F-theory and the landscape of intersecting D7-branes [Elektronische Ressource] / put forward by Andreas Braun

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• Physik

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• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Dissertation
submitted to the
Combined Faculties of the Natural Sciences and Mathematics
of the Ruperto-Carola-University of Heidelberg. Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
Put forward by
Andreas Braun
born in Koblenz
Oral examination: February 5th, 2010F-Theory and the Landscape of
Intersecting D7-Branes
Referees: Prof. Dr. Arthur Hebecker
Prof. Dr. Michael G. SchmidtZusammenfassung
Diese Arbeit behandelt die Moduli von D7-Branes in Typ-IIB-
Orientifoldkompaktifizierungen und deren Stabilisierung durch Flu¨sse aus
der Sichtweise von F-Theorie. Die Moduli von D7-branes und die Moduli
des Orientifolds werden in F-Theorie in dem Moduliraum einer elliptischen
Calabi-Yau-Mannigfaltigkeitvereinigt.Dieserlaubtes,dieStabilisierungvon
D7-Branes durch Flu¨sse in einer eleganten Art und Weise zu studieren. Um
ph¨anomenoligische Aspekte dieser Modelle zu untersuchen, mu¨ssen jedoch
die Deformationen der elliptischen Calabi-Yau Mannigfaltigkeit in die Po-
sition und Form der D7-Branes zuru¨cku¨bersetzt werden. Wir widmen uns
dieser Frage, indem wir die fu¨r die Deformationen der elliptischen Calabi-
YauMannigfaltigkeitrelevantenHomologiezykelkonstruieren.Wirzeigendie
Durchfu¨hrbarkeit dieser Idee fu¨r elliptische Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten
der komplexen Dimension zwei und drei. Des Weiteren diskutieren wir eine
mit den Schnittpunkten zwischen D7-Branes und Orientifoldebenen zusam-
menh¨angende Konsistenzbedingung, welche in F-Theorie automatisch erfu¨llt
ist. Wir schliessen diese Arbeit ab, indem wir die Stabilisierung von D7-
2Branes auf dem Orientifold K3×T /Z , welcher F-Theorie auf K3×K32
entspricht, untersuchen. Wirzeigen wieeinegegebene KonfigurationvonD7-
Branes in diesem Modell mittels geeigneter Flu¨sse stabilisiert werden kann.
Abstract
In this work, the moduli of D7-branes in type IIB orientifold compactifi-
cations and their stabilization by fluxes is studied from the perspective of
F-theory. In F-theory, the moduli of the D7-branes and the moduli of the
orientifold are unified in the modulispace ofan elliptic Calabi-Yaumanifold.
This makes it possible to study flux the stabilization of D7-branes in an ele-
gantmanner.Toanswerphenomenologicalquestions,onehastotranslatethe
deformationsoftheellipticCalabi-YaumanifoldofF-theorybacktotheposi-
tions and the shape of the D7-branes. We address this problem by construct-
ing the homology cycles that are relevant for the deformations of the elliptic
Calabi-Yaumanifold.Weshowtheviabilityofourapproachforthecaseofel-
liptic two- and three-folds. Furthermore, we discuss a consistency conditions
related to the intersections between D7-branes and orientifold planes which
is automatically fulfilled in F-theory. Finally, we use our results to study the
2flux stabilization of D7-branes on the orientifoldK3×T /Z using F-theory2
on K3×K3. In this context, we derive conditions on the fluxes to stabilize
a given configuration of D7-branes.Contents
1 Introduction 9
1.1 The string theory landscape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Type IIB orientifold compactifications and F-theory . . . . . . 13
1.3 Overview. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Aspects of F-theory and elliptic fibrations 23
2.1 Type IIB and SL(2,Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Elliptic fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Topological invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Monodromy and singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Elliptic Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Sen’s weak coupling limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1 Tate’s algorithm in the weak coupling limit . . . . . . . 42
2.4.2 A note on the axiodilaton . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3 The double cover Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4 The geometry of the D7-brane locus. . . . . . . . . . . 47
2.5 Dualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1 M-theory and type IIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.2 Heterotic E ×E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 8
2.6 Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 F-theory on K3 57
3.1 Geometry of the K3 surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Moduli space and second homology group . . . . . . . 57
3.1.2 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3 Wilson line breaking and resolution of singularities . . 62
3.2 K3 moduli space and F-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1 Cycles and branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 K3 with four D singularities . . . . . . . . . . . . . . 694
63.2.3 D-Brane positions from periods and the weak coupling
limit revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Enriques involutions and Weierstrass models . . . . . . . . . . 81
⊕83.3.1 The lattice E and its sublattice A . . . . . . . . . . 818 1
43.3.2 The T /Z orbifold limit of K3 . . . . . . . . . . . . . 832
4 1 13.3.3 T /Z as a double cover ofP ×P . . . . . . . . . . . 872
3.3.4 The Enriques involution . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 F-theory Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 F-theory on elliptic Calabi-Yau threefolds 104
4.1 Local construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.1 Recombination of two intersecting D7-branes . . . . . . 107
4.1.2 Recombination of two intersecting O7-planes . . . . . . 109
4.2 F-Theory models at the orientifold point . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1 The type IIB perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.2 Deformations of the O-plane . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.3 F-theory perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.4 3-cycles at the orientifold point . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 D7-branes without obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1 Pulling a single D-brane off the orientifold plane . . . . 120
4.3.2 More general configurations . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 D7-branes with obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4.1 D-brane obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4.2 Recombination for double intersection points . . . . . . 131
4.4.3 Threefoldcycles,obstructionsandtheintersectionmatrix134
5 F-theory on fluxed K3×K3 138
5.1 K3 Flux Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.1 M-Theory onK3×K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.2 The Scalar Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.1.3 Gauge Symmetry Breaking by Flux . . . . . . . . . . . 146
5.2 Moduli Stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2.1 Minkowski Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2.2 F-Theory Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3 Brane Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.1 D-Brane Positions and Complex Structure . . . . . . . 157
5.3.2 Fixing D7-brane Configurations by Fluxes . . . . . . . 159
45.3.3 Fixing an SO(8) Point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3.4 Moving Branes by Fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.5 Fixing almost all Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4 SUSY Vacua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7A Appendix 174
A.1 Characteristic Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.2 Toric varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.3 Line bundles and divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
A.3.1 Toric divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.3.2 Homology, intersections and fans . . . . . . . . . . . . 187
A.3.3 The canonical bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.3.4 Toric blow-ups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.4 Hypersurfaces in toric varieties. . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.4.1 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.4.2 Adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A.4.3 The Lefschetz hyperplane theorem . . . . . . . . . . . 199
A.4.4 Singularities and blow-ups . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.4.5 Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.4.6 Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.5 Rational surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.5.1 Del Pezzo surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.5.2 Hirzebruch surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.6 Classification of non-symplectic involutions of K3 surfaces . . 211
A.7 An example: The weak coupling limit for base space . . . . 2124
A.8 Linear Algebra on Spaces with Indefinite Metric . . . . . . . . 214
kA.9 Explicit expressions for the σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218ij
8
FChapter 1
Introduction
Unification has always been among the central themes of theoretical physics.
String theory is one of the most ambitious projects in this development:
it is aimed at nothing less than unifying all fundamental forces, including
gravity, into a