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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
Departamento de Física de Materiales





INTERACTIONS IN NOVEL LOW-DIMENSIONAL
QUANTUM SYSTEMS: ARRAYS OF COLD
ATOMS AND GRAPHENE MONOLAYERS.


MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR
PRESENTADA POR

Javier Sabio González


Bajo la dirección de los doctores

Francisco Guinea López
Fernando Sols Lucía


Madrid, 2010



ISBN: 978-84-693-8781-8 © Javier Sabio González, 2010



Universidad Complutense de Madrid
Departamento de Física de Materiales
INTERACTIONSINNOVEL LOW-DIMENSIONALQUANTUM
SYSTEMS: ARRAYS OF COLD ATOMS AND GRAPHENE
MONOLAYERS
Memoria de la tesis presentada por
JavierSabio González
para optar al grado de Doctor en Ciencias Físicas
Directores:
FranciscoGuineaLópezy Fernando SolsLucia
Madrid,Marzo de 2010Agradecimientos
Los físicos son las únicas personas que conozco que con treinta años todavía creen que pueden
hacer carrera de bailarina profesional.
A.I.Fernández-Domínguez
Durante esta tesis he tenido la oportunidad de conocer a muchos físicos. El físico es una especie
particular(yporfísicomerefieroalcolectivodelosfísicosydelasfísicas).Esinquietopornaturaleza,
y suele tener muchas aficiones. Gusta de las generalizaciones, pero se deleita por las cosas pequeñas,
casi ínfimas. Las montañas suelen ser su refugio, a las que acude con toda la asiduidad que una
vida por lo general desorganizada puede permitirle. Entre mis mejores amigos se cuentan físicos,
y no creo que sea únicamente porque me pase el tiempo rodeado de ellos. El físico es solitario,
independiente, pero disfruta de una buena conversación. Puede ser una buen compañía en los viajes,
de esos en los que se disfrutan las pausas y se saborean los silencios, sobre todo cuando preceden
al rumor de las risas aderezadas por una buena cerveza. Porque es, sin duda el físico, un buen
bebedor. Ha probado todas las cervezas del mundo, y de seguro tiene más de una teoría sobre
ellas. No le hace ascos tampoco al vino. Cualquier rumor etílico estimulará su fantasía, que dicha en
palabrasrecuerdaa ecuacionesque no siempreresultansertanbuenasmetáforasdeesarealidadque
pretenden homenajear. Y es que para el físico, qué duda cabe, todo es entendible en el lenguaje de la
Física.Esdespuésdetodoelregalomerecidotrasmuchosañosdededicaciónalestudio,perotambién
la cárcel que lo retiene en un mundo de abstraccionespara pocos comprensibles. Con el discurrir del
tiempo, les he visto componer modelos cuánticos sobre el comportamiento emocional, describir el
convulso mundo de la política con la misma lógica que guía aun fluído. Perolaspersonas estánlejos
de la belleza intangible de su realidad subyacente, y eso lo entiende cada físico en su fuero interno.
Quizás por eso son todos ellos tan buenos músicos. Tal vez porque buscan un poco de evasión en las
fugaces notas, aquella que ni siquiera encuentran en el eco de las simas montañosas. Es el físico, no
obstante, también arrogante. Se sabe buen entendedor decasi todo, y exporta su manera de hacerlas
cosas a cada faceta de la realidad que le rodea. En un mundo de físicos, cada detalle se coordinaría
para dar lugar a un grán mecanismo por el cual todo giraría armoniosamente, al compás quizás de
una sonada sinfonía. En la realidad, ni la pequeña parcela del mundo dejada a su gestión termina
por encajar del todo. Es quizás que los asuntos humanos son demasiado tediosos, o tal vez que una
vez discernida la solución al problema, implementarla sería tan obvio que ni merece intentarlo. En
cualquier caso, si de algo estoy seguro, es que ningún esquema concreto podría encasillar bien al
ifísico. A este lo podrás encontrar dirigiendo la más venturosa empresa, escudriñando los límites del
universo,explorandolos confinesdelmundo,o dirimiendoasuntosderelevanciainternacional. Ya lo
he dicho, puede que sea por ese regalo, elque nos da la seguridaddeque lo podemos entendertodo,
aunque no lo hagamos en realidad. Porque no tiene edad, no, el físico, para dejar de descubrir y de
explorar. Por eso, creo yo, no se le puede cerrar las puertas a emprender, incluso con treinta años, la
carrera de bailarina profesional.
Esta tesis es de alguna manera producto del esfuerzo coordinado de todos esos físicos que me
honra haber conocido durante los más de cuatro años que tardé en componerla. Algunos, porque
me ayudaron a rellenar huecos entre compás y compás. Otros, los que más, haciendo de mi lugar de
trabajo,ya fuese en España o elextranjero, un sitio agradableen el que quererpasarlas horas.Es por
ello el momento y el lugar –privilegios de un mundo clásico– para agradecérselo explicitamente.
Como no, lo primero es agradecer a esos dos excelentes físicos que son mis directores de tesis,
Fernando Sols y Francisco Guinea. A Fernando lo conocí cuando estaba en tercero de carrera, y
desde entonces me hizo ver el atractivo de este mundo donde lo mucho se dice ser diferente. Por
él conocí también a Paco, en uno de esos veranos tórridos que nos toca pasar a los madrileños que
no emigramos. Fue en cuarto de carrera. Ambos se han tomado la molestia de enseñarme el arte de
la composición en Física, y de compartir conmigo sus ideas. Y sin ningún problema, me han dejado
tomar la batuta allá donde lo deseaba,lo cual meha ayudadoa mí,creoyo, a medrarcomo científico.
No puedo resumir mejor mi gratitud a ellos dos sino diciendo que, sin duda, y con esa panorámica
que sólo te ofrece el ver las cosas desde el final, esta es la tesis que quería escribir cuando empecé
hace más de cuatro años. Y cuan Pierre Menard de la Física, creo que de intentar escribir otra me
saldría la misma.
Pero no son los únicos que generosamente me dieron sus ideas para definir los temas principales
deestetrabajo.A Antonio H. CastroNeto,he deagradecerleademásqueme dieselos mejoresmeses
de esta tesis en cuanto a ambiente de investigación se refiere. El entusiasmo con el que se discutía
Física en su grupo de Boston University sentó un referentepara mí, y qué duda cabe de que él era el
principal responsable del mismo. Stefan Kehrein amablemente me acogió en su grupo de la Ludwig-
MaximiliamUniversität,enMunich,ygraciasaélnosólomeintrodujeenuncampodeinvestigación
fascinante, sino que también me ayudó a entender muchos conceptos que había dejado aparcadosen
los años anteriores de la tesis e incluso la carrera.
Hedemencionartambiénamisvarioscolaboradores.Todosjuntos, codoconcodo,nosesforzamos
en hacer que la obra sonase medianamente afinada. Quiero destacar a Laszlo Borda, que me recibió
hospitalariamente en Budapest en mi primera estancia en el extranjero, y con suma paciencia me
enseñó los fundamentos de una enrevesada técnica numérica. En Johan Nilsson tuve el placer de
encontrar a una persona con la que discutir los problemas a los que nos enfrentábamos de forma
sumamente divertida y siempre inteligente, gracias a su profundo entendimiento de la Física. Y
cómo no, dar las gracias a César, mi hermano mayor de tesis, que en mis primeros anõs de tesis
siempreestuvoahípararesponderacualquieradelasmuchaspreguntasquemesurgían.Finalmente,
agradecer a Simone Fratini las discusiones que surgieron durante su estancia aquí un par de años,
que supimos canalizar eficazmente en un artículo.
iiHasta aquí he mencionado a todos aquellos que directamente han impreso su huella de forma
explícita en este trabajo. Pero hay muchas otras personas que también han influido en el producto
final de variopintas maneras, y que por eso merecen un lugar en estos agradecimientos. Como no
quieroentrardemasiadoenloque esaspersonashansignificadoparamíenelplanopersonal,trataré
de limitarme, en lo posible, a aquellas cosas que creo que están más relacionadas con el contexto de
esta tesis.
A Carlos me gustaría darle las gracias por todas esas conversaciones sobre metafísica doctorantil
que si bien no están directamente incluídas en la tesis, de seguro que pueden leerse entre líneas. La
oportunidad de haber compartido con él la aventura de elaborar una tesis, así como el haber podido
forjar una amistad en este periodo de cuatro años, es una de esasescasas experienciasen la vida que,
cuando acaban, se es consciente de que ya no se espera encontrar algo mejor mirando hacia el futuro.
De Antonio quiero elogiar su infatigable creencia en mi capacidad para hacer Física. Creo que
podría decir sin duda que eso me motivó, día a día tras desayunar con él, a superarme a mí mismo
no sea que le decepcionase. En realidad era al revés, Antonio, y siempre fuiste tú del que los demás
teníamos mucho que aprender.
A Jose me gustaría gradecerle esa otra tesis no escrita sobre dinámica de atascos y transiciones de
fase en los bares de tapas. Quede ahí, si acaso, perdida junto al murmullo de las hojas que pueblan
la sierra madrileña.
A David le agradezco que después de tantos años de inagotable amistad todavía lo tuviese a mi
lado cuatro anõs más para mantener el despacho silencioso, lo que seguro aceleró la gestación de la
tesis. No cabe sino preguntarme si es aquí donde el destino tiene decidido que nuestros caminos se
separen, o todavía habremos de compartir alguna otra aventura juntos.
Especialmención me gustaría hacerlea Fernando (deJuan).Demis amigos, es posiblemente quien
más ha contribuído al contenido de estas páginas. De él aprendí lo importante que es tratar de
entender de verdad las cosas, y he tenido la suerte de tenerlo siempre cerca (ya sea espalda con
espalda en el despacho, en el remoto valle de la muerte o escalando el Aneto entre charla y charla)
para discutir cada minucia que se nos iba ocurriendo. Indudablemente, de todas esas conversaciones
saqué algo inteligente que a mí no se me había ocurrido.
Pero todavía hay más gente a la que agradecer. A Alberto, maestro del frikismo en todas sus
facetas, de cuya desbordante capacidad creativa en la Física hay tanto que aprender. A Elena, por
haber contribuido de forma inspiradora al arte de escribir una tesis. A Fiona le agradezco haberme
enseñado las sutilezas de la investigación con mayúsculas, la que se juega en las grandes ligas. A
Silvia el haberme procurado entretenimiento durante mi estancia en Boston, base de la estabilidad
intelectual de la que al fin y al cabo salieron dos papers... Y por supuesto, no olvido a Gladys y
Laura, inapreciables compañeras de merienda. A Fito darle las gracias por dejarme el buen sabor
de boca de que el entusiasmo del relevo generacional no parece que vaya a decaer. A Bea y Josemi
por aguantarme dos años de convivencia durante la tesis, con todos los vaivenes motivacionales que
eso conlleva. A Belen su incapacidad de perder la fe en la investigación, que es como la luz de un
faro en una tormenta. Y a Geli que siempre haya tratado con tanto tesón de mejorar el ambiente de
investigación allá donde esté.
El ritmo se acelera, el final ya se intuye cerca. Quiero dar las gracias a todos los que participaron
iiien los Seminarios de Formación: Rafa Roldán, Juan Salafranca, Rafa Sánchez, Samuel, César, Carlos,
David, Juan Luis, Alberto, Fernando, Elena, Antonio, Dani Figueroa, Fernando Domínguez, Virginia,
etc. Y cómo no, a tantos colegas del departamento de los que muchas cosas he podido aprender:
Ramón Aguado, Gloria Platero, Luis Brey, Leni Bascones, Sigmund Kohler, y Pilar López Sancho. Y
a mis antiguos compañeros de carrera, que siempre me han animado a explicarles lo que hago de
maneracomprensibleparaunfísicodeotrocampo:Ana,Paula,Emilio,JavierAbajo,AntonioBenayas,
Eva Gallardo, y en especial a Dani G. Figueroa, con el que queda pendiente un paper que mezcle
cosmología y materia condensada, y Juanjo López, lo mismo pero de fundamentos de Mecánica
Cuántica y, quien sabe, tal vez uno de política cuantitativa. En otro tercio distinto, le agradezco
a Guillermo López Santos que me tutelase la investigación para obtener el Diploma de Estudios
Avanzados.
Finalmente, pero ni mucho menos última en importancia, a Maria le agradezcoque me haya acom-
pañadodurantelosúltimoscompasesdeestapieza.Nosatisfechaconhaberledadounsentidoalfinal
delcamino, me ha ayudadoa revisarla obra entera,sin que eso sirva para evadirmi responsabilidad
de cualquier error que permanezca.
No es tan importante que la audiencia se estremezca.El que aplaude aquí soy yo. Gracias a todos.
ivContents
Abstract xiii
Listof acronyms xv
1 Low-dimensionalquantumsystems 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 General facts on low-dimensional quantum systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Arrays of cold atoms, engineering the quantum world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Optical lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Interactions between neutral atoms and the Feshbach resonance . . . . . . . . . 19
1.3.3 Atom chips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Graphene, the new king of the two-dimensional world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Experimental fabrication and characterization of graphene layers . . . . . . . . . 26
1.4.2 Electronic properties of graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.3 Structural properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I Interactions in arraysof ultracold atoms 37
2 Introduction:Scalingapproachesto interactingproblems 39
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Scaling, effectivelow energy theories and the renormalization group . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Low-energy effective theories and scaling perturbation theory . . . . . . . . . . 41
2.2.2 Scaling and the Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Numerical Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 An introduction to the NRG through the Spin-Boson model . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 NRG description of the SB phase transition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1 The general idea of the Flow Equation approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2 An application to the Spin-Boson model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Phasediagramof a quantumparticleina finitechain,inthepresenceof anenvironment 61
3.1 Introduction: Open Quantum Systems and the Caldeira-Leggettmodel . . . . . . . . . 61
3.2 The model: motivation and description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Variational approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
v

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