Le morphisme déterminant pour les espaces de modules de groupes p-divisibles, The determinant morphism for the moduli spaces of p-divisible groups

Miaofen Chen

Description

Sous la direction de Laurent Fargues
Thèse soutenue le 11 mai 2011: Paris 11
Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate.
-Composante connexe géométrique
-Espace analytique rigide
-Espace de Rapoport-Zink
-Groupe p-divisible
-Morphisme déterminant
Let \M be a moduli space of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Assume that \M is unramified of EL or PEL type which is unitary or symplectic. Let \Mrig be the generic fiber of Berthelot of \M. This is a rigid analytic space over which there exist a tower of finite etale coverings (\M_K)_K classifing the level structures. We define a determinant morphism \det_K from the tower (\M_K)_K to a tower of rigid analytic spaces of dimension 0 associated to the cocenter of the reductive group related to the space \M. This is a local analogue on the nonarchimedean places of the determinant morphism for Shimura varieties defined by Deligne. As for Shimura varieties, we prove that the geometric fibers of the determinant morphism \det_K are the geometrically connected components of \M_K. We define also the exterior power morphisms which generalize the determinant morphism on the tower of rigid analytic spaces associated to a Lubin-Tate space.
-Determinant morphism
-Geometrically connected component
-P-divisible group
-Rapoport-Zink space
-Rigid analytic space
Source: http://www.theses.fr/2011PA112058/document

Informations

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Extrait

oN d’ordre : 10207
UNIVERSITÉ PARIS-SUD
FACULTÉ DES SCIENCES D’ORSAY
THÈSE
Présentée pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITÉ PARIS XI
Spécialité : Mathématiques
par
Miaofen CHEN
Le morphisme déterminant
pour les espaces de modules de groupes p-divisibles
Soutenue le 11 mai 2011 devant la commission d’examen :
M. Christophe BREUIL Examinateur
M. Jean-François DAT
M. Laurent FARGUES Directeur de thèse
M. Alain GENESTIER Rapporteur
Mme. Eva VIEHMANN Examinatrice
M. Jean-Pierre WINTENBERGER Président
Rapporteur non présent à la soutenance :
M. Matthias STRAUCH
tel-00594110, version 1 - 18 May 2011Le morphisme déterminant pour les espaces de modules de groupes p-divisibles
˘Résumé. SoitM un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink.
˘Supposons que cet espaceM soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit
rig˘ ˘M la fibre générique de Berthelot deM. C’est un espace rigide analytique au-dessus duquel il
˘existe une tour de revêtements étales finis (M ) qui classifient les structures de niveau. On définitK K
˘un morphisme déterminant det de la tour (M ) vers une tour d’espaces rigides analytiquesK K K
étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C’est un analogue
local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura
défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques
˘du morphisme déterminant det sont les composantes connexes géométriques deM . On définitK K
aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour
d’espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate.
Motsclefs: composanteconnexegéométrique,espaceanalytiquerigide,espacedeRapoport-Zink,
groupe p-divisible, morphisme déterminant
The determinant morphism for the moduli spaces of p-divisible groups
˘Abstract. LetM be a moduli space of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink.
rig˘ ˘Assume thatM is unramified of EL or PEL type which is unitary or symplectic. LetM be the
˘generic fiber of Berthelot ofM. This is a rigid analytic space over which there exist a tower of finite
˘etale coverings (M ) classifing the level structures. We define a determinant morphism det fromK K K
˘the tower (M ) to a tower of rigid analytic spaces of dimension 0 associated to the cocenter ofK K
˘the reductive group related to the spaceM. This is a local analogue on the nonarchimedean places
of the determinant morphism for Shimura varieties defined by Deligne. As for Shimura varieties, we
prove that the geometric fibers of the determinant morphism det are the geometrically connectedK
˘components ofM . We define also the exterior power morphisms which generalize the determinantK
morphism on the tower of rigid analytic spaces associated to a Lubin-Tate space.
Keywords: determinantmorphism,geometricallyconnectedcomponent,p-divisiblegroup,Rapoport-
Zink space, rigid analytic space
tel-00594110, version 1 - 18 May 2011Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse, Laurent Fargues, sans qui cette thèse
n’aurait jamais vu le jour. C’est lui qui m’a proposé ce sujet de thèse si intéressant. C’est lui qui,
avec beaucoup de patience, m’a aidée à entrer dans ce domaine tout en me laissant une grande
liberté. C’est lui qui m’a partagé ses connaissances, ses idées avec générosité. C’est lui qui a répondu
à toutes mes questions et qui a corrigé mes nombreuses erreurs. C’est lui aussi qui a soigneusement
lu la première version -bien mal présentée- de ma thèse et qui l’a beaucoup corrigée afin de la rendre
plus agréable à lire. C’est lui enfin qui m’a appris comment donner un exposé. Il a toujours été là
pour m’aider. C’est ce qui m’a donné cette confiance qui m’a permis de continuer chaque fois j’ai
senti ma faiblesse. Lorsque j’ai pris la décision d’aller en France pour poursuivre mes études il y
a six ans, je ne savais pas que j’entrerais dans un domaine si dur pour moi. J’avoue avoir regretté
quelquefois cette décision. Mais aujourd’hui, je me suis rendu compte que j’ai rencontré le meilleur
directeur de thèse que je pouvais espérer et je comprends la chance que j’ai eue de pouvoir travailler
avec lui durant toutes ces années.
Je remercie sincèrement Alain Genestier et Matthias Strauch d’avoir accepté la tâche de rappor-
ter cette thèse. Je remercie également Christophe Breuil, Jean-François Dat, Alain Genestier, Eva
Viehmann, Jean-Pierre Wintenberger d’avoir accepté de participer au jury de ma soutenance.
Je voudrais remercier aussi Alain Genestier, Matthias Strauch, Eva Viehmann pour leurs re-
marques sur la version précédente de cette thèse, et pour avoir si aimablement répondu à mes
questions. Alain Genestier m’a signalé une lacune dans la démonstration de la surjectivité de la
monondromie géométrique. Eva Viehmann m’a signalé l’absence d’une hypothèse pour la conjecture.
Mes remerciement vont également à Linsheng Yin, mon directeur de master à l’université Tsing-
hua. C’était lui qui, dès le début, m’a beaucoup encouragé à me mettre dans la route de recherche
mathématique.
C’est une coopération entre l’université Paris-Sud XI et l’université Tsinghua qui m’a donné l’oc-
casion de venir en France et de poursuivre mes études à l’université Paris-Sud XI dans un laboratoire
de très haut niveau. Je voudrais remercier tous les gens qui y ont participé, surtout Pierre Colmez,
Keqin Feng, Jean-Marc Fontaine, David Harari, Luc Illusie, Michel Raynaud, Zhiying Wen...
Je suis très reconnaissante à Jean-Marc Fontaine et Luc Illusie, Xiaonan Ma qui m’ont beaucoup
aidé après mon arrivée en France. Je profite aussi d’un groupe de travail organisé par Luc Illusie
et Alexis Bouthier sur le sujet “ introduction aux théorèmes de comparaison p-adiques”. Avec Luc
Illusie j’ai appris beaucoup de choses en préparant mon exposé de ce groupe de travail.
Mes plus chaleureux remerciements s’adressent à tous les membres du laboratoire de mathéma-
tiques de l’université Paris-Sud XI, surtout tous les professeurs qui m’ont enseigné ainsi que ceux qui
m’ont donnée beaucoup d’aide durant toutes ces années, dont David Harari, Valérie Lavigne, Pierre
Pansu, Marie-Christine Myoupo...
Je voudrais remercier tous mes collègues, surtout Nalini Anantharaman, Bruno Vallet et Pascal
Auscher et les autres avec qui j’ai enseigné.
Je voudrais remercier Jilong Tong. Il m’a beaucoup aidée depuis mes années universitaires en
chine. Durant toutes ces années, il a gentiment répondu à toutes mes questions de géometrique
algébrique. Je garde un très bon souvenir de la vie que nous avons passée ensemble en tant que
colocataires aux Baconnets. Je voudrais aussi remercier Yongquan Hu avec qui je suis partie pour la
France. C’est lui qui a rendu ma première année en France moins difficile.
Je voudrais remercier Richard Aoun. Il n’a jamais hesité à m’encourager et m’a appris le francais
quand j’étais encore bien timide, parlant un piètre francais et cherchant autant que possible à éviter
lesrencontresaubureau.JevoudraisremercierNicolasdeSaxcé,mercipourlaculturefrancaisequ’il
m’a partagée, les Fables de La Fontaine qu’il m’a racontées et les petits exercices mathématiques que
nous avons faits ensemble. Un grand merci aussi à Hatem Hajri, Ramla Abdellatif, Shweta Sharma
pour l’amitié qu’ils m’ont partagée.
Jevoudraisremercieraussimesamischinoisquim’ontaccompagnéetoutescesannéesàl’étranger,
surtout les amis qui m’ont accompagnée les premières années en France : Ke Chen, Yongquan Hu,
Zhi Jiang, Xiangyu Liang, Tong Liu, Peng Shan, Yichao Tian, Jilong Tong, Shanwen Wang, Weizhe
Zheng, ainsi que les amis moins âgés : Li Chen, Zongbin Chen, Yong Hu, Yongqi Liang, Xu Shen,
iii
tel-00594110, version 1 - 18 May 2011iv
Shenghao Sun, Zhe Sun, Shun Tang, Chunhui Wang, Haoran Wang, Han Wu, Hao Wu, Wenqing
Xu...
J’exprime toute ma gratitude du fond du cœur à mes parents pour leur soutiens constants et
leur soins des plus attentifs. Enfin, je voudrais adresser à mon époux, Guodong Zhou, mes sincères
remerciementspoursonencouragement,sacompréhension,sapatienceetsonaide,poursescentaines
de heures passées dans les trains entre Paris et Cologne, Paderborn, Bielefeld, Lausanne. Le fait de
l’avoir rencontré, en France, est la meilleure chose que j’ai vécue.
tel-00594110, version 1 - 18 May 2011Table des matières
1 Un théorème de comparaison pour les groupes p-divisibles 11
1.1 Rappels sur les anneaux de périodes de Fontaine . .