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Méthodes particulaires avec remaillage : analyse numérique nouveaux schémas et applications pour la simulation d'équations de transport, Particle methods with remeshing : numerical analysis, new schemes and applications for the simulation of transport equations

De
222 pages
Sous la direction de Georges-henri Cottet
Thèse soutenue le 12 juillet 2011: Grenoble
Les méthodes particulaires sont des méthodes numériques adaptées à la résolution d'équations de conservation. Leur principe consiste à introduire des particules ``numériques'' conservant localement l'inconnue sur un petit volume, puis à les transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu'un terme source est présent dans les équations, l'évolution de la solution le long des caractéristiques est prise en compte par une intéraction entre les particules. Ces méthodes possèdent de bonnes propriétés de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL qui peuvent être contraignantes pour les méthodes Eulériennes. Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit être satisfaite pour vérifier des propriétés de convergence de la méthode. Pour satisfaire cette condition de recouvrement, un remaillage périodique des particules est souvent utilisé. Elle consiste à recréer régulièrement de nouvelles particules uniformément réparties, à partir de celles ayant été advectées à l'itération précédente. Quand cette étape de remaillage est effectuée à chaque pas de temps, l'analyse numérique de ces méthodes particulaires remaillées nécessite d'être reconsidérée, ce qui représente l'objectif de ces travaux de thèse. Pour mener à bien cette analyse, nous nous basons sur une analogie entre méthodes particulaires avec remaillage et schémas de grille. Nous montrons que pour des grands pas de temps les schémas numériques obtenus souffrent d'une perte de précision. Nous proposons des méthodes de correction, assurant la consistance des schémas en tout point de grille, le pas de temps étant contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette méthode est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites de manière à remailler les particules sans créer d'oscillations en présence de fortes variations de la solution. Enfin, ces méthodes sont généralisées aux dimensions plus grandes que un en s'inspirant du principe de splitting d'opérateurs. Les applications numériques présentées dans cette thèse concernent la résolution de l'équation de transport sous forme conservative en dimension un à trois, dans des régimes linéaires ou non-linéaires.
-Méthodes particulaires
-Analyse numérique
-Equation de transport
-Remaillage
-Schémas de différences finies
-TVD
Particle methods are numerical methods designed to solve advection dominated conservation equations. Their principle is to introduce ``numerical'' particles that concentrate the unknown locally on a small volume, and to transport them along their trajectories. These methods have good conservation properties and are not subject to the usual CFL conditions that can be binding for the Eulerian methods. However, an overlap condition must be satisfied between the particles to ensure convergence properties of the method. To satisfy this condition, a periodic remeshing of the particles is often used. New particles uniformly distributed are created on a regular mesh. When this remeshing step is performed at every time step, numerical analysis of particle methods needs to be revisited. This is the purpose of this thesis. To carry out this analysis, we rely on an analogy between remeshed particle methods and grid schemes. We show that for large time step the numerical schemes have a loss of accuracy. We propose correction methods wich ensure consistency at any grid point, provided the time step satisfies a condition based on the gradient of the velocity field. Limitation techniques are also introduced to remesh particles without creating any oscillations in the presence of strong variations of the solution. Finally, these methods are generalized to dimensions greater than one. Numerical example on various transport equations are given to illustrate the benefit of the proposed algorithms.
-Particle methods
-Numerical analysis
-Transport equation
-Remeshing
-Finite difference schemes
-TVD
Source: http://www.theses.fr/2011GRENM023/document
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THÈSE
Pour obtenir le grade de
DOCTEURDEL’UNIVERSITÉDEGRENOBLE
Spécialité :MathématiquesAppliquées
Arrêté ministérial : 7 août 2006
Présentée par
AdrienMAGNI
Thèse dirigée parGeorges-HenriCOTTET
préparée au sein dulaboratoireJeanKuntzmann
et de l’école doctorale MSTII : Mathématiques, Sciences et Technolo-
giesdel’information,informatique
Méthodes particulaires avec re-
maillage:analysenumérique,nou-
veaux schémas et applications
pour la simulation d’équations de
transport
Thèse soutenue publiquement le12juillet2011,
devant le jury composé de :
Mr,FrédéricCOQUEL
Directeur de recherche CNRS, Ecole Polytechnique, Rapporteur
Mr,SergeHUBERSON
Professeur, université de Poitiers, Rapporteur
Mr,Georges-HenriCOTTET
Professeur, université Joseph Fourier, Directeur de thèse
Mme,ValériePERRIER
Professeur, Grenoble INP, Examinateur
Mr,ChristophePICARD
Maitre de conférence, Grenoble INP, Examinateur
Mr,IrajMORTAZAVI
Maitre de conférence, Institut Polytechnique de Bordeaux, Examinateur
tel-00623128, version 1 - 13 Sep 2011THESE
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universite de Grenoble
Specialite MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Presentee et soutenue publiquement par
Adrien MAGNI
le 12 juillet 2011
Methodes particulaires avec remaillage : analyse numerique,
nouveaux schemas et applications pour la simulation
d’equations de transport.
These dirigee par Georges-Henri COTTET
Composition du jury
Frederic COQUEL Directeur de recherche, CNRS, Ecole Polytechnique
Serge HUBERSON Professeur, universite de Poitiers
Valerie PERRIER Professeur, Grenoble INP
Christophe PICARD Maitre de conference, Grenoble INP
Iraj MORTAZAVI Maitre de conference, Institut Polytechnique de Bordeaux
These preparee au sein du laboratoire Jean Kuntzmann dans l’Ecole Doctorale
Mathematiques, Sciences et Technologies de l’Information, Informatique.
tel-00623128, version 1 - 13 Sep 2011i
tel-00623128, version 1 - 13 Sep 2011ii
Remerciements :
Je tiens a remercier un grand nombre de collegues et amis que j’ai pu rencontrer
pendant ces annees de these et qui ont contribue de pres ou de loin a l’aboutisse-
ment de ces travaux de recherche.
Je remercie principalement Georges-Henri COTTET, que je suis ravi d’avoir eu
comme directeur de these pour ces qualites scienti ques et humaines dont decoule
sa reussite de mon encadrement. Merci pour ta disponibilite, ton ecoute, ton re-
confort, et tous tes bons conseils.
Merci aussi a
tous les membres du jury d’avoir accepte d’evaluer mon travail, et en particulier
aux rapporteurs Serge HUBERSON et Frederic COQUEL,
Guillaume James, avec qui se fut un plaisir d’enseigner. J’ai apprecie tes quali-
tes relationnelles, ta bonne humeur, ton aide, et ta volonte de faire ton travail
correctement. Merci aussi aux etudiants de l’Ensimag pour leur enthousiasme a
assister aux TD et leur evaluation positive de mon encadrement qui m’a redonner
conance en moi,
Franck Perignon pour ton implication dans le developpement en calcul parallele
des methodes particulaires et ton positivisme malgre les nombreuses peripeties de
ppm ...
tous ceux qui font vivre le laboratoire, notamment pendant les pauses cafes du
7eme,
tous les collegues que j’ai pu rencontrer lors de reunions ANR ou ecoles d’ete, dont
les points de vus scientiques on ete instructifs,
ma famille et mes amis pour leur soutien et leurs encouragements,
Jean-Paul HUOT qui m’a pousse a faire une these lors de nos discussions a la cafet
de l’ESA,
et enn tous les thesards, avec qui les diverses conversations et experiences on
toujours ete enrichissantes, que ce soit durant les nombreuses pauses en salle 3,
les repas du ru ou pendant des activitees sportives ! Je remercie en particulier Elie
dont j’ai apprecie la vision de la recherche et les discussions scienti ques, Emi-
lie et Renaud pour les sorties en pleine nature, Christophe au cine et Gaelle au
Bad, Morgan, Ibrahim, Mathieu, Thomas M., Irene, Carine, Claire, Azmi, Souley-
mane, Melanie, Damien, Roland, Brice, David, Madison, Remi, Lukas, Thomas O.,
Matthieu B., Sam, Johanes et Carlotta pour annimer les repas du Ru ainsi qu’a
Marc, Amin, Otmane, Aymen, Quentin, Benedicte, Thomas D., Manel, Pierre-
Yves, Pierre-Antoine, Jeremie, Franck, Vincent, Federico ... pour les dicussions
chaleureuses.
tel-00623128, version 1 - 13 Sep 20111
Resume :
Les methodes particulaires sont des methodes numeriques adaptees a la resolu-
tion d’equations de conservation. Leur principe consiste a introduire des particules
\numeriques" conservant localement l’inconnue sur un petit volume, puis a les
transporter le long de leur trajectoire. Lorsqu’un terme source est present dans les
equations, l’evolution de la solution le long des caracteristiques est prise en compte
par une interaction entre les particules. Ces methodes possedent de bonnes pro-
prietes de conservation et ne sont pas soumises aux conditions habituelles de CFL
qui peuvent ^etre contraignantes pour les methodes Euleriennes.
Cependant, une contrainte de recouvrement entre les particules doit ^etre satisfaite
pour verier des proprietes de convergence de la methode. Pour satisfaire cette
condition de recouvrement, un remaillage periodique des particules est souvent
utilise. Elle consiste a recreer regulierement de nouvelles particules uniformement
reparties, a partir de celles ayant ete advectees a l’iteration precedente. Quand cette
etape de remaillage est e ectuee a chaque pas de temps, l’analyse numerique de ces
methodes particulaires remaillees necessite d’^etre reconsideree, ce qui represente
l’objectif de ces travaux de these. Pour mener a bien cette analyse, nous nous
basons sur une analogie entre methodes particulaires avec remaillage et schemas
de grille.
Nous montrons que pour des grands pas de temps les schemas numeriques obtenus
sou rent d’une perte de precision. Nous proposons des methodes de correction,
assurant la consistance des schemas en tout point de grille, le pas de temps etant
contraint par une condition sur le gradient du champ de vitesse. Cette methode
est construite en dimension un. Des techniques de limitation sont aussi introduites
de maniere a remailler les particules sans creer d’oscillations en presence de fortes
variations de la solution. En n, ces methodes sont generalisees aux dimensions
plus grandes que un en s’inspirant du principe de splitting d’operateurs.
Les applications numeriques presentees dans cette these concernent la resolution
de l’equation de transport sous forme conservative en dimension un a trois, dans
des regimes lineaires ou non-lineaires.
tel-00623128, version 1 - 13 Sep 20112
Abstract :
Particle methods are numerical methods designed to solve advection dominated
conservation equations. Their principle is to introduce \numerical" particles that
concentrate the unknown locally on a small volume, and to transport them along
their trajectories. These methods have good conservation properties and are not
subject to the usual CFL conditions that can be binding for the Eulerian methods.
However, an overlap condition must be satis ed between the particles to ensure
convergence properties of the method. To satisfy this condition, a periodic reme-
shing of the particles is often used. New particles uniformly distributed are created
on a regular mesh. When this remeshing step is performed at every time step, nu-
merical analysis of particle methods needs to be revisited. This is the purpose of
this thesis. To carry out this analysis, we rely on an analogy between remeshed
particle methods and grid schemes.
We show that for large time step the numerical schemes have a loss of accuracy. We
propose correction methods wich ensure consistency at any grid point, provided
the time step satis es a condition based on the gradient of the velocity