Finite dimensional realizations for term structure models driven by semimartingales [Elektronische Ressource] / von Stefan Tappe

Stefan Tappe

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 20
• Langue: English
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Extrait

Finite Dimensional Realizations for Term Structure
Models driven by Semimartingales
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat II
der Humboldt-Universitat zu Berlin
von
Herrn Dipl.-Math. Stefan Tappe
geboren am 7. Februar 1977 in Detmold
Prasident der Humboldt-Universitat zu Berlin:
Prof. Dr. Hans Jurgen Promel
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat II:
Prof. Dr. Uwe Kuchler
Gutachter:
1. Prof. Dr. Uwe Kuchler
2. Prof. Tomas Bjork, Ph.D.
3. Prof. Dr. Jan Kallsen
eingereicht am: 5. Juli 2005
Tag der mundlichen Prufung: 7. November 2005 Abstract
Let f(t,T) be a term structure model of Heath-Jarrow-Morton type
df(t,T) =(t,T)dt+(t,T)dX ,t
drivenbyamultidimensionalsemimartingaleX.Ourobjectiveistostudytheexistence
of nite dimensional realizations for equations of this kind. Choosing the class of
Grigelionis processes (including in particular Levy processes) as driving processes, we
approach this problem from two di erent directions.
Extending the ideas from di erential geometry in Bj ork and Svensson (2001), we
show that the criterion for the existence of nite dimensional realizations, proven in
theaforementionedpaper,stillservesasanecessaryconditioninoursetup.Thisresult
is applied to concrete volatility structures.
Inthecontextofbenchmarkrealizations,whichareanaturalgeneralizationofshort
rate realizations, we derive integro-di erential equations, suitable for the analysis of
therealizationproblem.GeneralizingJe rey(1995),wealsoprovearesultstatingthat
forward rate models, which generically possess a benchmark realization, must have a
singular Hessian matrix.
Both approaches reveal that, with regard to the results known for driving Wiener
processes, new phenomena emerge, as soon as the driving process X has jumps. In
particular, the occurrence of jumps severely limits the range of models that admit -
nite dimensional realizations. For this reason we prove, for the often considered case of
deterministicdirectionvolatilitystructures,theexistenceofnitedimensionalsystems
converging to the forward rate model.
Keywords:
HJM term structure models driven by semimartingales, Levy processes, nite
dimensional realizations, Lie algebrasZusammenfassung
Es sei ein Heath-Jarrow-Morton Zinsstrukturmodell
df(t,T) =(t,T)dt+(t,T)dXt
gegeben, angetrieben von einem mehrdimensionalen Semimartingal X. Das Ziel die-
ser Arbeit besteht darin, die Existenz endlich dimensionaler Realisierungen fur solche
Modelle zu untersuchen, wobei wir als treibende Prozesse die Klasse der Grigelionis
Prozesse wahlen, die insbesondere Levy Prozesse enthalt. Zur Bearbeitung der Frage-
stellung werden zwei veschiedene Ansatze verfolgt.
WirdehnendieIdeenausderDi erenzialgeometrievonBj orkundSvensson(2001)
aufdievorliegendeSituationausundzeigen,dassdasinderzitiertenArbeitbewiesene
Kriterium fur die Existenz endlich dimensionaler Realisierungen in unserem Fall als
notwendiges Kriterium dienlich ist. Dieses Resultat wird auf konkrete Volatilitatss-
trukturen angewandt.
ImKontextvonsogenanntenBenchmarkRealisierungen,dieeinenaturlicheVerall-
gemeinerung von Short Rate Realisierungen darstellen, leiten wir Integro-Di erenzial-
gleichungen her, die fur die Untersuchung der Existenz endlich dimensionaler Rea-
lisierungen hilfreich sind. Als Verallgemeinerung eines Resultats von Je rey (1995)
beweisenwirauerdem,dassZinsstrukturmodelle,dieeinegenerischeBenchmarkRea-
lisierung besitzen, notwendigerweise eine singulare Hessesche Matrix haben.
BeideAnsatzezeigen,dassneuePhanomeneauftreten,sobalddertreibendeProzess
X Sprunge macht. Es gibt dann auf einmal nur noch sehr wenige Zinsstrukturmodelle,
die endlich dimensionale Realisierungen zulassen, was ein betrachtlicher Unterschied
zu solchen Modellen ist, die von einer Brownschen Bewegung angetrieben werden. Aus
diesem Grund zeigen wir, dass fur die in der Literatur oft behandelten Modelle mit
deterministischer Richtungsvolatilitat eine Folge von endlich dimensionalen Systemen
existiert, die gegen das Zinsmodell konvergieren.
Schlagworter:
von Semimartingalen angetriebene HJM Zinsstrukturmodelle, Levy Prozesse, endlich
dimensionale Realisierungen, Lie Algebren