Dihedral flavor symmetries [Elektronische Ressource] / put forward by Alexander Simon Blum

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• Physik

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• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Deutsch

Extrait

Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for
Mathematics
of the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
Put forward by
Alexander Simon Blum, Master of Science
Born in: Oakland, California, USA
Oral Examination: June 10th 2009Dihedral Flavor Symmetries
Referees:
Prof. Dr. Manfred Lindner
Prof. Dr. Berthold StechZusammenfassung
DieseDissertationbehandeltdieM¨oglichkeitdenFlavorsektordesStandardmodellsderTeilchen-
physik (mit Neutrinomassen), das heißt die Massen und Mischungsmatrizen der Fermionen,
mithilfe einer diskreten, nicht-abelschen Flavorsymmetrie zu beschreiben. Insbesondere wer-
den massenunabh¨angige Texturen untersucht, bei denen ein oder mehrere Mischungswinkel
allein durch die Gruppentheorie bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird eine systematische
Analyse einer großen Klasse von diskreten Symmetrien, der Diedergruppen, durchgefuhrt.¨ Der
Ursprung von massenunabh¨angigen Texturen, die aus solchen Symmetrien entstehen, wird un-
tersucht und es wird gezeigt, dass solche Strukturen auf naturlic¨ he Weise aus der Minimierung
von skalaren Potentialen folgt, wobei die Skalare Eichsingletts, sogenannte Flavons, sind, die
nur unter der Flavorsymmetrie nicht-trivial transformieren. Aus diesen Vorgaben werden zwei
Modelle konstruiert, eines beschreibt die Leptonen und beruht auf der Gruppe D , das andere4
die Quarks und verwendet die Gruppe D . Im zweiten Modell ist es das Element V der14 ud
Quark-Mischungsmatrix - im wesentlichen der Cabibbo-Winkel - das in erster N¨aherung allein
durch die Gruppentheorie vorhergesagt wird. Abschließend wird die M¨oglichkeit diskutiert, die
diskrete Flavorgruppe als Untergruppe einer kontinuierlichen Eichsymmetrie zu beschreiben
und es wird gezeigt, dass dafur¨ die ursrprunglic¨ he Eichsymmetrie von verh¨altnism¨aßig großen
Darstellungen gebrochen werden muss.
Abstract
This thesis deals with the possibility of describing the flavor sector of the Standard Model
of Particle Physics (with neutrino masses), that is the fermion masses and mixing matrices,
with a discrete, non-abelian flavor symmetry. In particular, mass independent textures are
considered, where one or several of the mixing angles are determined by group theory alone
and are independent of the fermion masses. To this end a systematic analysis of a large class of
discrete symmetries, the dihedral groups, is analyzed. Mass independent textures originating
from such symmetries are described and it is shown that such structures arise naturally from
the minimization of scalar potentials, where the scalars are gauge singlet flavons transforming
non-trivially only under the flavor group. Two models are constructed from this input, one
describing leptons, based on the group D , the other describing quarks and employing the4
symmetry D . In the latter model it is the quark mixing matrix element V - basically the14 ud
Cabibbo angle - which is at leading order predicted from group theory. Finally, discrete flavor
groups are discussed as subgroups of a continuous gauge symmetry and it is shown that this
implies that the original gauge symmetry is broken by fairly large representations.Lark on the moon, singing -
sweet song
of non-attachment.
Basho¯Contents
1 Introduction 9
1.1 Flavor in the Standard Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Neutrino Masses and Leptonic Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Non-Abelian Discrete Flavor Symmetries 19
2.1 Theoretical Approaches to the Flavor Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Properties of Discrete Non-Abelian Flavor Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 The D Scaling Model - a Worked-Out Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
2.3.1 Phenomenological Considerations - Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Dihedral Flavor Groups 27
3.1 Introduction to Dihedral Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Single-Valued Dihedral Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Double-Valued groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Non-Trivial Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Breaking Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Mass Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 General Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Conventions and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.3 Three Singlet Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.4 Two Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
03.4.5 Mass Matrices in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46n
3.4.6 Majorana Mass Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Diagonalization and Mixing Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Subgroup Mismatch in D 57n
4.1 General Considerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Derivation of the Non-Trivial Mixing Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Comparison with Phenomenology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 A D Example from the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
4.3 D and the Cabibbo Angle - a Worked-Out Example . . . . . . . . . . . . . . . . 637
4.3.1 Quark Sector of the D Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
4.3.2 Higgs of the D Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
5 Flavons and Flavon Potentials 67
5.1 Flavon Potentials in the SM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.1 One Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.2 Several Doublets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Flavon Potentials in the MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
78 CONTENTS
5.2.1 What Changes in Supersymmetry? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.2 One Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.3 R-Symmetry and Driving Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.4 Several Doublets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.5 Further Aspects of Flavon Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Putting It All Together:
Two Worked-Out Examples 83
6.1 D in the Leptonic Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
6.1.1 Lepton Masses and Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Phenomenology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.3 Flavon Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.4 Next-to-Leading Order Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 D in the Quark Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9314
6.2.1 Quark Masses and Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 Flavon Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Conclusions and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Outlook: Where Could Such a Symmetry Come From? 107
8 Summary and Conclusions 119
Acknowledgements 123
A Glossary 125
A.1 Theory of Discrete Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2 Abbreviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B Mathematical Details of Dihedral Groups 129
B.1 Kronecker Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.2 Clebsch Gordan Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B.2.1 ...for D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130n
0B.2.2 ...for D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131n
B.3 Real Representation Matrices for D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132n
C Results and Tables 135
C.1 Decomposition under Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
0C.2 Breaking Chains for D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140n
C.3 Possible Forms of V from Subgroup Mismatch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C.4 D Higgs Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
C.5 D Flavon Potential at Next-to-Leading Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14314
Bibliography 150Chapter 1
Introduction
Who ordered that? Isidor Isaac Rabi’s exclamation upon the discovery of the muon is still
unanswered, more than fifty years later. And to top it off: Whoever ordered the muon found
that he/she liked it and decided to order a lot more.
Physicists may not have been able to answer the (possibly unanswerable) question concerning
the fundamental reason for the existence of the muon. At least the discovery