Distributional differential algebraic equations [Elektronische Ressource] / von Stephan Trenn

Stephan Trenn

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• Publié par: technische_universitat_ilmenau
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Stephan Trenn

Distributional Differential Algebraic Equations




Distributional
Differential Algebraic
Equations


Von Stephan Trenn




Universitätsverlag Ilmenau
2009 Impressum

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Angaben sind
im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Diese Arbeit hat der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der
Technischen Universität Ilmenau als Dissertation vorgelegen.
Tag der Einreichung: 29. Mai 2009
1. Gutachter: Prof. Dr. Achim Ilchmann
(Technische Universität Ilmenau)
2. Gutachter: Prof. Dr. Hans Babovsky
(Technische Universität Ilmenau)
3. Gutachter: Prof. Dr. Daniel Liberzon
(University of Illinois at Urbana-Champaign, USA)
Tag der Verteidigung: 28. Juli 2009




Technische Universität Ilmenau/Universitätsbibliothek
Universitätsverlag Ilmenau
Postfach 10 05 65
98684 Ilmenau
www.tu-ilmenau.de/universitaetsverlag


Herstellung und Auslieferung
Verlagshaus Monsenstein und Vannerdat OHG
Am Hawerkamp 31
48155 Münster
www.mv-verlag.de


ISBN 978-3-939473-57-2 (Druckausgabe)
urn:nbn:de:gbv:ilm1-2009000207


Titelfoto: photocase.com | Lily S. Trenn: Distributional DAEs
Abstract
Linear implicit di erential equations of the form Ex_ = Ax +f are
studied. If the matrix E is not invertible, these equations contain
di erential as well as algebraic equations. Hence Ex_ =Ax +f is calledtial algebraic equation (DAE).
A main goal of this dissertation is the consideration of certain dis-
tributions (or generalized functions) as solutions and studying time-
varying DAEs, whose coe cient matrices have jumps. Therefore, a
suitable solution space is derived. This solution space allows to study
the important class of switched DAEs.
The space of piecewise-smooth distributions is introduced as the solu-
tion space. For this space of distributions, it is possible to de ne a
multiplication, hence DAEs can be studied whose coe cient matrices
have also distributional entries. A distributional DAE is an equation of
the formEx_ =Ax +f where the matrices E andA contain piecewise-
smooth distributions as entries and the solutions x as well as the in-
homogeneities f are also piecewise-smooth distributions.
For distributional DAEs, existence and uniqueness of solutions are
studied, therefore, the concept of regularity for distributional DAEs
is introduced. Necessary and sucient conditions for existence and
uniqueness of solutions are derived. As special cases, the equations
x_ =Ax+f (distributional ODEs) andNx_ =x+f (pure distributional
DAE) are studied and explicit solution formulae are given.
Switched DAEs are distributional DAEs with piecewise constant coef-
cient matrices. Su cient conditions are given which ensure that all
solutions of a switched DAE are impulse free. Furthermore, it is stud-
ied which conditions ensure that arbitrary switching between stable
subsystems yield a stable overall system.
Finally, controllability and observability for distributional DAEs are
studied. For this, it is accounted for the fact that input signals can
contain impulses, hence an \instantaneous" control is theoretically pos-
sible. For a DAE of the form Nx_ = x +bu, y = cx, with constant,
nilpotentN and constant vectorsb andc, a normal form is given which
allows for a simple characterization of controllability and observability.
5S. Trenn: Distributional DAEs
Zusammenfassung
Lineare implizite Di erentialgleichungen der Form Ex_ =Ax+f werden
untersucht. Da die Matrix E nicht als invertierbar angenommen wird,
enthalt das Gleichungssystem neben den Di erentialgleichungen auch
algebraische Gleichungen. Deshalb werden diese Gleichungen di eren-
tial-algebraische Gleichungen (di erential algebraic equations, DAEs)
genannt.
Ein wesentliches Ziel der Dissertation ist es, Distributionen (oder ver-
allgemeinerte Funktionen) als Losungen zuzulassen und gleichzeitig soll
es moglich sein, zeitvariante DAEs zu untersuchen, deren Koe zienten-
matrizen Sprunge haben konnen. Dazu wird zunachst ein geeigneter
Losungsraum hergeleitet. Insbesondere ist es mit diesem Losungsraum
moglich, die wichtige Klasse der geschalteten DAEs (switched DAEs)
zu untersuchen.
Als Losungsraum wird der Raum der stuckweise glatten Distribu-
tionen (piecewise-smooth distributions) eingefuhrt. Fur diesen Raum
ist es moglich, eine Multiplikation zu de nieren, so dass auch DAEs
betrachtet werden konnen, deren Koe zienten ebenfalls distributionel-
le Eintrage haben. Eine distributionelle DAE ist eine Gleichung der
Form Ex_ = Ax +f, bei der die Matrizen E und A stuc kweise glat-
te Distributionen als Eintrage enthalten und die Losungen x sowie die
Inhomogenitaten f ebenfalls stuc kweise glatte Distributionen sind.
Fur distributionelle DAEs wird die Existenz und Eindeutigkeit von
Losungen untersucht, dazu wird das Konzept der Regularitat fur dis-
tributionelle DAEs eingefuhrt. Es werden notwendige und hinreichende
Bedingungen fur die Existenz und Eindeutigkeit von Losungen herge-
leitet. Als Spezialfalle werden die beiden Gleichungen x_ = Ax +f (so
genannte distributionelle ODEs) und Nx_ = x +f (so genannte rei-
ne distributionelle DAEs) untersucht, fur die explizite Losungsformeln
angegeben werden konnen.
Geschaltete DAEs sind distributionelle DAEs mit stuc kweise kon-
stanten Koe zientenmatrizen. Es werden hinreichende Bedingung her-
geleitet, die sicherstellen, dass die Losungen von geschalteten DAEs
keine Impulse enthalten. Weiterhin wird untersucht, unter welchen Be-
dingungen das beliebige Schalten zwischen stabilen Teilsystemen zu
7einem stabilen Gesamtsystem fuhrt.
Schlie lich werden Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit f ur distribu-
tionelle DAEs untersucht. Hierbei wird berucksichtigt, dass das Ein-
gangssignal Impulse enthalten kann und damit theoretisch eine in-
"
stantane\ Steuerung moglich ist. Fur eine DAE der FormNx_ =x+bu,
y =cx, mit konstanten, nilpotentenN sowie konstanten Vektorenb und
c wird eine Normalform angegeben, die eine einfache Charakterisierung
der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ermoglicht.
8S. Trenn: Distributional DAEs
Danksagung
Ohne Achim wurde es diese Arbeit nicht geben, deshalb gilt vor allem
ihm mein ausdruc klicher Dank fur alles, insbesondere dass er mich vom
ersten Semester an gefordert und gefordet hat. Er war in den letzten
neun Jahren nicht nur ein ausgezeichneter wissenschaftlicher Mentor,
sondern er ist auch ein sehr guter personlicher Freund geworden.
Bei Aylin mochte ich mich bedanken, weil sie mir in den letzten
Jahren in stressigen Situationen den Rucken frei gehalten hat und weil
sie naturlich einfach eine tolle Frau ist, die mir auch au erhalb der
mathematischen Welt Freude bereitet.
Zum Ende wurde es zeitlich doch recht eng, deshalb bedanke ich
mich bei den Gutachtern (Prof. Dr. Hans Babovsky, Prof. Dr. Daniel
Liberzon und naturlich Achim), dass sie zugig die Gutachten erstellt
haben. Naturlich bedanke ich mich auch dafur, dass sie sich uberhaupt
die Zeit genommen haben, meine Arbeit detailiert zu lesen und nach-
zuvollziehen.
Dank gilt auch allen, mit denen ich in den letzten Jahren wissen-
schaftlich diskutiert habe, was (mehr oder weniger) zur endgultigen
Fassung dieser Dissertation beigetragen hat. Hervorzuheben sind hier
vor allem Prof. Dr. Jan C. Willems (K.U. Leuven), Prof. Dr. Vol-
ker Mehrmann und Dr. Timo Reis (beide von der TU Berlin) sowie,
aus Ilmenau, Prof. Dr. Armin Ho mann, Prof. Dr. Carsten Trunk, PD
Dr. Hans Crauel (jetzt in Frankfurt/Main) und B.Sc. Thomas Berger.
Dafur, dass (neben den interessanten wissenschaftlichen Diskussionen)
die Buroarb eit nicht zu langweilig und eintonig wurde, bedanke ich
mich bei meinen Zimmerkollegen Markus und Norman.
Mit Abschluss der Promotion endet auch meine Ilmenauer Zeit\, die
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ruc kblickend betrachtet eine sehr schone Zeit war. Deshalb bedanke ich
mich zunac hst bei Ilmenau als Universitatsstadt ganz allgemein. Spe-
ziell moc hte ich mich bei den Gremienstudenten\ aber auch Gremi-
" "
enprofessoren\ bedanken, denn die Gremienarbeit hat einerseits meine
geistigen Horizont deutlich erweitert und es hat au erdem viel Spa ge-
macht, in den Tiefen der Universitatsstrukturen zu wuhlen, auch wenn
man nicht immer das erreicht hat, was man wollte. Speziell hervorhe-
ben moc hte ich auch das Eiscafe Venezia, weil es kreative Pausen mit
9Ka ee oder Eis erm oglic hte, die naturlic h unerlasslic h fur produktives
wissenschaftliches Arbeiten sind.
Schlie lich bedanke ich mich noch bei meinen Eltern, die zwar nicht
direkt zur Entstehung der Dissertation beigetragen haben, aber immer
fur mich da waren, wenn ich sie gebraucht habe.
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