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Publié par | humboldt-universitat_zu_berlin |
Publié le | 01 janvier 2010 |
Nombre de lectures | 50 |
Poids de l'ouvrage | 2 Mo |
Extrait
ewF
QuantumParticlesonOneDimensional
Scattering,bindingandtransport
DISSERTATION
zurGradesakademischendesErlangung
naturaliumrerumrctodonat.)rer.(Dr.imPhysikachF
deraneingereichtakultätFMathematisch-NaturwissenschaftlichenBerlinzuitätoldt-UniversHumb
vonHerrLdo.ManuelValienteCifuentes
geborenam05.11.1983inJaén,Spanien
Prof.PräsidentDr.Drder.h.c.HumbChristopholdt-UniversitäMatrkschieszuBerlin:
Prof.DekanDr.derLutz-HelmutSchönMathematisch-NaturwissenschaftlichenFakultätI:
1.PDGutachter:Dr.AlejandroSaenz
2.3.Dr.Prof.DDr.avidWPetrosyolfganganNolting
29.03.2010am:eingereichtTagdermündlichenPrüfung:18.06.2010
I
Lattices
ii
Abstract
Thereiscurrentlyagreatinterestinthephysicsofdegeneratequantumgases
andlow-energyfew-bodyscatteringduetotherecentexperimentaladvancesin
manipulationofultracoldatomsbylight.Inparticular,almostperfectperiodic
potentials,calledopticallattices,canbegenerated.Thelatticespacingisfixedby
thewavelengthofthelaserfieldemployedandtheanglebetwenthepairoflaser
beams;thelatticedepth,definingthemagnitudeofthedifferentbandgaps,istun-
ablewithinalargeintervalofvalues.Thisflexibilitypermitstheexplorationof
differentregimes,rangingfromthe“free-electron”picture,modifiedbytheeffec-
tivemassforshallowopticallattices,tothetight-bindingregimeofaverydeep
periodicpotential.Inthelattercase,effectivesingle-bandtheories,widelyusedin
condensedmatterphysics,canbeimplementedwithunprecedentaccuracy.The
tunabilityofthelatticedepthisnowadayscomplementedbytheuseofmagnetic
Feshbachresonanceswhich,atverylowtemperatures,canvarytherelevantatom-
atomscatteringpropertiesatwill.Moreover,opticallatticesloadedwithgasesof
effectivelyreduceddimensionalityareexperimentallyaccessible.Thisisespecially
importantforonespatialdimension,sincemostoftheexactlysolvablemodelsin
many-bodyquantummechanicsdealwithparticlesonaline;therefore,experiments
withone-dimensionalgasesserveasatestinggroundformanyoldandnewtheo-
rieswhichwereregardedaspurelyacademicnotsolongago.Thephysicsoffew
quantumparticlesonaone-dimensionallatticeisthetopicofthisthesis.Mostof
theresultsareobtainedinthetight-bindingapproximation,whichisamenableto
exactnumericaloranalyticaltreatment.
Forthetwo-bodyproblem,theoreticalmethodsforcalculatingthestationary
scatteringandboundstatesaredeveloped.Theseareusedtoobtain,inclosedform,
thetwo-particlesolutionsofboththeHubbardandextendedHubbardmodels;itis
foundthatthelattercanshowresonantscatteringbehavior.Anewtheorem,which
characterizesalltwo-bodyboundstatesonaone-dimensionallatticewitharbitrary
finiterangeinteractions,isprovenhere.ThemethodsusedforthesimplestHubbard
modelsarethengeneralizedtoobtainexactresultsforarbitraryinteractionsand
statistics.particleTheproblemofbindingandscatteringofthreeidenticalbosonsisstudiedin
detail,findingnewtypesofboundstateswithnocontinuousspacecounterparts.
Thephysicsofthesetrimersisrevealedbyaneffectivemodelwhichisthenapplied
to“dimer”-”monomer”scatteringonthelattice.
Stationarystatesofotherlatticesystemsarealsoconsidered.First,theproblems
ofbindingandscatteringofasingleparticleonasuperlatticeoffastaticimpurity
areanalyticallysolved.Amongtheresultsobtained,thepresenceofasecondbound
stateforanylatticeandinteractionstrengthsishighlighted.Second,amodelofthe
harmonicoscillatoronthelattice,preservingmostofthepropertiesofitscontinuous
spaceanalog,ispresentedandanalyticallysolved.Twodifferentmodels,being
formallyequivalenttotheaforementionedlatticeoscillator,arethenconstructed
andsolvedexactly.
Quantumtransportofaasingleparticleandaboundparticlepaironaone-
dimensionallatticesuperimposedwithaweaktrapisinvestigated.Basedonthe
knowledgeoftheresultsobtainedforstationarystates,coherent,non-dispersive
transportofoneandtwoparticlescanbeachieved.Asurprisingfact–repulsively
boundpairsaretighterboundthanthosewithattractiveinteraction–isfoundand
physicallyexplainedinasimpleway.
Zusammenfassung
DeraktuelleexperimentelleFortschrittbeiderManipulationultrakalterAtome
mitLichtlöstgegenwärtigeingroßesInteresseanderPhysikentarteterQuantengase
undderniederenergetischenStreuungwenigerTeilchenaus.Insbesondereistesmög-
lich,nahezuperfekteperiodischePotenziale,sogenannteoptischeGitter,zugene-
rieren.DerGitterabstandwirddurchdieWellenlängeunddenWinkelzwischenden
StrahlendesverwendetenLaserfeldesfestgelegt,währenddieGittertiefe,welchedie
GrößenordnungderverschiedenenBandlückendefiniert,übereineweiteBandbreite
variiertwerdenkann.DieseFlexibilitäterlaubtdieUntersuchungverschiedenster
Regime,vomBilddes”freienElektrons”,welchesimFalleflacheroptischerGitter
durchdieeffektiveMassemodifiziertwird,biszumtight-binding-Regime(Regime
derfestenBindung),dasmiteinemsehrtiefenperiodischenPotenzialsimuliert
werdenkann.LiegtdasletztereRegimevor,solassensichdieeffektivenEinzel-
bandtheorien,dieweitgehendinderPhysikderkondensiertenMaterieVerwendung
finden,mithervorragenderGenauigkeitimplementieren.DieDurchstimmbarkeitder
GittertiefewirdheutzutagedurchdasAusnutzenmagnetischerFeshbachresonanzen
komplementiert,welchebeisehrniedrigenTemperaturendieatomarenStreueigen-
schaftennachBeliebenvariierenkönnen.DarüberhinaussindmitGasengefüllte
optischeGitter,derenDimensionalitäteffektivreduziertist,experimentellzugäng-
lich.DiesistspeziellfüreineeinzigeräumlicheDimensionsehrvonBedeutung,da
diemeistenderexaktlösbarenModellederquantenmechanischenVielteilchentheo-
riedasVerhaltenvonTeilchenkettenbeschreiben.SomitstellenExperimentemit
eindimensionalenGasenfürvielealteundneueTheorien,dienochvornichtallzu
langerZeitnuralsreinakademischangesehenwurden,einepraktischeVersuchs-
plattformdar.DieUntersuchungdesVerhaltenswenigerQuantenteilchenineinem
eindimensionalenGitteristThemadieserArbeit.DerGroßteilderErgebnisseistim
Rahmendertight-binding-Näherungerhaltenworden,welcheeineexaktnumerische
oderanalytischeBehandlungermöglicht.
FürdasZweikörper-ProblemkonntentheoretischeMethodenzurBerechnungder
stationärenStreu-undBindungszuständeentwickeltwerden.MitderenHilfeistes
gelungen,sowohlfürdasHubbard-Modell,alsauchfürdaserweiterteHubbard-
wMoorden,delldiedassZwletztereseiteilceinhen-LösungenresonantesinkStreuvompaktererhaltenFormaufwzueisenerhalten;kann.Feserneistrkgezeonnigtte
einneuesTheorem,dasalleZweikörper-Bindungszuständeineinemeindimensio-
nalenGittermitbeliebigerendlichreichweitigerWechselwirkungcharakterisiert,
bewiesenwerden.DieMethodenfürdieeinfachstenHubbard-Modellesindverall-
gemeinertworden,umexakteErgebnissefürbeliebigeWechselwirkungenundTeil-
herzuleiten.enhenstatistikcBeidergenauenUntersuchungderStreuungundBindungdreieridentischerBo-
sonensindneueTypenvonBindungszuständengefundenworden,denenimkontinu-
ierlichenRaumkeinPendantzugeordnetwerdenkann.DiePhysikdieserTrimere
wirddurcheineffektivesModellbeschrieben,welchesauchaufdieStreuungvon
DimerenmitMonomereninGitternangewandtwurde.
EswurdenzudemdiestationärenZuständeandererGittersystemebetrachtet.
ZuerstkonntendieStreu-undBindungszuständeeinesTeilchensineinemSupergit-
termiteinerstatischenStörunganalytischbestimmtwerden.Ausdenerhaltenen
ResultatenistdasAuftreteneineszweitengebundenenZustandes,unabhängigvon
denrenwurdeeinGitterparameternModelldesundderharmoniscWechenhselwirkungsOszillatorsstärkaufe,demhervGitterorzuheben.eingeführt,Desweite-das
dieEigenschaftenwieimkontinuierlichenRaumweitgehenderhält,undanalytisch
iv
gelöst.Anschließendkonntenzweiunterschiedliche,zumbesagtenharmonischen
GitteroszillatorformaläquivalenteModellekonstruiertundgelöstwerden.
ScbundenenhließlicTheilcwurdehenpaarsderinQuanteneinemtraneisportndimensionaleneineseinzelnenGitter,Teilcübhenserlagertundmiteineseinerge-
schwstationärenachenFalle,Zuständunetersuckannht.einAkohärenusgehendter,vonnichdent-dispersiverhaltenenerTranspErgebnissenorteinesfüroddieer
zweierTeilchenerreichtwerden.EswurdederüberraschendeEffektgefundenund
ingebundeneinfachersindphalsysikaliscsolchehermitWeiseeinererklärt,attraktivdassenWecrepulsivhselwirkung.gebundenePaarestärker
publicationsofList
ManuelValienteandDavidPetrosyan.
Quantumdynamicsofoneandtwobosonicatomsinacombinedtight-bindingperiodic
andEurwophys.eakLparabett.,olic8p3:30007,otential.2008.
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Two-particlestatesintheHubbardmodel.
J.Phys.B,41:161002,2008.
ManuelValienteandDavidPetrosyan.
Scatteringresonancesandtwo-particleboundstatesoftheextendedHubbardmodel.
J.Phys.B,42:121001,2009.
ManuelValiente,DavidPetrosyanandAlejandroSaenz.
Three-bodyboundstatesinalattice.
Phys.Rev.A,81:011601(R),2010.
te.alienVuelManLatticetwo-bodyproblemwitharbitraryfiniterangeinteractions.
Phys.Rev.A,81:042102,2010.
v
Contents
1.Introduction1
2.FormalismofQuantumLatticePhysics5
2.1.Opticallattices................................5
2.2.Thebandstructure..............................7
2.2.1.Tight-bindingapproximation....................9
2.3.Peierls’substitution.............................10
2.4.HilbertspacesforalatticeandthediscreteFouriertransform......11
2.4.1.Directlatticespace..........................12
2.4.2.Reciprocalspace.ThediscreteFouriertransform.........12
2.5.Discr