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AVERTISSEMENT



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LIENS




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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE
Ecole Nationale Sup´erieure de G´eologie de Nancy
Laboratoire Environnement, G´eom´ecanique et Ouvrages
Ecole Doctorale RP2E
THESE
Pr´esent´ee en vue de l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’I.N.P.L.
Sp´ecialit´e :
G´enie civil - Hydrosyst`emes - G´eotechnique
par
Sergey SKACHKOV
Mod`ele macroscopique de la
dispersion diphasique en milieux
poreux et fractur´es
Composition du juri :
Jean-Louis AURIAULT Rapporteur
Christopher FARMER Examinateur
Mouaouia FIRDAOUSS Rapporteur
Christian MOYNE Pr´esident
Mikhail PANFILOV Directeur de th`ese
Alexandre SHANDRYGIN Invit´e
La date de soutenance : le 27 octobre 2006A tous mes proches et mes amis
J’ai consacr´e toute ma vie!
Mais dans le temps qu’ils m’ont laiss´e
J’ai essay´e de bien bosser ...
Archie
Ce que ne nous tue pas nous rend plus fort
Ma deviseRemerciements
Je tiens `a remercier Monsieur Mikhail Panfilov d’avoir dirig´e cette th`ese
et de m’avoir aid´e a` d´evelopper mes capacit´es scientifiques.
JeremercievivementMonsieurChristianMoynedem’avoirfaitl’honneur
de pr´esider mon jury de th`ese. Je remercie ´egalement Messieurs Jean-Louis
Auriault et Mouaouia Firdaouss, mes rapporteurs, ainsi que Monsieur Chris-
topher Farmer d’avoir bien voulu examiner ce travail.
Jetiens`aremercierleCentreTechnologiquedeSchlumbergera`Abingdon
pour le financement de ma th`ese.
Jeremercieenfinmesamisetcoll`egues,quim’ontbeaucoupaid´ependant
ces trois ans de th`ese.Qualit´es des membres du jury
Professeur des Universit´es
Jean-Louis AURIAULT
Domaine universitaire BP 53
Rapporteur
38041 Grenoble cedex 9, France
Professor, Oxford University,
Scientific Advisor of Schlumberger
Christopher FARMER
Abingdon Technology Center, Lambourn Court,
Examinateur Wyndyke Furlong, Abingdon Business Park,
Abingdon, Oxfordshire, OX14 1UJ, UK.
Maˆıtre de conf´erences Paris VI, HDR
Mouaouia FIRDAOUSS
LIMSI-CNRS BP133 F-91403 ORSAY, France
Rapporteur
Sp´ecialit´e : m´ecanique des fluides, milieux poreux
Professeur,
LEMTA, BP 160, 2 avenue de la Forˆet de Haye,Christian MOYNE
54504 Vandoeuvre, FRANCEPr´esident
Sp´ecialit´e : m´ecanique des fluides
Professeur,
L’Institut National Polytechnique de Lorraine,
Mikhail PANFILOV
ENSG,LEMTA,BP160,2avenuedelaForetdeHaye,
Directeur de th`ese 54502,Vandoeuvre-l`es-Nancy, France.
Sp´ecialit´e : M´ecanique, G´enie m´ecanique, G´enie civil
Scientific Advisor of Schlumberger,
Alexandre SHANDRYGIN
9, Taganskaya str. Moscow, Russia
Invit´e Sp´ecialit´e : hydrodynamique souterraine
4Table des mati`eres
1 Probl`eme de la dispersion hydrodynamique 11
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Etat de l’art et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 A propos de la th´eorie actuelle de dispersion hydrody-
namique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Etude th´eorique du m´elange diphasique . . . . . . . . . 15
1.1.4 Dispersion diphasique comme une fonction de la satu-
ration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.5 M´ethode de l’homog´en´eisation . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Probl`eme de l’´ecoulement diphasique en milieu h´et´erog`ene . . 19
1.2.1 Equations de l’´ecoulement diphasique . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Conditions aux limites et conditions initiales . . . . . . 20
1.2.3 Formulation sous la forme de pression moyenne . . . . 22
2 Homog´en´eisation du premier ordre de l’´ecoulement dipha-
sique 23
2.1 Homog´en´eisationdupremierordredel’´ecoulementdiphasique
sans forces capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Particularit´e de probl`eme sans forces capillaires . . . . 24
2.1.2 Homog´en´eisation. Algorithme g´en´eral . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Formulation `a deux ´echelles . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 A propos de l’ordre du mod`ele macroscopique . . . . . 26
2.1.5 Equations moyennes non ferm´ees . . . . . . . . . . . . 26
2.1.6 Fonctions oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.7 Mod`ele homog´en´eis´e : d´erivations . . . . . . . . . . . . 28
2.1.8 Equation g´en´erale homog´en´eis´ee de transport . . . . . 28
2.1.9 Conditions homog´en´eis´ees aux limites et initiales . . . 29
2.2 Homog´en´eisation de l’´ecoulement diphasique avec les forces
capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Formulation a` deux ´echelles . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Expansions asymptotiques a` deux ´echelles . . . . . . . 31
52.2.3 Fonctions oscillantes. Probl`emes cellulaires. . . . . . . . 31
2.2.4 Mod`ele macroscopique ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Mod`ele homog´en´eis´e avec dispersion . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Mod`ele d’´ecoulement effectif dans le cas g´en´eral . . . . 33
2.3.2 Perm´eabilit´e absolue effective . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3 Tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.4 S´eparation des variables rapides et lentes dans les pro-
bl`emes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.5 Trois probl`emes basiques avec les variables rapides s´e-
par´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.6 Equivalence entre la dispersion et la pression capillaire
renormalis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Analyse du tenseur de dispersion diphasique 40
3.1 Propri´et´es basiques du tenseur de dispersion diphasique . . . . 41
3.1.1 Asym´etrie du tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 A propos de la d´efinition positive du tenseur de diffu-
sion capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Simulationdutenseurdedispersiondansunmilieubi-perm´eable 45
3.2.1 Description de cas examin´e. . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Simulation de perm´eabilit´e effective . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 Simu des probl`emes cellulaires pour la dispersion 47
3.2.4 Calcul du tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.5 Tenseur de dispersion en fonction de la saturation . . . 49
3.2.6 Comparaison avec les donn´ees connues . . . . . . . . . 49
3.3 Simulation du tenseur de dispersion sous la forme de la pres-
sion capillaire renormalis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Description du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Simulations de la pression capillaire renormalis´ee . . . 52
4 Dispersion en milieu fractur´e 56
4.1 Probl`emes cellulaires pour le tenseur de dispersion en milieu
fractur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 La propri´et´e non locale du probl`eme cellulaire pour le
tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Structure du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.3 Cas limite des fractures minces . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Probl`eme cellulaire pour la perm´eabilit´e effective en milieu
fractur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 La forme limite du probl`eme cellulaire . . . . . . . . . 61
64.2.2 Solution pour un probl`eme cellulaire de perm´eabilit´e
effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.3 Tenseur de perm´eabilit´e effective . . . . . . . . . . . . 63
4.2.4 D´etermination de la vitesse de transport . . . . . . . . 63
5 M´ethode de ”Stream configuration” 65
5.1 Ph´enom`ene de d´eg´en´erescence de la ”stream configuration” . . 66
5.1.1 Formulation ´equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2 Non-unicit´e du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 R´egularisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Restriction g´en´erale pour les configurations des flux . . 70
5.2.2 S´election des configurations des flux ind´ependants . . . 71
5.2.3 Conditions des configurations . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 Solution pour le probl`eme cellulaire . . . . . . . . . . . 73
5.3 Comportement du tenseur de dispersion. Dispersion singuli`ere 74
5.3.1 Solution pour le tenseur de dispersivit´e . . . . . . . . . 74
5.3.2 Simulation de la dispersivit´e . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.3 Effet de la dispersion singuli`ere . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.4 Comparaison avec les autres r´esultats . . . . . . . . . . 78
5.3.5 Conclusion pour le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Upscaling du milieu fractur´e d´esordonn´e 82
6.1 Approche semi-analytique de l’upscaling de la perm´eabilit´e en
milieu poreux fractur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 Homog´en´eisation et upscaling . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.2 Perm´eabilit´e en milieu poreux fractur´e . . . . . . . . . 84
6.1.3 D´ecomposition de la contribution de la matrice et des
fractures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Calcul de la perm´eabilit´e ´equivalente des fractures . . . . . . . 87
6.2.1 Structure du r´eseau des fractures . . . . . . . . . . . . 87
6.2.2 Forme limite du probl`eme cellulaire pour la perm´eabilit´e 88
6.2.3 Solution pour le probl`eme cellulaire . . . . . . . . . . . 89
6.2.4 Solution pour la perm´eabilit´e ´equivalente . . . . . . . . 89
6.2.5 Existence et unicit´e de solution . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.6 D´emonstration de l’existence et de l’unicit´e d’une so-
lution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.7 Simulations num´eriques de la perm´eabilit´e ´equivalente 93
6.2.8 Upscaling avec ”bordering” . . . . . . . . . . . . . . . . 95
77 D´eplacement diphasique avec dispersion 97
7.1 Simulation de d´eplacement immiscible ”huile-eau” . . . . . . . 98
7.1.1 Description physique du test num´erique. . . . . . . . . 98
7.1.2tion math´ematique pour le cas I . . . . . . . . . 99
7.1.3 Description math´e pour les cas II et III . . . . 101
7.1.4 R´esultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 Dispersion dans le mod`ele ”black-oil” . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1 Mod`ele classique ”black-oil” pour un d´eplacement
”huile-gaz” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.2 Principe d’insertion de l’effet de la dispersion dans le
mod`ele black-oil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.3 Transformation dans l’´equation de transport pour la
saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.4 Introduction directe de la dispersion dans le mod`ele
black-oil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.5 Introduction de la dispersion par la renormalisation de
la pression capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8Table des figures
2.1 Fonction Φ(S) et pression capillaire renormalis´eP (S) sous lac
forme adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Cellule unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Solutions du probl`eme pour la perm´eabilit´e effective,ψ (y) et1
ψ (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
3.3 Comportement caract´eristique de la fonctionC(s) . . . . . . . 47
3.4 Solution du probl`eme cellulaire pour le tenseur de dispersion,
ϕ (y),pourlesdiff´erentesdirectionsd’´ecoulementmacroscopique 481
3.5 Solution du probl`eme cellulaire pour le tenseur de dispersion,
ϕ (y), pour les diff´erentes directions d’´ecoulement macrosco-2
pique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 D´ependance de la dispersion longitudinale et ses parties
convectiveetcapillaireenfonctiondelasaturationpourl’´ecou-
−6 2lement macroscopique horizontal,×10 m /s . . . . . . . . . 50
3.7 Dispersion longitudinale en fonction de la saturation pour les
−6 2diff´erentes directions d’´ecoulement,×10 m /s . . . . . . . . 50
3.8 Quatre composantes de la pression capillaire tensorielle re-
f˜normalis´ee, P (s) [KPa], pour l’´ecoulement macroscopiquec,ik
orient´e selon l’axe x (cas 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
3.9 Quatre composantes de la pression capillaire tensorielle re-
f˜normalis´ee, P (s) [KPa], pour l’´ecoulement macroscopique
c,ik
orient´e selon l’axe x (cas 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
3.10 Quatre composantes de la pression capillaire tensorielle re-
f˜normalis´ee, P (s) [KPa], pour l’´ecoulement macroscopiquec,ik
orient´e selon 40˚par rapport a` l’axe.x (cas 3) . . . . . . . . . 541
4.1 Structure du milieu fractur´e (a) et une cellule (b) . . . . . . . 58
4.2 Sch´ema pour obtenir la loi de conservation dans un nœud . . . 62
9