Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

Iteration acceleration for the Kohn-Sham
system of DFT for semiconductor devices
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker
Kurt Hoke
aus Berlin
Von der Fakult¨at II - Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universit¨at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
-Dr.rer.nat.-
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Peter Friz
Betreuer/Gutachter:Prof. Dr. Reinhold Schneider
¨Gutachter: Prof. Dr. Anton Arnold (Technische Universita¨t Wien, Osterreich)
Zus. Gutachter: Prof. Dr. Vidar Gudmundsson (University of Iceland, Island)
Tag der wissenschaftlichen Aussprache
2. Juli 2010
Berlin, August 2010
D 83Eidesstattliche Versicherung
Hiermit versichere ich an Eides statt, dass die vorliegende Dissertationsschrift mit dem
Titel Iteration acceleration for the Kohn-Sham system of DFT for semiconductor devices
von mir selbsta¨ndig und ohne Verwendung anderer als der angegebenen Hilfsmittel ange-
fertigtwurde. Fernerversichereich,dassalleStellen,dieimWortlautoderdemSinnnach
aus wissenschaftlichen Publikationen oder anderen Quellen entnommen sind, von mir als
solche kenntlich gemacht wurden.
Datum UnterschriftAbstract
In Density Functional Theory the main object of relevance is the systems particle density,
which, thanks to Hohenberg and Kohn [42], is known to uniquely determine the systems
ground-stateandallotherproperties. ItwasduetoKohnandSham[57]tobenefitfromthis
information, by introducing a single-particle formulation for describing the multi-particle
problem. For incorporating interaction effects, they included an exchange and correlation
term in the effective potential. The resulting Kohn-Sham system is a nonlinearly coupled
system of partial differential equations, that has to be solved self-consistently. In this
work we are mainly interested in the quantum mechanical description of semiconductor
heterostructures. Thus,wewilllookattheinvolvedSchro¨dingeroperatorin effective mass
approximation and have to deal with discontinuous coefficients and potentials.
For numerically treating the Kohn-Sham system, we will use the fixed point formulation
on basis of the particle density. A commonly used scheme for solving this problem is
the well-known linear mixing scheme, that corresponds to a damped Picard (or Banach)
iteration. However, this method is known to suffer from slow convergence and thus the
use of acceleration methods is advised. Using well-established acceleration schemes based
on the Newton-method, is possible, but the numerical costs for computing the needed
information about the Jacobian are quite big.
The aim of this work is the introduction of a fast and efficient acceleration method that
generalises the linear mixing scheme to higher dimensions. The basis of our approach will
bethedirect inversion in the iterative subspace (DIIS)methodfromquantumchemistry. In
Hartree-Fock and Coupled Cluster calculations DIIS is used to accelerate the calculation
of electron orbitals. However, a straight forward transfer to our problem is dangerous.
This is due to the extrapolation ability of the DIIS scheme, leading to negative mixing
coefficients. Appliedtoourdensityapproach,thismayresultinanegativedensity,meaning
an iterate lying outside of the solution space. Thus, when applying the DIIS scheme
to our problem, we have to ensure positivity of the produced density. We do this by
introducing further constraints on the coefficients, that ensure positivity of the computed
iterates. The resulting convex DIIS (CDIIS) scheme is then tested on exciton calculation
in a three-dimensional quantum dot example. The results show, that the CDIIS method
considerably accelerates the linear mixing approach, while in every step only a single
function evaluation is performed. Thus, the CDIIS scheme accelerates the calculation
while keeping the computational costs low and ensuring the quality of the iterates.Zusammenfassung
DiePartikeldichtespieltinderDichte-FunktionalTheorieeinewesentlicheRolleunddank
Hohenberg und Kohn [42] ist bekannt, dass diese eindeutig ist und das zugrundeliegende
System bereits vollst¨andig beschreibt. Mit dieser Grundlage, waren Kohn und Sham [57]
anschließend in der Lage, das schwierig zu l¨osende Vielteilchen-Problem durch eine ein-
fachere Einteilchen-Formulierung zu ersetzen. Wobei Wechselwirkungen durch Einfu¨gen
einesAustausch-KorrelationsTermsindaseffektivePotentialeingebundenwurden. Ergeb-
nisdarauswardasbekannteKohn-ShamSystem,daseinnichtlineargekoppeltespartielles
Differentialgleichungssystemdarstellt,welchesnuninselbst-konsistenterWeisegel¨ostwer-
den muss.
In dieser Arbeit steht die quantenmechanische Beschreibung von Halbleiterbauelementen
im Vordergrund, so dass wir den beteiligten Schr¨odinger Operator in der Effektivmassen-
Approximation betrachten und auf Grund der Heterostrukturen springende Koeffizienten
und Potentiale behandeln mu¨ssen.
GrundlagedernumerischenBehandlungisteineFixpunkt-FormulierungaufBasisderPar-
tikeldichte. Ein ga¨ngiges Verfahren zur Lo¨sung dieses Problems ist das linear mixing Ver-
fahren, welches einer geda¨mpften Picard oder Banach Iteration entspricht. Die schlechten
Konvergenzeigenschaften von D¨ampfungsverfahren, fu¨hrt dann zu der Notwendigkeit Be-
schleunigungsverfahreneinzusetzen. EtablierteVerfahrenaufBasiseinesNewton-Verfahrens
ko¨nnen hier Abhilfe schaffen, allerdings ist der numerische Aufwand zur Berechnung von
Informationen u¨ber den Jacobian immens.
ZieldieserArbeitistes,eineffizientesBeschleunigungsverfahrenzuentwickeln,welcheseine
hochdimensionale Verallgemeinerung des linear mixing Verfahrens darstellt. Ansatzpunkt
dafu¨r ist das direct inversion in the iterative subspace (DIIS) Verfahren aus der Quan-
¨tenchemie. Allerdings birgt ein direkter Ubertrag dieses Verfahrens auf unser Problem
deutliche Gefahren. Grund dafu¨r ist die Extrapolationseigenschaft des DIIS Verfahrens,
welche negative Koeffizienten erzeugt. Angewandt auf unser Problem bedeutet dies, dass
die zusammengesetzte Dichte m¨oglicherweise negativ ist und somit bereits außerhalb des
Lo¨sungsraums liegt. Daher muss sichergestellt sein, dass bei Anwendung des DIIS Ver-
fahrens nur positive Dichten erzeugt werden. Dies wird durch das Einfu¨hren zusa¨tzlicher
Bedingungen an die Koeffizienten erreicht, die die Positivit¨at der Dichte garantieren.
Das resultierende Verfahren wird als convex DIIS bezeichnet. Als Testbeispiel wird die
ExzitonenlokalisationineinemdreidimensionalgerechnetenQuantenpunktverwendet. Die
Ergebnisse zeigen, dass das CDIIS Verfahren eine wesentliche Beschleunigung gegenu¨ber
dem einfachen linear mixing Verfahren bedeutet und zudem lediglich eine einzige Funk-
tionsauswertung pro Schritt erforderlich ist. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass
CDIIS die Fixpunktrechnung beschleunigt, aber gleichzeitig die Kosten pro Schritt gering
ha¨lt und zudem die Qualit¨at der berechneten Dichten garantiert.Vorwort
IndieserDissertationsinddieErgebnissemeinerArbeitinderForschungsgruppe Partielle
Differentialgleichungen am Weierstraß-Institut fur¨ angewandte Analysis und Stochastik
(WIAS)inBerlinzusammengefasst. DieResultatesinddabeiimRahmenmeinerTa¨tigkeit
im Projekt D4 quantum mechanical and macroscopic models for optoelectronic devices des
DFG-Forschungszentrums MATHEON entstanden. DieimanalytischenTeilzusammenge-
tragenen Aussagen enthalten Resultate zweier gemeinsamer Vero¨ffentlichungen ([15, 43]),
die u.a. mit Kollegen der Forschungsgruppe entstanden sind. Insbesondere mit Dr.
Hans-Christoph Kaiser und Dr. Joachim Rehberg. Grundlage des im Rahmen meiner
Ta¨tigkeit entstandenen Programms zur L¨osung des Kohn-Sham Systems in bis zu drei
Raum-Dimensionen war die Toolbox p∂elib2, welche am WIAS entwickelt wurde. Alle
numerischen Ergebnisse beziehen sich auf damit durchgefu¨hrte Rechnungen.
Danksagung: An erster Stelle m¨ochte ich mich sehr herzlich bei Prof. Dr. Rein-
hold Schneider bedanken, der bereitwillig als Betreuer dieser Arbeit eingetreten ist und
der mich mit dem DIIS Verfahren bekannt gemacht hat. Bei den Herren Prof. Dr. Anton
ArnoldundProf. Dr. VidarGudmundssonmo¨chteichmichdafur¨ bedanken,dasssieohne
Zo¨gern bereit waren, Gutachten fu¨r diese Arbeit zu erstellen.
Dr. Hans-ChristophKaiserundDr. JoachimRehbergstandenmirimRahmendesgemein-
samenProjektesD4undauchdaru¨berhinausstetsmitvielRatzurSeite, wofu¨richihnen
sehrdankenmo¨chte. Dankenmo¨chteichzudemDr. HagenNeidhardt,Dr. PaulRacecund
Dr. ThomasKoprucki,diemeinemVersta¨ndnisszugrundeliegenderphysikalischerProzesse
durch zahlreiche Gespr¨ache und Diskussionen auf die Spru¨nge halfen. Vielen Dank auch
allenKollegendesWIASundhierinsbesonderederForschungsgruppe1fu¨rdieimmeran-
genehmeundfreundlicheAtmospha¨reamInstitut. EswareineFreudeindenletztenJahren
ineinersohilfsbereitenundinspirierendenUmgebungzuarbeiten. VielenherzlichenDank.
Besondersbedankenmo¨chteichmichbeimeinerMutterEleonoreHoke,diemirimmerdie
FreiheitließmichzuentwickelnundmeinenWegzufinden. Sieunterstu¨tztestetsallmeine
Ziele;seiesderBesuchdesGymnasiums,dieAufnahmedesStudiumsoderdieangestrebte
Promotion. Mein besonderer Dank schließlich gilt meiner Freundin Anja Gursinsky, die
mirwa¨hrendderletztenJahrezurSeitestandundmichimmernachKr¨aftenunterstu¨tzte.
Ich danke ihr fu¨r ihre tiefe Liebe und die immense Gedult. Vielen lieben Dank dafu¨r.
Berlin, im April 2010 Kurt Hoke

Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin