Séances 2 3 4 étude bivariée 07-08

Bernard Barthelemy

Description

Etude bivariée Analyse de la dépendance (séances 2 à 4) 1 Tableaux : tri-croisé 1.1 Marginales (tri-à-plat) 1.2 Conditionnelles 1.3 Indépendance 1.4 Remarque sur les moments 2 La dépendance statistique entre deux variables 2.1 Mesure de l’écart à l’indépendance 22.2 Le coefficient du χ 3 Cas particulier : var. quantitative (Y) et var. qualitative (X) 3.1 Moyennes marginales et conditionnelles (Y|X) 3.2 Variances marginales et conditionnelles (Y|X) 3.3 Décomposition de la variance de Y 3.4 Concept de corrélation 23.5 Mesure de la dépendance η 4 Cas particulier : deux variables quantitatives 4.1 Courbe de régression 4.2 Droite de régression 4.3 Mesure de la corrélation linéaire PLAN du polycopié Exercices : …………………………………………………………………………………….……….…………. p. 2 Cas « vendeur n°1 » : inertie maximale …………………………………………………….……….…………. p. 4 Cas « vendeur n°2 » : inertie maxima……………………………………………….………….. p. 5 Cas « auto école » : dépendance, corrélation …………………………………………………………………... p. 6 Cas « assurance » : dépendance, corrélation, corrélation linéaire, DR, CR ..……………….……………….… p. 8 Cas « étudiant » : tableaux………………….…..…….………………………………….………………….….. p. 14 Exercice 1 : On voudrait savoir si le type d’auto-école (A, B, C, D ou E) a une influence sur le nombre d’accidents la première année de conduite. Pour cela, on observe les résultats pour 100 personnes : Tableau en effectif ...

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Etude bivariée

Analyse de la dépendance (séances 2 à 4)

1

Tableaux : tri-croisé

1.1 Marginales (tri-à-plat)

1.2 Conditionnelles

1.3 Indépendance

1.4 Remarque sur les moments

2

La dépendance statistique entre deux variables

2.1 Mesure de l’écart à l’indépendance

2.2 Le coefficient du

χ

2

3

Cas particulier : var. quantitative (Y) et var. qualitative (X)

3.1 Moyennes marginales et conditionnelles (Y|X)

3.2 Variances marginales et conditionnelles (Y|X)

3.3 Décomposition de la variance de Y

3.4 Concept de corrélation

3.5 Mesure de la dépendance

η

2

4

Cas particulier : deux variables quantitatives

4.1 Courbe de régression

4.2 Droite de régression

4.3 Mesure de la corrélation linéaire

PLAN du polycopié

Exercices

: …………………………………………………………………………………….……….………….

p. 2

Cas « vendeur n°1 »

: inertie maximale …………………………………………………….……….………….

p. 4

Cas « vendeur n°2 »

: inertie maximale …………………………………………………………….…………..

p. 5

Cas « auto école »

: dépendance, corrélation …………………………………………………………………...

p. 6

Cas « assurance »

: dépendance, corrélation, corrélation linéaire, DR, CR ..……………….……………….…

p. 8

Cas « étudiant »

: tableaux………………….…..…….………………………………….………………….…..

p. 14

2

Exercice 1 :

On voudrait savoir si le type d’auto-école (A, B, C, D ou E) a une influence sur le nombre

d’accidents la première année de conduite. Pour cela, on observe les résultats pour 100 personnes :

Tableau en effectif

Nombre d'accidents

Auto-école

0

1

2

3

4

A

2

6

4

2

1

15

B

5

10

8

1

1

25

C

10

15

4

1

0

30

D

5

3

5

7

0

20

E

1

2

4

2

1

10

23

36

25

13

3

100

Dépendance :

1. Calculer le tri-à-plat en effectif et en fréquence du

nombre d’accidents

. Quelle est la

‘probabilité’ (proportion) qu’une personne prise au hasard parmi les 100 ait eu 1 seul

accident ?

2. Donner le tri-à-plat en effectif et en fréquence du

nombre d’accidents

sachant que la

personne sort de l’

auto-école

A. De même pour B, C, D et E.

3. Comment s’appelle le tableau de l’ensemble des tris-à-plat en fréquence calculés à la

question précédente ?

4. Calculer le tri-à-plat de la variable

auto-école

. Quelle est la ‘probabilité’ (proportion) qu’une

personne prise au hasard parmi les 100 provienne de l’auto-école A ?

5. Calculer le tri-à-plat en effectif et en fréquence de l’

auto-école

sachant que le

nombre

d’accidents

est 0. De même si le

nombre d’accidents

est 1, 2, 3 ou 4.

6. Comment s’appelle le tableau de l’ensemble des tris-à-plat en fréquence calculés à la

question précédente ?

7. Les variables sont-elles dépendantes ? Justifier et donner une mesure de cette dépendance.

8. Quelle est la case du tableau croisé

auto-école / nombre d’accidents

qui contribue le plus au

khi2 ?

Corrélation

:

Moyennes

9. Calculer la moyenne du

nombre d’accidents

(sur les 100 personnes).

10. Calculer la moyenne du

nombre d’accidents

sachant que la personne sort de l’

auto-école

A (sur 15 personnes).

11. Calculer la moyenne du

nombre d’accidents

sachant que la personne sort de l’

auto-école

B (sur 25 personnes).

12. De même pour C, D et E (30, 20 et 10 personnes respectivement).

13. Représenter sous forme de tableau à 4 colonnes les valeurs des questions 10, 11 et 12 :

- colonne 1 : le type d’auto-école

- colonne 2 : le nombre de personnes de l’auto-école

- colonne 3 : le poids relatif de l’auto-école

- colonne 4 : la moyenne du

nombre d’accidents

de l’auto-école

14. Calculer la moyenne des moyennes du

nombre d’accidents

calculées pour chaque

auto-école

(se servir de la question précédente ; utiliser le poids relatif de l’auto-école).

3

Variance des moyennes

15. Représenter sous forme de tableau à 4 colonnes :

- colonne 1 : le type d’auto-école

- colonne 2 : le nombre de personnes de l’auto-école

- colonne 3 : le poids relatif de l’auto-école

- colonne 4 : les écarts à la moyenne

du nombre d’accidents

de l’auto-école

par rapport à la moyenne

du nombre d’accidents

global

16. Calculer la variance des moyennes du

nombre d’accidents

calculées pour chaque

auto-école

(se servir de la question précédente ; utiliser le poids relatif de l’auto-école).

Variances

17. Calculer la variance du

nombre d’accidents

(calcul sur les 100 personnes).

18. Calculer la variance du

nombre d’accidents

sachant que la personne sort de l’

auto-école

A

(calcul sur 15 personnes).

19. Calculer la variance du

nombre d’accidents

sachant que la personne sort de l’

auto-école

B

(calcul sur 25 personnes).

20. De même pour C, D et E (calcul avec 30, 20 et 10 personnes respectivement).

21. Représenter sous forme de tableau à 4 colonnes les valeurs des questions 10, 11 et 12 :

- colonne 1 : le type d’auto-école

- colonne 2 : le poids relatif de l’auto-école

- colonne 3 : la variance du

nombre d’accidents

pour chaque auto-école

Moyenne des Variances

22.

Calculer la moyenne des variances du

nombre d’accidents

calculées pour chaque

auto-école

(se servir de la question précédente utiliser le poids relatif de l’auto-école). Est-elle égale à

la variance du

nombre d’accidents ?

Rapport de corrélation

23. Calculer le rapport de corrélation du

nombre d’accidents

sachant l’

auto-école.

Interpréter.

Peut-on dire que les variables sont dépendantes ? Corrélées linéairement ?

Exercice 2 : cas « étudiants » (voir données en fin de polyccopié)

1) Représenter le nuage de points. Commenter.

2) Les variables sont-elles dépendantes ?

3) Peut-on mesurer la dépendance entre ces variables ?

4) Calculer les moyennes conditionnelles de

math

sachant

physique

. Représenter la CR

correspondante. Commenter la dispersion du nuage autour de la CR.

5) Calculer les moyennes conditionnelles du

physique

sachant

math

. Représenter la CR

correspondante. Commenter la dispersion du nuage autour de la CR.

6) Calculer la corrélation de

physique

sachant

math

. La corrélation de

math

sachant

physique

vaut-elle la même valeur ? Justifier puis calculer la. Commenter en termes de CR et de

nuage de points.

7) Calculer la covariance. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de

physique

sachant

math

. La corrélation linéaire de

math

sachant

physique

vaut-elle la même valeur ? Justifier

puis donner la.

8) Calculer et représenter les droites de régression. Commenter.

9) Construire le tableau centré réduit.

10) Reprendre l’exercice avec les variables :

math

/

français

et

gym

/

histg

.

4

Cas « vendeur n°1»

(tableau avec inertie maximale)

Tableau en

X \ Y

A

B

C

D

E

Vendeur 1

30

0

0

0

10

40

Vendeur 2

0

20

0

0

0

20

Vendeur 3

0

0

0

30

0

30

Vendeur 4

0

0

10

0

0

10

30

20

10

30

10

100

Tableau en fréquence

X \ Y

A

B

C

D

E

Vendeur 1

0,3

0

0

0

0,1

0,4

Vendeur 2

0

0,2

0

0

0

0,2

Vendeur 3

0

0

0

0,3

0

0,3

Vendeur 4

0

0

0,1

0

0

0,1

0,3

0,2

0,1

0,3

0,1

1

Tableau dans le cas

d'indépendance

X \ Y

A

B

C

D

E

Vendeur 1

0,12

0,08

0,04

0,12

0,04

0,4

Vendeur 2

0,06

0,04

0,02

0,06

0,02

0,2

Vendeur 3

0,09

0,06

0,03

0,09

0,03

0,3

Vendeur 4

0,03

0,02

0,01

0,03

0,01

0,1

0,3

0,2

0,1

0,3

0,1

1

Ecart entre les

X \ Y

A

B

C

D

E

Vendeur 1

0,27

0,08

0,04

0,12

0,09

Vendeur 2

0,06

0,64

0,02

0,06

0,02

Vendeur 3

0,09

0,06

0,03

0,49

0,03

Vendeur 4

0,03

0,02

0,81

0,03

0,01

L’inertie vaut : 3

Le

χ

2

vaut : 300

Le

χ

2

max

: 300

L’indicateur de dépendance

χ

χ

/

2

max

2

: 1

5

Cas « vendeur n°2»

(tableau avec inertie maximale)

Tableau en

X \ Y

A

B

C

Vendeur 1

20

0

0

20

Vendeur 2

0

10

0

10

Vendeur 3

0

0

40

40

Vendeur 4

0

30

0

30

20

40

40

100

Tableau en fréquence

X \ Y

A

B

C

Vendeur 1

0,2

0

0

0,2

Vendeur 2

0

0,1

0

0,1

Vendeur 3

0

0

0,4

0,4

Vendeur 4

0

0,3

0

0,3

0,2

0,4

0,4

1

Tableau dans le cas d'indépendance

X \ Y

A

B

C

Vendeur 1

0,04

0,08

0,08

0,2

Vendeur 2

0,02

0,04

0,04

0,1

Vendeur 3

0,08

0,16

0,16

0,4

Vendeur 4

0,06

0,12

0,12

0,3

0,2

0,4

0,4

1

Ecart entre les fréquences

X \ Y

A

B

C

Vendeur 1

0,64

0,08

0,08

Vendeur 2

0,02

0,09

0,04

Vendeur 3

0,08

0,16

0,36

Vendeur 4

0,06

0,27

0,12

Contribution au

X \ Y

A

B

C

Vendeur 1

32%

4%

4%

Vendeur 2

1%

5%

2%

Vendeur 3

4%

8%

18%

Vendeur 4

3%

14%

6%

L’inertie vaut : 2

Le

χ

2

vaut : 200

Le

χ

2

max

: 200

L’indicateur de dépendance

χ

χ

/

2

max

2

: 1

6

Cas « auto-école»

Tableau en effectif

nombre d'accidents

Auto-école

0

1

2

3

4

A

2

6

4

2

1

15

B

5

10

8

1

1

25

C

10

15

4

1

0

30

D

5

3

5

7

0

20

E

1

2

4

2

1

10

23

36

25

13

3

100

Tableau en fréquence

Auto-école

0

1

2

3

4

A

0,02

0,06

0,04

0,02

0,01

0,15

B

0,05

0,10

0,08

0,01

0,01

0,25

C

0,10

0,15

0,04

0,01

0,00

0,30

D

0,05

0,03

0,05

0,07

0,00

0,20

E

0,01

0,02

0,04

0,02

0,01

0,10

0,23

0,36

0,25

0,13

0,03

1

Profil ligne

Auto-école

0

1

2

3

4

A

0,1333

0,4000

0,2667

0,1333

0,0667

B

0,2000

0,4000

0,3200

0,0400

0,0400

C

0,3333

0,5000

0,1333

0,0333

0,0000

D

0,2500

0,1500

0,2500

0,3500

0,0000

E

0,1000

0,2000

0,4000

0,2000

0,1000

Profil colonne

Auto-école

0

1

2

3

4

A

0,08696

0,16667

0,16

0,1538

0,33333

B

0,21739

0,27778

0,32

0,0769

0,33333

C

0,43478

0,41667

0,16

0,0769

0

D

0,21739

0,08333

0,2

0,5385

0

E

0,04348

0,05556

0,16

0,1538

0,33333

Tableau dans le cas d'indépendance en fréquence

Auto-école

0

1

2

3

4

A

0,0345

0,054

0,0375

0,0195

0,0045

B

0,0575

0,09

0,0625

0,0325

0,0075

C

0,069

0,108

0,075

0,039

0,009

D

0,046

0,072

0,05

0,026

0,006

E

0,023

0,036

0,025

0,013

0,003

Tableau dans le cas d'indépendance en effectif

Auto-école

0

1

2

3

4

A

3

5

4

2

0

B

6

9

6

3

1

C

7

11

8

4

1

D

5

7

5

3

1

E

2

4

2

1

0

7

Calcul de l’inertie

Auto-école

0

1

2

3

4

A

0,00609

0,00067

0,00017

1E-05

0,00672

B

0,00098

0,00111

0,0049

0,0156

0,00083

C

0,01393

0,01633

0,01633

0,0216

0,009

D

0,00035

0,0245

3,5E-32

0,0745

0,006

E

0,00735

0,00711

0,009

0,0038

0,01633

Contribution au khi deux

Auto-école

0

1

2

3

4

A

2,32%

0,25%

0,06%

0,00%

2,56%

B

0,37%

0,42%

1,86%

5,92%

0,32%

C

5,29%

6,21%

6,21%

8,20%

3,42%

D

0,13%

9,31%

0,00%

28,30%

2,28%

E

2,79%

2,70%

3,42%

1,43%

6,21%

L’inertie vaut : 0.2631

Le

χ

2

vaut : 26,31

Le

χ

2

max

: 400

L’indicateur de dépendance

χ

χ

/

2

max

2

: 0.2564

Moments de Y

Moyenne

1,37

Variance

1,1331

Moments

modalités

m(y|x)

var(y|x)

conditionnels

de X

de Y

A

1,60

1,173

B

1,32

0,938

C

0,87

0,582

D

1,70

1,410

E

2,00

1,200

Décomposition de la variance de Y en fonction de X (12,88%)

v(m(y|x)) + m(v(y|x))

= v(y)

0,1460

0,9871

1,1331

8

Cas « assurance »

Tableau en effectif

âge du

Nombre d'accidents

conducteur

0

1

2

3

4

22

0

0

2

6

7

30

6

15

8

1

0

38

13

8

4

0

0

46

1

2

11

1

0

54

0

0

5

7

3

20

25

30

15

10

Tableau en fréquence

âge du

Nombre d'accidents

conducteur

0

1

2

3

4

22

0

0

0,02

0,06

0,07

30

0,06

0,15

0,08

0,01

0

38

0,13

0,08

0,04

0

0

46

0,01

0,02

0,11

0,01

0

54

0

0

0,05

0,07

0,03

0,2

0,3

0,3

0,2

0,1

Profil ligne : lois conditionnelles accidents | âge

âge du

Nombre d'accidents

conducteur

0

1

2

3

4

22

0

0

0,13

0,40

0,47

30

0,20

0,50

0,27

0,03

0

38

0,52

0,32

0,16

0

0

46

0,07

0,13

0,73

0,07

0

54

0

0

0,33

0,47

0,20

Profil colonne : lois conditionnelles âge | accidents

âge du

Nombre d'accidents

conducteur

0

1

2

3

4

22

0

0

0,07

0,40

0,70

30

0,30

0,60

0,27

0,07

0

38

0,65

0,32

0,13

0

0

46

0,05

0,08

0,37

0,07

0

54

0

0

0,17

0,47

0,30

Tableau dans le cas d'indépendance en fréquence

âge du

Nombre d'accidents

conducteur

0

1

2

3

4

22

0,03

0,0375 0,045

0,0225

0,015

30

0,06

0,075

0,09

0,045

0,03

38

0,05

0,0625 0,075

0,0375

0,025

46

0,03

0,0375 0,045

0,0225

0,015

54

0,03

0,0375 0,045

0,0225

0,015

Tableau dans le cas d'indépendance en effectif

âge du

Nombre d'accidents

conducteur

0

1

2

3

4

22

3

3,75

4,5

2,25

1,5

30

6

7,5

9

4,5

3

38

5

6,25

7,5

3,75

2,5

46

3

3,75

4,5

2,25

1,5

54

3

3,75

4,5

2,25

1,5

Le

χ

2

vaut 101.13, le

χ

2

max

= 400, l’indicateur de dépendance

χ

χ

/

2

max

2

= 0.5028

9

La p-valeur vaut 2 E-14.

ETUDE DE LA DEPENDANCE

ETUDE DE LA CORRELATION

10

ACCIDENTS

EN FONCTION DE

AGE

AGE

EN FONCTION DE

ACCIDENTS

11

ETUDE DE LA CORRELATION LINEAIRE (

ACCIDENTS

EN FONCTION DE

AGE)