Entanglement entropy in quantum many-particle systems and their simulation via ansatz states [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Thomas Barthel

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 19
• Langue: English
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Extrait

Entanglement entropy in quantum many-particle
systems and their simulation via ansatz states
Von der Fakultat¨ fur¨ Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der
RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Physiker
Thomas Barthel
aus Leipzig
Berichter: Univ.-Prof. Dr. Ulrich Schollwock¨
Univ Dr. Herbert Schoeller
Tag der mundlichen¨ Prufung:¨ 10. Dezember 2009
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten
der Hochschulbibliothek online verfugbar¨ .Contents
Zusammenfassung v
Summary vii
1. Introduction and overview 1
1.1. Challenge in the analysis of quantum many-particle systems . . . . . . . 2
1.2. Techniques for the of man . . . . . . 3
1.3. Potential of tensor contraction states for the description of 2D systems . . 10
1.4. Entanglement entropy in physical states of interest . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Promising classes of tensor contraction states and their entanglement prop-
erties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Content of the thesis and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I. Scaling of entanglement entropy in many-particle systems 23
2. Entanglement and boundary critical phenomena 25
2.1. Ren´ yi entropy and conformal field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. S = 1=2 transverse Ising and XXZ chains in boundary magnetic fields . . 28
2.3. Majorization relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Entanglement scaling in critical two-dimensional fermionic and bosonic sys-
tems 33
3.1. Calculating entropy from Green’s matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Critical fermionic entanglement and the Widom conjecture . . . . . . . . 36
3.3. bosonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Entanglement entropy beyond the free case for collective models 43
4.1. Lipkin-Meshkov-Glick model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Entanglement entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Thermodynamic limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4. Critical scaling of the entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5. Finite-size corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
iiiContents
5. Dephasing, the steady state, and its entanglement entropy for integrable sys-
tems 51
5.1. Dephasing for quadratic Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2. Examples and counter-examples for dephasing . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4. Entanglement entropy of the steady state and simulatabilty . . . . . . . . 62
5.5. Bethe Ansatz integrable systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6. Nonintegrable systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II. Simulation of many-particle systems via tensor contraction states 65
6. Spectral functions in one-dimensional quantum systems at finite temperatures 67
6.1. Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7. Dynamical reordering for the evaluation of causal circuits of fermionic isome-
tries 79
7.1. Physical algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2. Fermionic MERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3. Jordan-Wigner transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4. Dynamical reordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5. Time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.6. Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8. Contraction of fermionic operator circuits for the simulation of fermionic lat-
tice systems 89
8.1. Fermionic operator circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2. Contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3. Operator order and contraction sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.4. Computational costs and locality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.5. Further operations on FOCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.6. Fermionic PEPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.7. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.8. Alternative derivation of the rule for partial multiplications . . . . . . . . 110
Bibliography 111
Publication list 123
Acknowledgments 125
ivZusammenfassung
Im Gegensatz zu klassischen Vielteilchensystemen, fur¨ welche die Anzahl der Freiheits-
grade linear mit der Systemgroße¨ anwachst,¨ wachst¨ sie fur¨ quantenmechanische Viel-
teilchensysteme exponentiell an. Auf der einen Seite verspricht die resultierende Kom-
plexitat¨ der Quantensysteme großes Potential bei direkter technischer Ausnutzung. So
werden seit einigen Jahren zum Beispiel intensivst die Grundlagen fur¨ die Realisierung
von Quantencomputern und deren Anwendungsmoglichk¨ eiten erforscht. Auf der anderen
Seite erschwert dieser hohe Komplexitatsgrad,¨ besonders in Regimen starker Korrelatio-
nen, den Zugang zum Verstandnis¨ der physikalischen Prozesse in derartigen Systemen uber¨
analytische oder numerische Verfahren. So kommt es, dass einige technologisch hoch rel-
evante Systeme wie die Hochtemperatursupraleiter bis zum heutigen Tage unzureichend
verstanden sind.
Ein Hauptgegenstand dieser Arbeit besteht daher in der Entwicklung von effizienten nu-
merischen Methoden fur¨ stark korrelierte quantenmechanische Gittersysteme. Fur¨ eindi-
mensionale Systeme gibt es eine solche sehr erfolgreiche Methode, die Dichtematrixrenor-
mierungsgruppe (DMRG). Das Charakteristikum dieser Methode ist, dass der physikalis-
che Zustand uber¨ eine bestimmte Klasse von Ansatzzustanden¨ moglichst¨ gut approximiert
wird, diese aber so konstruiert sind, dass das exponentielle Wachstum der Anzahl der
Freiheitsgrade vermieden wird. Mittels DMRG konnen¨ Grundzustande¨ eindimensionaler
wechselwirkender Vielteilchensysteme oft mit extrem hoher Prazision¨ bestimmt werden.
Dies deutet bereits darauf hin, dass Grundzustande¨ die prinzipiell exponentiell wachsende
Zahl von Freiheitsgraden oft gar nicht ausschopfen,¨ sondern uber¨ wesentlich weniger Pa-
rameter effizient beschrieben werden konnen.¨ Die der DMRG zugrundeliegende Klasse
von Ansatzwellenfunktionen sind die sogenannten Matrixproduktzustande.¨ Bei der Wahl
von entsprechenden geeigneten Ansatzwellenfunktionen fur¨ hohere¨ Raumdimensionen,
kommt es entscheidend darauf an, dass diese in der Lage sind, das Skalierungsverhalten
der Quantennichtlokalitat¨ (z.B. uber¨ die Verschrankungsentropie¨ quantifiziert) mit einer
moglichst¨ geringen Parameteranzahl richtig modellieren zu konnen.¨
Aus diesem Grunde wird im ersten Teil der Arbeit numerisch und analytisch untersucht,
wie die Quantennichtlokalitat¨ in verschiedenen physikalisch relevanten Szenarien mit der
Systemgroße¨ oder der Zeit skaliert. Unter anderem wird das Skalierungsverhalten der
Ren´ yi-Entropien im Rahmen der 1+1-dimensionalen konformen Feldtheorie hergeleitet
und die Abhangigk¨ eit von den Randbedingungen bestimmt. Bestehende Vermutungen und
analytische Hinweise zum Verhalten der Verschrankungsentropie¨ in kritischen fermion-
ischen und bosonischen Systemen werden numerisch mit hoher Prazision¨ bestatigt.¨ Fur¨
integrable Systeme werden allgemeine Bedingungen hergeleitet, unter denen ein System
lokal in einen statischen Zustand konvergiert. Dieser ist nicht-thermisch und tragt¨ In-
vZusammenfassung
formationen uber¨ den Anfangszustand des Systems. Die Verschrankungsentropie¨ ist fur¨
derartige statische Zustande¨ extensiv. Fur¨ kurze Zeiten steigt die Verschr¨
in der Regel linear in der Zeit an, was letztendlich in einem exponentiellen Wachstum
des Rechenaufwands fur¨ die DMRG resultiert. Daraus folgt, dass zeitabhangigen¨ DMRG-
Simulationen der direkte Zugang zu langen Zeiten im Allgemeinen verwehrt ist.
Der zweite Teil der Arbeit fokussiert auf die Weiterentwicklung der erwahnten¨ nu-
merischen Verfahren. Zunachst¨ wird die zeitabhangige¨ DMRG mit einer allgemeinen
Extrapolationsmethode fur¨ die wahrend¨ der Simulation bestimmten Observablen kom-
biniert. Auf diese Weise kann das Problem des Entropiewachstums umgangen und Spek-
tralfunktionen mit hoher Prazision¨ bestimmt werden. Das Verfahren wird am Beispiel
des Heisenberg-Antiferromagneten im Vergleich mit Bethe-Ansatz-Daten fur¨ T = 0 und
Quanten-Monte-Carlo-Daten fur¨ T > 0 demonstriert. Fur¨ die Simul