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Forward and inverse problems in piezoelectricity [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Tom Lahmer

168 pages
Ajouté le : 01 janvier 2008
Lecture(s) : 19
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Forward and Inverse Problems in Piezoelectricity
Den Naturwissenschaftlichen Fakultäten
der Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Dipl. Math. Tom Lahmer
aus Bonn-Bad Godesberg
Lehrstuhl für Sensorik, Universität Erlangen-Nürnberg.Als Dissertation genehmigt
von den Naturwissenschaftlichen Fakultäten der Universität
Erlangen-Nürnberg
Tag der mündlichen Prüfung: 15. Mai 2008
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. E. Bänsch
Erstberichterstatter: Prof. Dr. B. Kaltenbacher
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. W. BorchersMeinen ElternAbstract/Zusammenfassung i
Abstract
For understanding and predicting the behavior of piezoelectric devices,
efficient numerical simulation tools, in particular the finite element method,
have been developed and are used widely. Time consuming and expensive
experiments, necessary for developing new piezoelectric products, sensors
and actuators, are avoided by numerically solving the mathematical formu-
lation of the underlying physical model. This model consists of a coupling
between two physical quantities, namely electric field and mechanical strain
and is given by a set of partial differential equations with appropriate bound-
ary and initial conditions. Well-posedness results concerning the solutions
of the underlying PDEs are presented in this work for time-dependent, har-
monic, and static computations where appropriate damping and loss mech-
anisms are taken into account. The accuracy of the simulation, however,
relies sensitively on the material parameters governing the interaction of the
physical quantities. Without the knowledge of the exact parameters no quan-
titative predictions can be made by numerical computations. So far, these
parameters have been estimated by measurements proposed by the IEEE
Standard or the European Norm CENELEC [1, 24] from well-defined test
samples. The special shapes recommended there allow for simplifications,
namely reduction to onedimensional problems, in the model. Explicit for-
mulas allowing for parameter extraction from resonance characteristics and
other measureable quantities are developed (cf. for loss-less models [1, 24]
and [32, 60, 91, 138, 142] considering losses.). However, these results do not
provide sufficiently precise information on the material coefficients. This
can be seen by comparing three dimensional simulation results with param-
eters gained by the classical methods with measurements of the electrical
impedance or mechanical displacement.
In order to overcome these insufficient exactness, efforts are invested in
the inverse problem, namely the simulation-based parameter identification
for piezoelectric materials. The research and methods developed in this thesis
consider both the linear and the nonlinear case. For the latter functional de-
pendencies of the materials properties from the field quantities are assumed,
a model which in particular is suitable for large-signal driven resonators at
high frequencies, e.g. in sonar applications. The inherent instability of the in-
verse problem is treated with special care by applying appropriate regulariz-
ing methods. An iterative multilevel algorithm based on modified Landweber
methods is developed here. The algorithm extends ideas of [130] and shows
to be very effective in combination with the detection of parameter curves
as they occur in nonlinear applications. Convergence results in the case of
noisy data, and regularizing properties are given for this algorithm. Sensitiv-
ity analyses and methods of optimal experiment design show the reliability of
the identified parameters and give rules how to improve identification results
effectively without remarkably increasing the computational effort.Abstract/Zusammenfassung ii
Zusammenfassung
Seit geraumer Zeit werden numerische Simulationswerkzeuge eingesetzt, ins-
besondere die Finite Elemente Methode, um piezoelektrische Bauteile und
deren Funktionsweisen genau zu verstehen und um deren Verhalten vorher-
zusagen. Zeitaufwändige und teure Experimente, die für die Entwicklung
neuartiger piezoelektrischer Produkte, Sensoren und Aktoren, nötig sind, kön-
nen durch die numerische Simulation des mathematischen Modells ersetzt
werden. Jenes besteht aus der Koppelung zweier physikalischer Größen, des
elektrischen Felds einerseits und der mechanischen Dehnung andererseits.
Das mathematische Modell wird durch ein System von partiellen Differen-
tialgleichungen mit entsprechenden Rand- und Anfangswerten beschrieben.
Für jeweils den zeitabhängingen, harmonischen und statischen Fall werden
in dieser Arbeit Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen zu den Lösungen der
zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungen formuliert. Passende
Dämpfungs- und Verlustmechanismen werden dabei berücksichtigt. Die Ge-
nauigkeit der Simulation hängt jedoch sehr von den Materialparametern ab,
welche das Zusammenspiel der physikalischen Größen steuern. Ohne eine
genaue Kenntnis dieser Parameter können keine quantitativen Aussagen ge-
macht werden. Bislang wurden die Materialparameter nach Vorgaben des
IEEE Standards und der europäischen Norm CENELEC [1,24] aus Messun-
gen an wohldefinierten Probekörpern bestimmt. Die vorgeschlagenen spezi-
ellen Geometrien erlauben vereinfachte eindimensionale Modelle. Explizite
Formeln wurden entwickelt, welche es ermöglichen, die Parameter aus Re-
sonanzerscheinungen und anderen messbaren Größen zu bestimmen, siehe
[1,24] und [32,60,91,138,142] für den verlustbehafteten Fall. Jedoch bieten
deren Ergebnisse keine hinreichend exakten Informationen über die Materi-
alparameter. Dies wird schnell verdeutlicht, wenn man dreidimensionale Si-
mulationen mit den aus klassischen Methoden ermittelten Parametern durch-
führt und diese Ergebnisse mit gemessenen elektrischen Impedanzen und me-
chanischen Verschiebungen vergleicht.
Um diese unzureichende Genauigkeit zu verbessern, wird das dazugehörige
inverse Problem, nämlich die simulationsbasierte Identifizierung der Mate-
rialparameter für das piezoelektrische Problem behandelt. Die Untersuchun-
gen und Methoden, welche in dieser Arbeit entwickelt werden, berücksich-
tigen sowohl den linearen wie auch den nichtlinearen Fall. Im zweiten Fall
wird von funktionalen Abhängigkeiten der Materialeigenschaften von den
Feldgrößen ausgegangen, einem Modell, welches speziell für großsignalbe-
triebene Wandler in Hochfrequenzbereichen, z.B. sonaren Anwendungen,
passend ist. Die inhärene Instabilität des inversen Problems wird mit spezi-
eller Vorsicht behandelt, indem geeignete Regularisierungsmethoden ange-
wandt werden. Ein iterativer Multilevelalgorithmus, welcher auf modifizier-
ten Landweber Methoden basiert und die Ideen von [130] erweitert, zeigt sich
als effektiv in Bezug auf die Charakterisierung von Parameterkurven, wie sie
bei nichtlinearen Anwendungen auftreten. Für diesen Algorithmus werden
Aussagen über die Konvergenz im Fall von verrauschten Daten und regulari-
sierende Eigenschaften präsentiert. Sensitivitätsanalysen und Methoden der
optimalen Versuchsplanung zeigen die Vertrauenswürdigkeit der ermittelten
Parameter und geben Hinweise, wie die Identifizierbarkeit effektiv verbessert
werden kann ohne den rechnerischen Aufwand merkbar zu erhöhen.Preface iii
Acknowledgment
The thesis at hand is a resume of my work within the DFG Research group “Inverse
Probleme in der Piezoelektrizität und ihren Anwendungen” under grant Ka 1778/1
at the Department of Sensor Technology, University of Erlangen-Nuremberg. It is
an honor for me to write this acknowledgment now at the time when my thesis is
about to finish.
There are several people whose efforts, suggestions, and impetuses are of in-
dispensable value for my work.
In particular, I like to express my special gratitude to my first supervisor, Prof.
Dr. Barbara Kaltenbacher for her patient guidance, encouragement, and excellent
advice throughout this study. Especially with Barbara’s professional and methodi-
cal responsibility she could always point out ways how to tackle each open pro-
blem.
I also like to thank my secondary supervisor Prof. Dr. Wolfgang Borchers for
his careful review of my work and valuable discussions during the finalization of
my thesis.
I am also indebted to Prof. Dr. Reinhard Lerch for the opportunity to work at his
chair, the Department of Sensor Technology. The wide-ranging subjects initiated
by him made my stay at the institute an interesting scientific experience in sensor
and actuator applications.
There are a lot of, no, all of my colleagues at the Department of Sensor Techno-
logy to whom I am very much indebted. Not only a friendly working atmosphere,
but also the willingness to discuss arising scientific questions, in particular concer-
ning my application piezoelectricity, resulted in a very fruitful scientific environ-
ment.
Last but not least, I want to thank my family who supported me mentally during
all the years of education. Without their encouraging assistance I would certainly
not have reached this point of my life. Thank you very much!
Finally, I would like to express my deepest gratitude for the constant support,
understanding and love that I received from my prospective wife Daniela.Contents iv
Contents
Preliminaries i
Abstract / Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Acknowledgment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Table of Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Structure of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Direct and Inverse Problems in Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . xi
Achievements of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
1 The Forward Problem – Mathematical Aspects of the Piezoelectric Ef-
fect 1
1.1 Introduction to Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 The Piezoelectric Effect and Fields of Applications . . . . 1
1.1.2 Historical Development of Piezoelectric Devices . . . . . 2
1.1.3 Physical Background of the Piezoelectric Effect . . . . . . 4
1.1.4 Constitutive Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Energy Dissipation and Modeling of Losses . . . . . . . . 13
1.1.6 Piezoelectric Partial Differential Equations . . . . . . . . 15
1.1.7 Rotational Symmetric Case . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.8 Weak Form of Piezoelectric PDEs . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Well-Posedness Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Transient Case With Rayleigh-Damping . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Harmonic and Static Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Finite Element Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.1 Time Stepping Scheme for Transient Computations . . . . 39
1.3.2 Triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Summary Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 The Inverse Problem – Iterative Regularization of Nonlinear Ill-Posed
Problems 44
2.1 Preliminaries on Regularization Theory . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Regularizing Iterative Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems . 47
2.2.1 Inexact Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Nonlinear Landweber Iteration and Modifications . . . . . 48
2.3 Modified Landweber Methods in an Iterative Multilevel Algorithm 49
2.3.1 The Multilevel Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Convergence Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Regularization Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Applicability to a Harmonic Identification Example . . . . 63
2.4 Summary Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Contents v
3 The Inverse Problem – Parameter Identification in Linear Piezoelec-
tricity 69
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Identification Methods - State of the Art . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 PDE-Based Parameter Identification . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Ill-Posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.3 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.4 Identification Results for a Newly Developed Ceramic . . 89
3.3.5 Parameter Identification for Piezoelectric Composites . . . 92
3.4 Optimal Experiment Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.1 Motivation and Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.2 Implementation Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5 Summary Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 Nonlinearities in Piezoelectricity – The Forward and Inverse Problem 105
4.1 Nonlinear Dependencies in Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . 105
4.2 The Nonlinear Forward Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3 The Inverse Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.1 The Adjoint Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2 The Degree of Ill-Posedness . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4 Summary Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 Summary and Outlook 134
5.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
References 140List of Figures vi
List of Figures
1 Forward and inverse problems in mathematics . . . . . . . . . . . xi
2 Piezoelectric effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Ferroelectric domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Perovskite crystal structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Heckmann diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7 Notation of axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 Computational domain, radial disc . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 Computational domain, thin bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 Spectrum of the piezoelectric system matrix . . . . . . . . . . . . 39
11 Simulation model of a piezoelectric stack actuator . . . . . . . . . 42
12 Numerical simulation result of a piezoelectric stack actuator . . . 42
13 Convergence of modified Landweber iterations . . . . . . . . . . 49
14 Common resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
15 Impedance analyser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
16 Test fixture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
17 Identification setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
18 Convergence of different regularization methods . . . . . . . . . . 78
19 Reconstruction with inexact Newton methods . . . . . . . . . . . 80
20 Reconstruction with steepest descent . . . . . . . . . . . . . . . . 81
21 Reconstruction with the minimal error method . . . . . . . . . . . 82
22 Reconstruction with the Landweber method . . . . . . . . . . . . 83
23 Simultaneous reconstruction of all parameters . . . . . . . . . . . 84
24 Reconstruction of three imaginary parts, noise-free . . . . . . . . 85
25 Reconstruction of three imaginary parts, noisy . . . . . . . . . . . 86
26 Reconstruction result with damping, magnitude . . . . . . . . . . 86
27 Reconstruction result with damping, phase . . . . . . . . . . . . . 87
28 Identification of radial mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
29 Identification of longitudinal mode . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
30 Verification of identification results . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
31 Geometry of Langevin transducer . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
32 Fitting results (impedance) for Langevin transducer . . . . . . . . 93
33 Fitting results (impedance) for Langevin transducer . . . . . . . . 94
34 Fitting results (mechanical displacement) for Langevin transducer 94
35 Optimal experiment design - confidence intervals . . . . . . . . . 99
36 Optimal experiment design - Number of measurements . . . . . . 100
37 Optimal experiment design - weight function . . . . . . . . . . . 102
38 Optimal experiment design - confidence intervals . . . . . . . . . 103
39 Nonlinear case: Amplitude saturation . . . . . . . . . . . . . . . 106
40 Nonlinear case: Classification of nonlinearities . . . . . . . . . . 107
41 Nonlinear case: Effects of higher harmonics . . . . . . . . . . . . 108
42 Nonlinear case: Field dependend piezoelectric coupling . . . . . . 109List of Tables vii
43 Nonlinear case: Hysteresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
44 Nonlinear case: Ferroelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
S45 Nonlinear case: Parameter functionse andε . . . . . . . . . 12633 33
46 Nonlinear case: Charge response . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
47 Nonlinear case: Convergence, reconstruction of permittivity . . . 128
48 Nonlinear case: Reconstructed parameter curve I . . . . . . . . . 128
49 Nonlinear case: Reconstructed parameter curve II . . . . . . . . . 129
50 Nonlinear case: Reconstructed parameter curve III . . . . . . . . 129
51 Nonlinear case: Simultaneous reconstruction, with data noise . . 130
52 Nonlinear case: Simultaneous reconstruction, noise free . . . . . . 131
53 Nonlinear case: Charge response after reconstruction, thickness
resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
54 Nonlinear case: Charge response after reconstruction, longitudinal
resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
List of Tables
1 Properties of selected materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Physical couplings in smart materials . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Conversion: Tensor to matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Overview: Well-posedness violations and their remedies . . . . . 45
5 Confidence intervals of identified parameters, Pz36 . . . . . . . . 88
6 Geometries of Pz36 samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Material parameters, Pz36 according to IEEE standard . . . . . . 89
8 Fitting results, radial mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9 Fitting results, longitudinal mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10 Consistent data set for Pz36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 Functional dependencies of piezoelectric material parameters . . . 109

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