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Fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young : caractères du groupe symétrique et polynômes de Kerov, Functions on the set of Young diagrams : characters of the symmetric groups and Kerov polynomials

De
229 pages
Sous la direction de Philippe Biane
Thèse soutenue le 09 mars 2009: Paris Est
Cette thèse concerne les valeurs du caractère irréductible (renormalisé) comme fonction de la partition indexant la représentation (et non de la permutation sur laquelle on calcule le caractère). Avec une bonne renormalisation, les caractères s’écrivent comme des polynômes en fonction des coordonnées des diagrammes multirectangulaires d’une part et en fonction des cumulants libres d’autre part ( ce sont des observables du diagramme apparaissant naturellement dans des problèmes d’asymptotique). Nous avons donné des interprétations combinatoires des coefficients de ces différentes expressions. Celles-ci peuvent s’exprimer en termes de cartes, dont le genre est lié au comportement asymptotique du terme correspondant. Ce type d’expression permet d’une part de bien comprendre le comportement asymptotique : nous avons ainsi amélioré les bornes connues sur les caractères ainsi que le domaine de validité d’équivalents classique. D’autre part, la combinatoire apparaissant dans ces questions est riche et a pu être utilisée dans l’étude d’identité sur des fractions rationnelles
-Théorie des représentations
-Éléments de Jucys Murphy
-Cartes
-Poinçonnage
-Groupe symétrique
-Factorisations d'une permutation
-Ensembles ordonnés
-Polynômes de Kerov
The main object of this thesis is the (normalized) irreducible character values of the symmetric group, seen as a function of the partition indexing the representation (and not of the permutation on which we compute the character value). With a good rescaling, the characters can be written as polynomials in so-called Stanley coordinates or in terms of free cumulants (the latter are observables of the diagram, which appear naturally in the asymptotics study of character values). We give a combinatorial interpretation for the coefficients of these two expressions. More precisely, the summans are indexed by maps, whose genus is linked with their asymptotic behaviour. This kind of expression is very useful to obtain asymptotic results : for example, one has given upper bounds on character values and enlarged the domain of validity of some known equivalents. Moreover, the combinatorics involved in these questions is interesting and has been applied to identities on rational functions
Source: http://www.theses.fr/2009PEST1013/document
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Thèse
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 20102
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010
Jean-P
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Je
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Grigori
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Remerciemen
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010sais
ts
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Je
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umaines.
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rencon
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Marne-La-V
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il
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J'ai
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Je
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tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010expressions
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Con
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texte
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L'étude
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diagramme
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t
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Y
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v
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Kero
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ts
t

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ts
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ts
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par
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de
dans
Kero
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et
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ou
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Stanley
des
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v

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qui
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aux
m
ts


Le
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les
p
u-
eut
ts
alors
de
être
mesure
exprimé
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en
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d'
dans
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mo
du
asymptotiques
diagramme

v
t
.
et
Les
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du
son
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des
nom
Résumé
S(n) λ n
λχ
λχˆ () λ

p q
λ
λ
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Z(C[n])
Z(C[n])
S(n)
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010
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Con
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m
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de



mémoire

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homogène
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t
v
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thèse

s'inscrit
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dans
grammes

.
p
un
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b
e
être
:
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la
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nous
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le
tations
le
du
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leurs
e
pro
symétrique
p
grâce

à
et
des
problème
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déduire
de
les
fonctions
cien
sur

l'ensem
taille
ble
retrouv
des
de
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un
de
optimale
Y
b
oung.
p
La
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première
5.1),
partie
dans
(en
étudions
français)
v.
rapp
appro
elle
t
les
première
résultats
des
précéden

ts
diagrammes
dans
Dans

détail
domaine
ainsi
et
en
présen
ermettan
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les
v.
résultats
elopp
nouv
prouv
eaux

dans
aleurs

manière
p
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On
ectiv
une
e.

Les
dans
parties
d'exprimer
suiv

an
de
tes
des
(en
quand
anglais)
nous
reprennen
l'inni.
t
ainsi
le


alen
ten

u
ainsi
des
sup

un
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près.
p
p
endan
à
t
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la
longueur
thèse
v
[Fér08b,

F‘07
t
,
ts
Fér08a
domaine.
,
partie,
DF‘08
détail
,
de
BF09
une

osons
(par
hes

problème,
t,
les
les
2.7.
notations
apparaître
p
binatoire
euv
En
en
actère
t
somme
diérer
sur
légèremen
Y
t
des
d'un


étudions
hapitre
fonctions
à
On
l'autre).

Dans

la
alternée
deuxième
d'arbres
partie,
d'in
nous
t
établissons
ts
une
de
form
v
ule
de,

dans
binatoire
6,
p
une
our
de
les
Kero
v
les
aleurs

des
La

order
(théorème
d'utiliser
2.7).
des
Cette
Y
form
eut
ule,
théorème

ule
par
our
R.P
t
.
son
Stanley
ail
,
p
donne

l'expression
des
du
Kero

somme
normalisé
bre
en-
érian
ts,
données.

e

la
des
de
explicite
tend
en
ers
fonction
On
des
trivial,

la
ordonnées
ule
binatoire
binatoire
et
l'équiv

t
des
du
diagrammes
sur
m


qu'une
angulaires.
orne
Deux
érieure
preuv
à
es

son
ultiplicatif
t
Cette
prop
orne
osées
eut
dans
étendue

des
mémoire.
erm
La
don
première
la
(c
v
hapitre
a
4)
ec
utilise
binatoire
les
(théorème
propriétés
amélioran
des
ainsi
élémen
précéden
ts
résultats
de


Dans
y
troisième
et
nous
les
en
fonctions
les
de

Sc
Kero
h

ur
fois,

prop
La
deux


(paragraphe
diéren
5.2)
au
est
utilisan
un
toutes

deux
de
théorème
trace
La
dans
fait
l'algèbre
de
du

group
sur
e

symétrique
eet,
:

elle
s'écrit
utilise
une
le
alternée
fait
fonctions
que
les
la
de
représen
oung
tation
par


asso
le

hapitre
à
nous
terprétation
en
p

eut
et
être
relations.

dénit
grâce
une
au
osition
pro
des

étiquetées
de
somme
Y
de
oung.
duits
Un
p
des
t
in
terpréter
térêts
binatoiremen
de
les


form
des
ule

est
Kero
que
A
sa
ec

métho
ne
dév
dép
ée
end
le
que
hapitre
de
nous
la
ons
taille
v
du
généralisée
supp
la
ort
de
de
v
la

p
v
erm
de
utation

in
ts.
et

non
d'ab
de
le
la
est
taille
d'autres
de
ables
la
dia-
p
de
erm
oung.
utation
p
elle-même.
alors
Elle
du
est
2.7
donc
form
très

adaptée
p
à
le
une
don
étude
tous
asymptotique
termes
du
t

l'algèbre
une
v
obtenir

our
ermet
p
les
expression
ef-

ts
sur
p
une
de
p
v
erm
une
utation
alternée
simplions
nom
xée
de
(complétée
v
par
t
des
propriétés
p
Après
oin
tra
ts
xes)
Résumé
λχˆ (σ) p q
λ
σ
λχˆ (σ) σ
λ
|λ|
⋆Λ
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010p
(par
de
Résumé
p
traînan

t
relations
immédiatemen
fait
t

la
binatoire

rapide
de
Y
Kero
p
v.
des
La
rôle
quatrième
m
partie
une
de
les

problèmes.
mémoire
graphes.
est
très
un
sur
p

eu
algorithme
à
mon
part.
en
Elle
binatoire
mon
de
tre
p

v
t
problème
la
On

binatoire

rationnelle.
binatoire
l'appro
qui

est
quons
ressortie
par
de
elles
l'étude
des
des

p
des

diagrammes
de
étudiées
Kero
1.
v
t
p

eut
t
être

utilisée
des
dans
propriétés
un
et
autre
graphes.
domaine
la
:
joue
l'étude
ortan
d'iden
l'étude
tités
de
sur
vite
des
dans
fractions
graphes
rationnelles.
de
On
t
s'in
ule
téresse

à
notre
des
mon
symétrisations
orts
partielles
he
de
osée
la
à
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év
rationnelle
dans
simple
indexées
aux.
des
v
Or
tra
v

t
par
relations
ertes
pro
ouv
hes
he

herc
fonctions

les
de
de
pistes
oung
les
au
.
hapitre
L'ob
Ces
jet
donnen
étudié
un
est
de
une
et
somme
ermetten
des
de
images
trer
de
t


fraction
liens
rationnelle
tre
par
algébriques

fonctions
p

erm
des
utations
Le
des
que
v

ariables.

Les
un
ensem
imp
bles
t
de
our
p
des
erm

utations
Kero

in
son
à
t
unir
les

extensions
les
linéaires
d'une
des
arbitraire
ensem

bles
obtien
ordon-
alors
nés,
form
qui

p
non
euv
e
en
our
t
fraction
être

représen
tre
tés
app
par
de
des

graphes

orien
prop
tés.
dans
Cela
thèse
dénit

donc
Nous
une
o
famille
ensuite
de
une
fractions
érien
rationnelles
7
Q −1(x −x )i i+1i
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 20108
Résumé
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010.
and

Con
of
text
eral
The
these
represen
is
tation
o
theory
on
of
dened

of
groups
:
is
An
a
problems
quite
of
old
these

equalities
h
This
eld
b
in
elemen
mathemat-
of
ics.
the
A
b
lot
in
is
of
already
functionals,
kno
transition
wn

:
from
the
diagram.


of
dep


represen
Kero
tations
all
of
natural
9
As
ts.
of

v


,
ts
indexed
others
b
the
y
b
partitions
kinds
their

of
b
of
alues
,

and
has
algorithms
in
to


ulan
for
ear
a
homogeneous
giv
them
en
to
represen
shap
tation,
Y
its
a
dimension
normalization
and
v
the
do
asso
on

us

them

an
v
of
alues
set
y
oung
ositivit
has
p
and
the
teresting

has
.
suggested,
But
basis
these

algorithms
on
ha
of
v
of
e
algebra
an

high
,

the
y

and
e
it
The
is
w
hard
w
to
functions
use
done
them
elemen
to
are
answ
explicit
er

some


action
questions,
tations
in
ex-
particular
easy
the
of
asymptotic
family
ones.
ed

elemen
tly
free
,
of
new
They
to
some
ols

ha
one
v
er
e
shap
b
diagram.
een

used
the
to
e
answ
the
er
oung
this
With
kind
go
of
d
questions
of
:

the
p
idea
expressions
is
not
to
end
lo
v
ok
Th
at
one
the
see
(normalized)
as

in

algebra
v

alue
functions
[Ker00
the

of
has
Y
v
diagrams.
Kero
algebra
S.V.
a
as
graduation
a
sev
function
in
of
basis.

it
(although
already
it
een
is
some
more
these
usual
are
to
as


sider
alues
it
particular
as
ts
a
the
function
ter
of
the
[Bia03
group
).
are
One
ulan

free
nd
terms
this
and
insigh
as
t
result
for
a

using
in
shap
Kero
of
v's
diagram.
and
link
Olshanski's
et
pap
een
er
t
[KO94
o

of
or

in
e
Stanley's
thanks
[Sta03
y

ts
where
they
he
dened
in
y
tro
expressions

in
m
on

v
Y

oung
their
diagrams.
on
In
represen
this
of

pression
text,
The

an

description.
v
example
alues
an

teresting
b
of
e
link
written
to
in
y
terms
ts,
of
the
some

functionals
ts
of
the
the
measure.
dia-
app
gram
in
olynomials
asymptotic
.
[Bia98
The
are
functionals
and
are

some
v
real
from
n
the
um
e
b
the
ers,
alues,
easy

S(n)
λ n
λχ (σ)
λχˆ () λ

λ
⋆n Λ
Z(C[n])
Z(C[n]) S(n)
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010olynomials.
this
obtain
10
diagrams
Outline
binatorial
of
tions,
this
4.1.
thesis
of
The
a
rst
Kero
part
It
(in


again,
h)


functions.
the
giv
previous
generalized
results
functionals
in
the
the
After
eld

and
on
sho
utations
ws
this
ho
fo
w
dieren
our

results
of
t
is
in
in
it.
sum
The
the
follo
hapter
wing

parts
to
(in

english)
in

e
ond
of
to
w
the

pap
part
ers
whic
written
xed
during
extended
m

y
e
thesis
the
[Fér08b,
third
F‘07
v's
,
ose
Fér08a
b
,
is
DF‘08,

BF09
as

set
(th
maps.
us
et
the
it,
notations
a

map
b
of
e
binatorial
a
of
little
d,
dieren
pro
t
Kero
from
ts.
a
k

a
hapter
diagrams.
to
4.1
another).

In
terms
the
.


part,
as
w
ers
e

pro
simplify
v
binatorial
e
implies
a


t
binatorial
the
form
in
ula

for
erm
normalized
b

in

whose
v
e
alues
5.1).
rational
v
simple
a
the
results
of
In
symmetrizations
w
partial
on
(Theorem
olynomials.
4.1).
e
This
w
form

ula,
using

rst
b
on
y
Indeed,
R.P
v
.
e
Stanley
alternate
,
on
giv
Y
es
b

osition

relation

een
v
it-
alues
e
in

terms
the
of
lab
the
an

pro
ordinates
functions.
at
a
and
terpretation
ok

of
v's
m
this

in
diagrams.
w
This
e
form
ersion
ula

is

pro

v
to
ed
problem
is
tro
in
family
t
Y
w
w
o
from
dieren
new
t
ula
w
v
a
h
ys.
elong
The
olynomials
rst
it,
one
express
(c
ts
hapter
p
4)
alternate
is
um
based
some
on
non
the
w
prop
manage
erties
expression
of
explicit

of
Murph
ts.
y
Kero
elemen
The
ts
the
and
quite
shifted
the
Sc
ho
h
binatorial
ur
app
functions.
w
The
v's

for
one
p
(section
uta-
5.2)

is
e
a
to

erm
of
used
trace
length
in
with
the
b

(Theorem
group
W
algebra
impro
:
e
the
w
main
y
to
previous
ol
in
is

the
the
description
part,
of
e
the


Kero
represen
p
tation

asso
w

prop
to
t
lo
o
with
t
Y
hes,
oung's
oth
idemp
Theorem
oten
The
t.
one
A
based
v
map
ery

in
the
teresting

asp
alue
ect
b
of
written
this
an
form
sum
ula
functions
is
the
its
of

oung
y
indexed
,
y
whic
Prop
h
6.11
only
a
dep
b
ends
w
of
these
the
By
size
erating
of
w
the
write
supp
a
ort
w
of
y
the
function
p
a
erm
eled
utation
as
e
alternate
and
of
not

of
tree
the
This
size
es
of

the
in
p
of
erm

utation
ts
itself.
Kero
Th
p
us
With
it
metho
is
explained
v

ery
6,
useful
e
in
v
an
a
asymptotic
v
study
of
of
v's

and

some
v

alues
The
W
w
tities.
y
iden

rational
the
:
is
domain
in
on

a
new
xed
of
p
of
erm
oung
utation
Then
other
e
(completed

with
Theorem
xed
a
p

oin
form
ts)
for
when

the
alues,
size
whic
of
all
an
b
go
to
es
algebra
to
p
innit
Using
y
w
.

W
the
e


of

v's
v
olynomials
er
an
this
sum
w
n
a
b
y
of
a


a
binatorial
trivial
form
binatorial
ula
ork,
for
e
the
to
homogeneous
this
equiv
to
alen
an
t

of
expression

the


v
This
alue
immediately
on
v's
a


sub
and,
of
also,
fourth
an
is
upp
dieren
er
from
b
others.
ound.
explains
This
w
b

ound,

optimal
h
up
ear
to
our
a
ork
m
Kero
ultiplicativ
p
e

λχˆ (σ)
p q
λ
σ
λχˆ (σ) σ
λ
σ |λ|
⋆Λ
tel-00418482, version 2 - 1 Dec 2010