Estimation récursive pour des modèles semi-paramétriques

Thi Mong Ngoc Nguyen

Description

Sous la direction de Jérôme Saracco, Bernard Bercu
Thèse soutenue le 30 novembre 2010: Bordeaux 1
Résumé
-Mots clés en français
Abstract
Source: http://www.theses.fr/2010BOR14107/document

Informations

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• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

oN d’ordre : 4107
THESE
presentee a
L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
par Thi Mong Ngoc NGUYEN
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPECIALITE : Mathematiques Appliquees - Statistique
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ESTIMATION RECURSIVE POUR DES
MODELES SEMI-PARAMETRIQUES
Soutenue le 26 novembre 2010 a l’Institut de Mathematiques de Bordeaux
Devant la commission d’examen composee de :
M. Bernard BERCU PROF. Universite Bordeaux I Directeur de these
M. Philippe BERTHET PROF. Universite Toulouse III Examinateur
M. Gerard BIAU PROF. Universite Paris VI
M. Gilles DURRIEU PROF. Universite de Bretagne-Sud
M. Stephane GIRARD PROF. INRIA Rh^ one-Alpes Rapporteur
M. Bruno PORTIER PROF. INSA de Rouen Rapp
M. Jer^ ome SARACCO PROF. Institut Polytechnique de Bordeaux Directeur de theseiiInstitut de Mathematiques de Bordeaux Ecole doctorale de Mathematiques
Universite Bordeaux 1 et Informatique de Bordeaux
352, cours de la Liberation -F 33405 U.F.R de Mathematiques Informatique
erTALENCE cedex B^ at A33, 1 etage, 352, cours de la
Liberation -F 33405 TALENCE cedexiva ma familleRemerciements
Je souhaite tout d’abord exprimer toute ma gratitude a mes directeurs de these, Ber-
nard Bercu et Jer^ ome Saracco, qui ont dirige l’ensemble de mes travaux de recherche.
Je tiens particulierement a les remercier pour leur disponibilite, leurs remarques perti-
nentes, leurs precieux conseils et les nombreuses connaissances statistiques qu’ils m’ont
permis d’acquerir.
Je remercie egalement Messieurs Bruno Portier, Professeur a l’INSA de Rouen et
Stephane Girard, Professeur a l’INRIA Rh^ one-Alpes, pour avoir accepte d’^etre les
rapporteurs de mon travail de these ainsi que pour les precieuses remarques qui ont
servi a ameliorer ce manuscrit.
Je remercie Monsieur Gilles Durrieu, Professeur a l’Universite de Bretagne-Sud
d’avoir accepte de faire parti de mon jury. J’ai travaille avec lui dans le cadre d’une
application reelle presentee au chapitre 6. Je tiens a le remercier pour son accueil et sa
disponibilite lors de mes sejours au sein du laboratoire EPOC.
Mes remerciements s’adressent aussi a Messieurs Philippe Berthet, Professeur a
l’Universite Toulouse III et Gerard Biau, Professeur a l’Universite Paris VI pour avoir
accepte de prendre part a l’examen de cette these en tant que membres du jury.
Je remercie Mohamedou Sow pour son amitie et sa sympathie, travailler avec lui
est un reel plaisir.
D’une maniere plus generale, je remercie tous les membres de l’IMB. Plus parti-
culierement, je pense aux membres de l’equipe Probabilites et Statistique.
Merci a tous mes amis pour leur soutien tout au long de mon sejour en France
et pour tous les bons moments passes ensemble. Je tiens particulierement a remercier
Hung et Jonathan pour m’avoir motiver de faire une these.
Je tiens a remercier mes parents sans qui cette experience n’aurait jamais ete pos-
sible. Merci a mon frere et a mes deux soeurs pour leur soutien et leur appui moral.
viiviiiResume
Dans cette these, nous nous interessons au modele semi-parametrique de regression
0 pde la forme y = f(x;"), lorsque x 2 R et y 2 R. Notre objectif est d’etudier
des problemes d’estimation des parametres et f de ce modele avec des methodes
recursives.
Dans la premiere partie, l’approche que nous developpons est fondee sur une methode
introduite par Li (1991), appelee Sliced Inverse Regression (SIR). Nous proposons des
methodes SIR recursives pour estimer le parametre . Dans le cas particulier ou l’on
considere le nombre de tranches egal a 2, il est possible d’obtenir une expression ana-
lytique de l’estimateur de la direction de . Nous proposons une forme recursive pour
cet estimateur, ainsi qu’une forme recursive de l’estimateur de la matrice d’inter^et. En-
suite, nous proposons une nouvelle approche appellee \SIRoneslice" (recursive ou non
recursive) de la methode SIR basee sur l’utilisation de l’information contenue dans une
seule tranche optimale (qu’il faudra choisir parmi un nombre quelconque de tranches).
Nous proposons egalement un critere \bootstrap na f" pour le choix du nombre de
tranches. Des resultats asymptotiques sont donnes et une etude sur des simulations
demontre le bon comportement numerique des approches recursives proposees et l’avan-
tage principal de l’utilisation la version recursive de SIR et de SIRoneslice du point de
vue des temps de calcul.
Dans la second partie, nous travaillons sur des donnees de valvometrie mesurees sur
des bivalves. Sur ces donnees, nous comparons le comportement numerique de trois
estimateurs non parametrique de la fonction de regression : celui de Nadaraya-Watson,
celui de Nadaraya-Watson recursif et celui de Revesz qui est lui aussi recursif.
Dans la derniere partie de cette these, nous proposons une methode permettant de
combiner l’estimation recursive de la fonction de lien f par l’estimateur de Nadaraya-
Watson recursif et l’estimation du parametre via l’estimateur SIR recursif. Nous
etablissons une loi des grands nombres ainsi qu’un theoreme de limite centrale. Nous
illustrons ces resultats theoriques par des simulations montrant le bon comportement
numerique de la methode d’estimation proposee.
Mots-cles : estimation recursive, modele semi-parametrique de regression, methode de
regression inverse par tranchage, bootstrap, estimation a noyau, loi des grand nombres,
theoreme de limite centrale, martingale.
Abstract
0In this thesis, we focus on the semi-parametric regression modely =f(x;"), where
px2R ety2R. Our objective is to study problems of estimation of the parameters
and f in this model with recursive methods.
In the rst part, we develop an approach which is based on a method introduced by
Li (1991), called Sliced Inverse Regression (SIR). We propose recursive sirmethods for
estimating the parameter . In the particular case when the number of slices equal to
2, it is possible to obtain an analytic expression of the estimator of the direction. Wepropose a recursive form for this estimator, and a recursive estimation of the matrix of
interest. Moreover, we propose an estimator of the direction of based on the use of
only one \optimal" slice chosen among any number of slices. We call this new method
SIRoneslice. We also o er a standard \naive bootstrap" for the choice of the number
of slices. We establish somme asymtotic properties of the estimators and a simulation
study illustrates the good numerical behavior of the estimators proposed. The recursive
approach (SIR and SIRoneslice) has the advantage to be computationaly faster than
the non recursive.
In the second part, we work on data measured on bivalves. On these data, we compare
the numerical behavior of three nonparametric estimators of the regression function :
Nadaraya-Watson, recursive Nadaraya-Watson and Revesz which is also recursive.
In the last part of this thesis, we propose a method which combines the recursive
estimation of the link function f by the recursive Nadaraya-Watson estimator and
recursive estimation of parameter via thee SIR estimator. We establish a law
of large numbers and a central limit theorem. We illustrate these theoretical results by
simulations showing the good numerical behavior of the proposed estimation method.
Keywords : recursive estimation, semiparametric regression model, sliced inverse regres-
sion (SIR), bootstrap, kernel estimator, law of large numbers, central limit theorem,
martingale.
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