une bi-affectation (ielaeuqahcauseauclert´itnlVraiet unFaux):
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NP-comple´tudedeMaxCut
Onre´duit3-SAT`aMaxCutem-3lbe`eprovialNAESATtanet´: donne´unensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitte´ralvraietunlitte´ralfaux. 3-SAT`tadeiues´r3-NAESAT:soit(Ci=xi∨yi∨zi)i=1,...,mune instance de30i∨yi∨tietCi00=zi¯ o -SAT; on poseCi=x∨ti∨u`u uet lestisont de nouvelles variables. Il faut voir que(Ci)admet une affectation ssi(Ci0, Ci00)admet une bi-affectation (ieauseauclueaqchlalnti´treVraiet unFaux): •s’il existe une affectation telle que tous lesCisoient vraies, on la compl`eteparti=xi∨yietu=Faux: c’est une bi-affectation.
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NP-comple´tudedeMaxCut
Onre´duit3-SAT`aMaxCut3e-rpbo`lmevleiaNAESAT:´etant donn´eunensembledeclausesa`3litt´eraux,trouveruneaffectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitt´eralfaux. 3-SAT`sae´retiud3-NAESAT:soit(Ci=xi∨yi∨zi)i=1,...,mune instance de3-SAT; on poseCi0=xi∨yi∨tietCi00=zi∨t¯i∨uo`u uet lestisont de nouvelles variables. Il faut voir que(Ci)admet une affectation ssi(Ci0, Ci00)admet une bi-affectation (iehacuslaecquttilnuaelare´Vraiet unFaux): •s’il existe une affectation telle que tous lesCisoient vraies, on la compl`eteparti=xi∨yietu=Faux une bi-affectation.: c’est •s’il existe une bi-affectation de(Ci0, Ci00): ¯ – soitu=Faux, alorszi∨test vraie doncxi∨yi∨ziest vraie. – soitu=Vrai, alors nier toutes les valeurs des variables...