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THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES
DE L’UNIVERSITE CLAUDE BERNARD (LYON 1)
pr´epar´ee `a l’Institut Camille Jordan
Laboratoire des Math´ematiques
UMR 5208 CNRS-UCBL
Th`ese de doctorat
Specialit´e Math´ematiques
present´ee par
Ion NECHITA
´Etats al´eatoires, th´eorie quantique de
l’information et probabilit´es libres
Soutenue le 24 Mars 2009 devant le jury compos´e de :
St´ephane ATTAL Universit´e Lyon 1 Directeur de th`ese
Philippe BIANE CNRS Rapporteur
˙Karol ZYCZKOWSKI Jagiellonian University Rapporteur
Benoˆıt COLLINS CNRS et University of Ottawa Examinateur
Alice GUIONNET CNRS et ENS Lyon Examinatrice
Christophe SABOT Universit´e Lyon 1 Examinateur
tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010Th`ese de doctorat
Universit´e Claude Bernard Lyon 1
Institut Camille Jordan
´Etats al´eatoires, th´eorie quantique de
l’information et probabilit´es libres
Ion NECHITA
sous la direction de St´ephane ATTAL
tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010Remerciements
Mespremiersremerciementsserontpourmondirecteurdeth`ese,St´ephaneAttal,
pour avoir accept´e de diriger mes premiers pas dans le monde de la recherche. Je lui
doit beaucoup plus que cette th`ese et je le remercie en particulier pour sa constante
disponibilit´e. Il m’a appris non seulement des tr`es belles math´ematiques mais aussi
son approche de la recherche, que je garderai en mod`ele.
˙Philippe Biane et Karol Zyczkowski ont accept´e d’ˆetre les rapporteurs de cette
th`ese,etjetiensa`lesremercierpourlaqualit´edeleurtravail,ainsiquepourl’int´erˆet
qu’ils ont prˆet´e a` mes travaux scientifiques.
JeremercieaussiAliceGuionnet,BenoˆıtCollinsetChristopheSabotdemefaire
l’honneur de participer `a mon jury.
Cetteth`esea´et´eeffectu´ee`al’InstitutCamilleJordan,auseindel’´equipedePro-
babilit´esetphysiquemath´ematique.Jetiens`aremerciertoussesmembres,ainsique
les membres de l’UMPA de l’ENS Lyon avec qui j’ai eu grand plaisir `a travailler. En
particulier, je tiens `a remercier Guillaume Aubrun, qui s’est av´er´eˆetre un interlocu-
teur toujours disponible et prˆet a`´echanger des id´ees. Cette th`ese lui doit beaucoup,
et j’esp`ere que de prochaines collaborations toutes aussi fructueuses pourront voir
le jour. Avec Cl´ement Pellegrini, mon fr`ere math´ematique le plus proche, je partage
l’int´erˆet pour les interactions quantiques r´ep´et´ees. C’est de son initiative que nous
avons commenc´e a` travailler ensemble, et je lui en suis reconnaissant.
Pendant ma th`ese j’ai eu la chance de travailler en collaboration a` plusieurs re-
prises,avecdeschercheursquim’ontbeaucoupappris.Mercipourvotredynamisme,
votre disponibilit´e et votre patience. Un grand merci a` Benoˆıt Collins pour les dis-
cussions math´ematiques que nous avons eues et pour son soutien administratif et
moral pendant ces derniers mois. Je remercie ´egalement Florent Benaych-Georges.
Ungrandmerci`atousmesmaisth´esardsdel’ICJ;enparticulier,mercia`Alexan-
der, Alina, Elodie, Fr´ed´eric, Gaelle, Jean, Laurent, Micka¨el et Nicolas.
Je tiens a` exprimer toute ma gratitude a` mes parents et a` ma famille qui m’ont
soutenu tout au long de mes ´etudes sup´erieures. J’ai une pens´ee toute particuli`ere
pour ma grande-m`ere, Eugenia.
Je remercie du fond du cœur tous mes amis Lyonnais qui m’ont ´epaul´e pendant
ces trois ann´ees : Adrian, Alex, Alin, Daiana, Elena, John, Robert.
Merci enfin `a Lilia, qui fut `a mes cˆot´es pendant toutes ces ann´ees.
v
tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010vi
tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010Table des mati`eres
I Introduction et aper¸cu des r´esultats 1
1 Matrices al´eatoires et probabilit´es libres 3
1.1 Ensembles classiques des matrices al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Probabilit´es libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Cadre g´en´eral. Libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Quelques exemples d’espaces de probabilit´es non commutatifs 8
1.2.3 Approche combinatoire de la libert´e. Cumulants libres . . . . 10
2 Th´eorie quantique de l’information 13
2.1 Formalisme de la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Matrices densit´es et syst`emes compos´es . . . . . . . . . . . . 15
2.2 L’intrication dans les syst`emes compos´es . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Mesures de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Transformations des ´etats bipartis et catalyse quantique . . . 18
´2.2.3 Etats al´eatoires. Liens avec la th´eorie des matrices al´eatoires 20
2.3 Canaux quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 D´efinition. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Interactions r´ep´et´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Aperc¸u des r´esultats 25
3.1 Matrices densit´es al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Limiteasymptotiquedesinteractionsr´ep´et´eesal´eatoiresenm´ecanique
quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Catalyse quantique et domination stochastique . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Approximation discr`ete de l’espace de Fock libre . . . . . . . . . . . 28
3.5 Un mod`ele des permutations pour la libert´e . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Liste des publications 33
II Pr´esentation des articles 35
5 Random density matrices 37
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
vii
tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010`TABLE DES MATIERES
5.2 From pure states to density matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 The canonical probability measure on the pure states . . . . 39
5.2.2 The induced measure on density matrices . . . . . . . . . . . 41
5.3 Wishart matrices. Results at fixed size . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.1 The Wishart ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.2 The spectrum of a density matrix. . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1 The first model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.2 The second model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Random repeated quantum interactions 53
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 The repeated quantum interaction model . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Spectral properties of quantum channels . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Non-random repeated interactions and a new model of random den-
sity matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5 Repeated interactions with random auxiliary states . . . . . . . . . . 66
6.6 Repeated interactions with i.i.d. unitaries . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Catalytic majorization and ℓ norms 73p
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Notation and statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3 A ℓ version of Ky Fan theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77p
7.4 The proof of the Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5 Conclusion and further remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.6 Appendix : On Cram´er’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 Stochastic domination for iterated convolutions and catalytic ma-
jorization 85
8.1 Stochastic domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2 Stochastic domination ... and Cram´er’s theorem . . . . . . . . . . . . 88
∗8.3 Geometry and topology of6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90st
8.4 Catalytic majorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.5 Proof of the theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.6 Infinite dimensional catalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9 Discrete approximation of the free Fock space 103
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2 Free probability and the free Fock space . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.3 The free product of Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.4 The free toy Fock space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.5 Embedding of the toy Fock space into the full Fock space . . . . . . 108
9.6 Approximation results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.7 Applications to free probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8 Higher multiplicities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
viii
tel-00371592, version 2 - 1 Feb 2010`TABLE DES MATIERES
10 A permutation model for free random variables and its classical
analogue 117
10.1 The permutation model for free R.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.1.1 Computation of the limit distribution . . . . . . . . . . . . . 120
10.1.2 Moments and cumulants of the limit distribution . . . . . . . 122
10.1.3 An application : linearization coefficients for orthogonal poly-
nomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2 A classical probability analogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2.1 Computation of the limit distribution . . . . . . . . . . . . . 125
10.2.2 Moments and cumulants of the limit distribution . . . . . . . 128
10.2.3 An application : linearization coefficients for orthogonal poly-
nomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.3 Further combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.3.1 A bijection with a class of paths . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.3.2 A Toeplitz algebra model for (M (1)) . . . . . . . . . . . . 130r r>1
10.3.3 Non-commutative invariants and semi-standard Young tableaux130
ix
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