High-Order methods for convection-dominated nonlinear problems using multilevel techniques [Elektronische Ressource] / Francesca Iacono

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 23
• Langue: English
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Extrait

High-Order Methods for Convection-Dominated
Nonlinear Problems Using Multilevel Techniques
Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der
RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades einer
Doktorin der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Dottoressa Magistrale in Ingegneria Matematica
Francesca Iacono
aus Turin, Italien
Berichter:
Univ.-Prof. Dr.rer.nat W. Dahmen
Juni.-Prof. G. May, Ph.D.
Tag der mündlichen Prüfung: 26. September 2011
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online
verfügbar.IIAbstract
For industrial aerodynamic applications to compressible flow simulation, finite volume
methodswithloworderofconsistencyareamaturetechnology, usuallycombinedwith
shock capturing techniques. However, high accuracy is needed for those problems
which involve a wide range of spatial and temporal scales. High-order methods are
potentiallyabletodeliverhighaccuracywhileatthesametimeavoidingexcessivegrid
resolution. In spite of that, these methods have not made their way into industrial
flow solvers for aircraft design yet. One of the reasons for this is the lack of tailor-
suited, best-practice solution techniques that compare favorably to highly-tuned low-
order methods. Currently, reliable, efficient, high-order numerical solutions can be
guaranteed only in a limited number of cases. One issue to address in order to make
these methods competitive is efficiency, which involves different aspects of the solution
strategy.
This thesis contributes to the development of efficient strategies for solving com-
pressible flows via high-order discretizations. Systems of nonlinear hyperbolic conser-
vation laws govern the dynamics of these flows. When discretizing steady problems,
one obtains a large system of nonlinear algebraic equations. We focus on convergence
accelerators for the solution of steady problems. Nonetheless, since implicit time
discretization produces a very similar set of equations, the techniques presented can
be applied to time-dependent problems as well. A combination of implicit Newton’s
relaxation and explicit multilevel methods is proposed. The resulting technique is
reliable and easy to tune, exceptionally simple compared to other ‘expert systems’. In
the framework of implicit relaxation, an important issue is the storage of the system
matrix. Strategiesalternativetoexplicitstorageofthematrixareintroducedandana-
lyzed. Wealsoinvestigatetheunderlyinghigh-orderspatialdiscretizationbyconsider-
ing and directly comparing the performance of three different methods, all employing
a local, discontinuous solution space. Finally, a novel method for multiwavelet-based
mesh adaptivity is extended to systems of conservation laws so as to adapt the mesh
to the flow features. On the one hand, high-order approximations on rather large-size
cells are used in regions where the solution is smooth. On the other hand, low-order
approximations together with very fine cells are applied in regions where shocks or
large gradients appear. Such an adaptive grid can allocate the resources efficiently,
in that cells are concentrated in areas where they are needed, as opposed to uniform
mesh refinement.
IIIIVAbstract in German
Multilevel-VerfahrenhöhererOrdnungfürkonvektionsdominiertenichtlin-
eare Probleme
Für industrielle Anwendungen kompressibler Strömungssimulationen sind Finite-
Volumen-Verfahren mit niedriger Konsistenzordnung, in der Regel mit Shock-Cap-
turing-Techniken kombiniert, eine ausgereifte Technologie. Allerdings erfordern Prob-
leme die einen großen Bereich von räumlichen und zeitlichen Skalen umfassen hohe
Genauigkeit. Verfahren hoher Ordnung sind potentiell in der Lage hohe Genauigkeit
zu liefern, während sie gleichzeitig übermäßige Gitterauflösung vermeiden. Trotzdem
haben sich diese Verfahren in industriellen Strömungslösern z.B. im Flugzeug-Design
nochnichtdurchgesetzt. EinerderGründedafüristderMangelanmaßgeschneiderten
best-practice Lösungstechniken, die hochgradig optimierten Verfahren niedriger Ord-
nung überlegen sind. Gegenwärtig können zuverlässige, effiziente numerische Lösun-
gen hoher Ordnung nur in einer begrenzten Anzahl von Fällen erzielt werden. Um
diese Verfahren konkurrenzfähig zu machen, muss deren Effizienz, die verschiedenen
Aspekte der Lösungsstrategie betrifft, verbessert werden.
Diese Arbeit leistet einen Beitrag zur Entwicklung von effizienten Strategien zur
Simulation kompressibler Strömungen mittels Diskretisierungen hoher Ordnung. Die
Dynamik dieser Strömungen wird beschrieben durch Systeme von nichtlinearen hy-
perbolischen Erhaltungsgleichungen. Wenn stationäre Probleme diskretisiert werden,
erhält man ein großes System von nichtlinearen algebraischen Gleichungen. Wir
konzentrieren uns auf Konvergenzbeschleuniger für die Lösung stationärer Probleme.
Dennoch können, da implizite Zeitdiskretisierung einen sehr ähnlichen Satz von Gle-
ichungen ergibt, die vorgestellten Techniken auch auf zeitabhängige Probleme ange-
wandt werden. Es wird eine Kombination impliziter Newton-Relaxation und eines
expliziten Multilevel-Verfahrens vorgeschlagen. Die daraus resultierende Technik ist
zuverlässig, einfach zu optimieren und besonders einfach im Vergleich zu anderen ‘Ex-
pertensystemen’. Im Rahmen der impliziten Relaxation ist die Speicherung der Sys-
temmatrix ein wichtiges Thema. Alternativen zur expliziten Speicherung der Matrix
werden vorgestellt und analysiert. Wir untersuchen auch die zugrundeliegende räum-
liche Diskretisierung hoher Ordnung, indem wir die Leistung von drei verschiedenen
Verfahren vergleichen, die alle einen lokalen, nicht-stetigen Lösungsraum verwenden.
SchließlichwirdeinneuartigesVerfahrenzurMultiwavelet-basiertenGitteradaptivität
auf Systeme von Erhaltungsgleichungen erweitert, so dass das Gitter an die Eigen-
schaften der Strömung angepasst wird. Einerseits werden Approximationen hoher
Ordnung auf eher große Zellen in Regionen in denen die Lösung glatt ist angewandt.
Andererseits werden Näherungen niedriger Ordnung in sehr feinen Zellen in Regionen,
in denen Stöße oder große Gradienten auftreten, verwendet. Ein solches adaptives
VGitter kann im Gegensatz zu uniformer Gitterverfeinerung die Ressourcen effizient
zuteilen, indem es die Zellen in Bereichen konzentriert, wo sie benötigt werden.
VIAcknowledgements
This dissertation is the result of the time I spent at the graduate school AICES
(AachenInstituteforadvancedstudyinComputationalEngineeringScience)atRWTH
Aachen since December 2007. I gratefully acknowledge the financial support from the
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) through grant GSC 111. During my doc-
toral program I have been provided with the best tools and chances to improve my
skills. At AICES I could always feel that the focus was on the education of us fellows.
I would like to thank Professor Wolfgang Dahmen, Professor Georg May, Profes-
sor Siegfried Müller, Sebastian Noelle and Wilhelm Plesken, for
serving the commission for my doctoral exam. In particular, I would like to thank
Professor Dahmen, Professor May and Professor Müller for also reviewing my disser-
tation.
A special thanks goes to the supervisors and collaborators: without their help I
would have never been able to complete my doctoral studies. In particular:
• Professor Claudio Canuto at the Dipartimento di Matematica, Politecnico di
Torino, and Professor Karsten Urban at the Institut für Numerische Mathe-
matik, Universität Ulm, for having encouraged and supported me in the appli-
cation to this doctoral program.
• Professor May, for the passion which he shows for doing research, for the door
which has always been (physically and metaphorically) open to my questions,
for the kindness and respect which he always showed, for the rigorousness and
professionalism which he taught me, for believing in me and my abilities. A
particular thanks for having made available many of his codes, routines and
books.
• Professor Müller, for the time that he took to patiently introduce me to wavelet-
based adaptation, for the code that he made available to me, for having always
welcomed me with a smile and ‘the chair waiting for me’ in his office. A special
thanks for his great ability to motivate and encourage me.
• Roland Schäfer, ex-doctoral student at IGPM and now proudly Dr.rer.nat., for
the code and routines which he made available to me and for the complete and
clear explanations which he gave to any of my questions on multiwavelets.
• ProfessorZ.J.Wangandhisresearchgroupat IowaState University, forhosting
me in autumn 2009 at the Department of Aerospace Engineering, and for the
valuable exchange of ideas, which contributed to the development of nonlinear
preconditioning. ThanksalsoforcelebratingwithmemyfirstChinese-American
Thanksgiving.
VII• Michael Lülfesmann at the Institute for Scientific Computing, RWTH Aachen,
for answering my questions on automatic differentiation during the first year of
my studies.
• Takanori Haga, post-doctoral fellow at Iowa State University, for the interesting
conversations a