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Universit¶e Paris-Est Marne la Vall¶ee
Laboratoire Mod¶elisation et Simulation Multi Echelle (UMR CNRS 8208)
THESE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS-EST MARNE LA
VALLEE
Discipline : M¶ecanique
pr¶esent¶ee et soutenue publiquement par
Nguyen Trung Kien
le 21 d¶ecembre 2010
Homog¶en¶eisation num¶erique de
structures p¶eriodiques par transform¶ee
de Fourier : mat¶eriaux composites et
milieux poreux
JURY
C. BOUTIN ENTPE Laboratoire G¶eomat¶eriaux Rapporteur
C. GEINDREAU Professeur, Universit¶e Joseph Fourier, Grenoble Rapporteur
J.-C. MICHEL Directeur de recherche, LMA, Marseille Examinateur
V. MONCHIET Ma^‡tre de conf¶erence, Universit¶e Paris-Est Marne la Vall¶ee
G. BONNET Professeur, Universit¶e Paris-Est Marne la Vall¶ee Directeur de thµese
D.C. PHAM Institut de M¶ecanique de Hanoi Co-Directeur de thµese
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Mis en page avec la classe thloria.
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Remerciements
J’exprime mes profonds remerciements aµ mes directeurs de thµese, Monsieur Guy Bon-
net et Monsieur Pham Duc Chinh dont l’aide pr¶ecieuse m’a ¶et¶e indispensable sur le plan
scientiflque. Je tiens ¶egalement aµ les remercier pour la conflance et la sympathie qu’ils
m’ont t¶emoign¶ees au cours de ces trois ann¶ees de thµese.
Je remercie tous particuliµerement Monsieur Claude Boutin et Monsieur Christian Gein-
dreau de m’avoir fait l’honneur d’^etre les rapporteurs de cette thµese. Leurs remarques et
commentaires constructifs lors de la lecture de mon rapport m’ont permis de le clarifler
et de l’am¶eliorer.
Mes remerciements vont ¶egalement aµ Monsieur Jean Claude Michel pour avoir accept¶e
d’examiner mon m¶emoire et de pr¶esider le jury de la thµese.
Je voudrais remercier Vincent Monchiet dont les qualit¶es p¶edagogiques et scientiflques
m’ont ¶enorm¶ement appris.
Je remercie Julien Yvonnet pour sa contribution aux calculs ¶el¶ements flnis et ses conseils
pour la r¶edaction du m¶emoire.
Je tiens¶egalement µaremercierMonsieurChristianSoize,directeur dulaboratoire MSME,
qui m’a accueilli au sein de son laboratoire et m’a permis d’efiectuer cette thµese dans de
bonnes et agr¶eables conditions de travail.
Merci µa tous les membres du laboratoire MSME pour leur soutien scientiflque et pour la
bonne ambiance au sein du laboratoire.
Merci mes amis pour votre amiti¶e et pour tous les moments de d¶etente et fous rires inou-
bliables pass¶es ensemble.
Je voudrais adresser un grand merci µa toute ma famille pour son soutien constant tout au
long de mes ¶etudes et de mon doctorat, en particulier µa mon pµere, aµ ma mµere et µa mon
frµere.
1
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Remerciements
2
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Table des matiµeres
Remerciements 1
Notations
Introduction g¶en¶erale 9
Chapitre 1
Les m¶ethodes bas¶ees sur la TFR pour les composites ¶elastiques
1.1 Principes de base de l’homog¶en¶eisation des milieux p¶eriodiques . . . . . . . 14
1.1.1 Le problµeme d’inhomog¶en¶eit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Propri¶et¶es efiectives des composites p¶eriodiques en ¶elasticit¶e lin¶eaire 16
1.2 R¶esolution dans le domaine de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Relations d’¶equilibre et de compatibilit¶e . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Les¶equationsdeLippmannn-Schwingerduproblµemed’inhomog¶en¶eit¶e 18
1.2.3 R¶esolution par d¶eveloppement en s¶erie de Neumann . . . . . . . . . 20
1.3 M¶ethode de r¶esolution num¶erique bas¶ee sur la TFR . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 L’approche en d¶eformation [61] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Utilisation des fonctions de forme [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Formulation en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 M¶ethodes de r¶esolution bas¶ees sur un Lagrangien augment¶e . . . . . . . . . 32
1.4.1 Le principe du minimum bas¶e sur le lagrangienL . . . . . . . . . . 32"
1.4.2 L’algorithme it¶eratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3 Autres formulations bas¶ees sur un Lagrangien augment¶e . . . . . . 36
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Table des matiµeres
Chapitre 2
Une approche num¶erique µa deux ¶echelles pour le comportement des com-
posites non lin¶eaires
2.1 Une approche bas¶ee sur la TFR pour la r¶esolution du problµeme local . . . 40
2.1.1 Homog¶en¶eisation des milieux p¶eriodiques en loi puissance . . . . . . 40
2.1.2 R¶esolution du problµeme local par un sch¶ema it¶eratif . . . . . . . . . 41
2.1.3 Description des problµemes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Principe de construction du potentiel des d¶eformations macroscopiques . . 47
2.2.1 Repr¶esentationdiscrµetedupotentieldesd¶eformationsmacroscopiques 47
2.2.2 Interpolation multidimensionnelle par spline . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.3 Interpolation par s¶eparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.5 Interpolation du potentiel et loi de comportement macroscopique . 54
2.3 Application : problµeme de la poutre en exion . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Chapitre 3
Uneapprochebas¶eesurlaT.F.Rpourlad¶eterminationdelaperm¶eabilit¶e
en r¶egime statique
3.1 Description du problµeme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 L’¶ecoulement de Stokes et l’¶equation de Darcy . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Le problµeme de composite ¶equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.3 Description des efiorts agissant dans la phase solide . . . . . . . . . 64
3.2 Une m¶ethode de r¶esolution bas¶ee sur la TFR . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 L’¶equation de Lippmann-Schwinger du problµeme d’¶ecoulement . . . 66
3.2.2 R¶esolution par un sch¶ema it¶eratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 D¶etermination des efiorts agissant dans la phase solide . . . . . . . 70
3.3 Validations de l’approche bas¶ee sur la TFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Ecoulement aµ travers un r¶eseau de cylindres . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 Ecoulement aµ travers un r¶eseau de sphµeres . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Etude d’une cellule de base non sym¶etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Chapitre 4
Extension au contexte dynamique et prise en compte du glissement
4.1 Prise en compte du glissement aµ l’interface solide/°uide . . . . . . . . . . . 88
4.1.1 Description du problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.2 Le problµeme avec interphase ¶equivalente . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.3 Le sch¶ema it¶eratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.4 Le choix du milieu de r¶ef¶erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.5 Mise en oeuvre et comparaisons avec des r¶esultats existants. . . . . 95
4.2 D¶etermination de la perm¶eabilit¶e en r¶egime dynamique . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Homog¶en¶eisationdesmilieuxporeuxp¶eriodiqueenr¶egimedynamique 99
4.2.2 Solution du problµeme d’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.3 R¶esolution du problµeme d’¶ecoulement par un sch¶ema it¶eratif . . . . 101
4.2.4 Ecoulement dans un tube cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Conclusion g¶en¶erale 111
Bibliographie 113
Annexe A
D¶ecomposition dans la base de Walpole
Annexe B
Conditions de convergence du sch¶ema it¶eratif en contrainte
Annexe C
Formulations en contrainte bas¶ees sur un Lagrangien augment¶e
131
5
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Table des matiµeres
6
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Notations
† Notations tensorielles
a scalaire, a vecteur,
A tenseurs d’ordre deux, A tenseurs d’ordre quatre,
I tenseur identit¶e d’ordre deux, I tenseur identit¶e d’ordre quatre,
: produit contract¶e d’ordre un, : produit contract¶e d’ordre deux,
s
› produit tensoriel, › produit tensoriel sym¶etris¶e,
– symbole de Kronecker.ij
(A›B) = A B (A›B) = A Bijkl ik jl ijkl il jk
1(A›B) = (A B +A B )ijkl ik jl il jk2
† Notations communes µa tous les chapitres
» vecteur d’onde,
0¡ (») op¶erateur de Green pour les d¶eformations,
0¢ (») op¶erateur de Green pour les contraintes,
¾ tenseur des contraintes microscopiques,
§ tenseur des contraintes macroscopiques,
† Notations propres aux chapitres 1 et 2
u champ de d¶eplacement,
" tenseur des d¶eformations microscopiques,
E tenseur des d¶eformations macroscopiques,
C tenseur de rigidit¶e,
S tenseur de souplesse,
w(") potentiel des d¶eformations microscopiques,
⁄w (¾) potentiel des contraintes microscopiques,
W(E) potentiel des d¶eformations macroscopiques,
⁄W (§) potentiel des contraintes macroscopiques,
7
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011Notations
† Notations propres aux chapitres 3 et 4
v champ des vitesses microscopiques,
V champ des vitesses macroscopiques,
p champ de pression microscopique,
G gradient de pression macroscopique,
" tenseur des d¶eformations microscopiques,
K tenseur de perm¶eabilit¶e en r¶egime statique,
K(!) tenseur de perm¶eabilit¶e en r¶egime dynamique,
! la pulsation,
f forces de volume,
8
tel-00598465, version 1 - 6 Jun 2011