Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes

Edouard Goursat

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• Differential equation

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Extrait

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LEÇOWS SUR l'INTÉGRATiON
DES
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
DU SECOND ORDRElECONS
SUR L INI ÉGRATION
ÉQUATIONSDES
DÉIUVIŒS PARTIKLUISAUX
DU SRCOM) ORDRE
DKUX VARIABLES INDÉPENDANTESA
PAR
E. GOURSAT,
C.OÎiFEBt.VtS .\ L EOOI.E 5»»IIMAI.E l-.IEl UKVAITKE m. *LFi
IITOME
— — I.NTKtiKALKsHHOULKME â)E CAUCHY, CABACTÉUISTKJL'Ei. l.SrKUMKIMAlHKS
,tJ^.PRÉFACE
Louvrage publie aujourd'hui ladont je première partie forme
une suite ualujelle dts Leçons sur rintét/raCior) des équalions
aux dérivées /lartitllea du premier ordre, qui ont ilparu ay
quelques années. Ce lapremier volume coTitienl Lhéori*^ des carac-
léristiques, l'exposition détaillée des Tnéthodes d'intégration de
Kfonge et d'Ampère, et la recherche des intégrales intermé-
diaires, pour des équations de forme quelconque. La seconde
partie, qui paraîtra bientôt, je l'espère, reolermera la transfor-
mation de Laplace, la méthode de M. Darljoux et Vinlégration
par quadratures partielles.
La théorie des équalions aux dérivées partielles forme un sujet
jede recherches si étendu, que crois devoir indiquer en quelques
mots dans quel esprit cet ouvrage est conçu. A la recherche, le
plus souvent impraticable, de l'intégrale géTiérale d'une équation
s'est substituéeaux dérivées parli^'lleSj peu à peu. principale-
menl sous l'intluence des travaux de Fourier. de Ca uchy, de Hi-
mann et de leurs disciples, Tétude des propriétés des inté^ales
tiensparticulières, satisfaisant à des condi aux 11mites données, etrnÉFACF.VI
ces inlégralcs. On pourniil évidé-mment varier krecherche dela
conditions aux limites; mais la pl-uparl d*'S }ii<»blf»meslesl'infini
jusqu'ici se rameneiil à deux t\pes dislinc(i>.on a traités(lue I
gémirai, déte^min^''e. comme l'a nionlré Cauintégrale est. enVme
courbe située sur cette surface intégraleon se donne unechy, si
point de cette courhe. pourvu qu'ontauj^enl en clia«|uoet le plan
représentée par un développementcette iutéjrrale ensuppose
c'est la reciierche de celle intégrale particulière qui.série culiève;
1).Pmblt'me de Caucliff. On peut aussi, en se .ruant auxconstitue le
définir une inirgralu par la suilc continue desvariables réelles,
long d'un contour fermé, celle intégralevaleurs qu'elle prend le
coTilinue. ainsi que ses dénTées, à l'iaté-devant, en oulie, rester
le célèure Problème de iJirichlet pourrieur du contour. Tel est
on sait (pic de.s travaux récents, parmiéquation dei-apluce;1
Picard, ont de leje dois cjter ceux de Nf. permis traiterlesquels
beauccmpproblème pour des équations plus générales.même
exclusivement dans ce premier volume du problèmeJe m'occupe
je ne coubidere. par- conséquent, que des soluli(msde Cauchv et
analytiques.
problème pour les équations linéaires enL'étude de ce
ri— s* conduit immédiatemcnl à une notion fondamen-r, L4,
multiplicités caractérisliquos, qî."i esl la Lase mêmetale, celle de.s
et d'Ampère. Lorsque les équations desdes travaux de Plonge
des admettent deux combinai-curax:téristiqiie> de l'un systèmes
méthode de Monge ramené lu solution du pro-sons intégrabies. la
linlégration d'un système d'équations ditl'é-blème de Ouchy à
méthode d'Ampère est plus élastique,reulielles ordinaires. La
que celle de Monge(juûiqu elle conduise aux mêmes calculs