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Moduli of spin curves [Elektronische Ressource] / von Katharina Ludwig

De
139 pages
ModuliofSpin CurvesVon der Fakult at fur Mathematik und Physikder Gottfried Wilhelm Leibniz Universit at Hannoverzur Erlangung des GradesDoktorin der NaturwissenschaftenDr. rer. nat.genehmigte DissertationvonDipl.-Math. Katharina Ludwig,geboren am 11.08.1980 in Hannover(2007)Referent: Prof. Dr. Klaus Hulek, HannoverKoreferentin: Prof. Dr. Lucia Caporaso, RomTag der Promotion: 11. Mai 2007ZusammenfassungDiese Arbeit widmet sich der Bestimmung der Singularit aten des groben Mod-ulraumes S der Spinkurven ub erC. Das genaue Verst andnis der Singularit atengfuhrt zu dem Resultat, dass plurikanonische Formen auf der o enen Teilmenge derglatten Punkte holomorph zu einer Desingularisierung liften. Der von M. Cor-nalba in [Cor89] konstruierte Modulraum S kompakti ziert den groben Mod-gulraum S der glatten Spinkurven, dies sind Paare (C;L) bestehend aus einergglatten Kurve C arithmetischen Geschlechts g 2 und einer Thetacharakter-2istik L, d.h. einem Geradenbundel L auf C mit der Eigenschaft, dass L iso-morph ist zum kanonischen Bundel! . Diese Kompakti zierung vertr agt sich mitCder Deligne-Mumford-Kompakti zierung M mittels stabiler Kurven des grobengModulraumesM der glatten Kurven arithmetischen Geschlechtsg [DM69]. Ins-gbesondere gibt es einen naturlic hen Morphismus : S ! M , der dem Mod-g gulpunkt einer Spinkurve den Modulpunkt der zugrunde liegenden Kurve zuord-2gnet. ist eine endliche Abbildung vom Grad 2 .
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Moduli
of
Spin Curves
Von der Fakult at fur Mathematik und Physik
der Gottfried Wilhelm Leibniz Universit at Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktorin der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Math. Katharina Ludwig,
geboren am 11.08.1980 in Hannover
(2007)Referent: Prof. Dr. Klaus Hulek, Hannover
Koreferentin: Prof. Dr. Lucia Caporaso, Rom
Tag der Promotion: 11. Mai 2007Zusammenfassung
Diese Arbeit widmet sich der Bestimmung der Singularit aten des groben Mod-
ulraumes S der Spinkurven ub erC. Das genaue Verst andnis der Singularit ateng
fuhrt zu dem Resultat, dass plurikanonische Formen auf der o enen Teilmenge der
glatten Punkte holomorph zu einer Desingularisierung liften. Der von M. Cor-
nalba in [Cor89] konstruierte Modulraum S kompakti ziert den groben Mod-g
ulraum S der glatten Spinkurven, dies sind Paare (C;L) bestehend aus einerg
glatten Kurve C arithmetischen Geschlechts g 2 und einer Thetacharakter-

2istik L, d.h. einem Geradenbundel L auf C mit der Eigenschaft, dass L iso-
morph ist zum kanonischen Bundel! . Diese Kompakti zierung vertr agt sich mitC
der Deligne-Mumford-Kompakti zierung M mittels stabiler Kurven des grobeng
ModulraumesM der glatten Kurven arithmetischen Geschlechtsg [DM69]. Ins-g
besondere gibt es einen naturlic hen Morphismus : S ! M , der dem Mod-g g
ulpunkt einer Spinkurve den Modulpunkt der zugrunde liegenden Kurve zuord-
2gnet. ist eine endliche Abbildung vom Grad 2 .
Im Vordergrund steht die lokale (analytische) Struktur des Modulraumes S .g
Ahnlich wie M verh alt sich S am Modulpunkt einer Spinkurve lokal isomorphg g
zu einem QuotientenV=G eines 3g 3-dimensionalen VektorraumesV nach einer
endlichen Gruppe G. Diese entspricht im Wesentlichen der Automorphismen-
gruppe der betrachteten Spinkurve. Eine genaue Analyse der auftretenden Quo-
tienten erm oglicht mit Hilfe des Reid-Tai-Kriteriums eine Beschreibung derjeni-
gen Punkte in S , an denen kanonische bzw. nicht-kanonische Singularit ateng
auftreten. Letztere bilden eine Teilmenge der Kodimension 2 in S . Au erdemg
reg
wird der Ort S S der glatten Punkte in S bestimmt. Der Morphismusg gg
: S ! M spielt hierbei eine entscheidende Rolle, da er Zusammenh angeg g
zwischen den gut verstandenen Singularit aten des Modulraumes M [HM82] undg
denen von S herstellt. Dabei ergibt sich auch eine Beschreibung des Verzwei-g
gungsverhaltens der endlichen Abbildung .
Diese lokalen Resultate erlauben es zu beweisen, dass sich alle plurikanonischen
reg reg
Formen aufS - d.h. Schnitte in ( S ;O (kK )) - holomorph zu einer Desin-g g S Sg g
egularisierung S von S fortsetzen lassen. Auch hier wird entscheidend auf dasg g
entsprechende Resultat von J. Harris und D. Mumford fur M zuruc kgegri en.g
Schlagworte: Modulraum, Spinkurve, Singularit aten, plurikanonische Formen
iiiAbstract
This thesis determines the singularities of the coarse moduli space S overC ofg
spin curves. The precise description of the singularities yields the result that
pluricanonical forms on the smooth locus ofS lift holomorphically to a desingu-g
larisation. The moduli spaceS constructed by M. Cornalba in [Cor89] compact-g
i es the coarse moduli space S of smooth spin curves. These are pairs (C;L) of ag
smooth curve of (arithmetic) genusg 2 and a theta characteristicL onC, i.e. a

2line bundleL onC such thatL is isomorphic to the canonical bundle! . ThisC
compacti cation is compatible with the Deligne-Mumford compacti cation M ofg
the coarse moduli spaceM of smooth curves of genusg via stable curves [DM69].g
In particular there exists a natural morphism :S !M which sends the mod-g g
uli point of a spin curve to the moduli point of the underlying curve. is a nite
2gmap of degree 2 .
This thesis focuses on the local (analytic) structure of the moduli space S . Asg
in the case ofM an analytic neighbourhood of the moduli point of a spin curveg
in S is isomorphic to the quotient V=G of a 3g 3-dimensional vector spaceg
V with respect to a nite group G. This group is essentially the automorphism
group of the spin curve under consideration. A careful analysis of the occurring
quotients gives a description of the locus of canonical singularities ofS with theg
help of the Reid-Tai criterion. This locus has codimension 2 in S . Moreover,g
reg
the smooth locus S S is determined. The morphism plays an importantgg
role in these calculations, since it establishes a connection between the well un-
derstood singularities ofM [HM82] and those ofS . In order to understand thisg g
connection the rami cation of the nite map is described.
reg
These local results are used to prove that all pluricanonical forms onS , i.e. sec-g
reg
etions in ( S ;O (kK )), extend holomorphically to a desingularisation S ofgg S Sg g
S . An important ingredient is the analogous result for M by J. Harris andg g
D. Mumford.
Keywords: moduli space, spin curve, singularities, pluricanonical forms
ivContents
1 Introduction 1
2 Spin curves 4
2.1 Stable curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Spin curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Moduli spaces 28
3.1 Moduli spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Stable curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 Spin curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0
3.1.3 The moduli spaces S and S . . . . . . . . . . . . . . . . 34C C
3.2 Deformation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Stable curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Spin curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Singularities 54
4.1 Canonical singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Singularities of M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57g
4.3 of S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64g
4.3.1 Quasi re ections in M(Aut(X;L;b)) . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Singularities of S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70g
5 Global results 109
5.1 The Picard group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1 Stable curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2 Spin curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2 Pluricanonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1 Stable curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2 Spin curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Bibliography 123
Notation 125
Index 127
vCONTENTS CONTENTS
viChapter 1
Introduction
This thesis investigates the geometry of the coarse moduli space S of pairs of ag
smooth curve C of genus g 2 (overC) together with a theta characteristic L,

2i.e. a line bundle such thatL is isomorphic to the canonical bundle! . ThetaC
characteristics are a classical subject, for example in the guise of bitangents of a
smooth plane quartic. There is a natural forgetful morphism from S to M ,g g
the moduli space of smooth curves, by sending the moduli point [(C;L)]2S ofg
a pair (C;L) to the moduli point [C]2M of the curve. Since a smooth curve ofg
2ggenusg has exactly 2 non-isomorphic theta characteristics, is nite of degree
2g2 , see for example the articles of D. Mumford [Mum71] and M. Atiyah [Ati71].
g 1 gMoreover, every smooth curve C has 2 (2 + 1) even theta characteristics, i.e.
0 g 1 gdimH (C;L) is even, and 2 (2 1) odd theta characteristics. In the articles
mentioned the authors prove that even and odd theta characteristics do not mix.
This means, that in a family of curves with theta c over a connected
base scheme the dimension of the space of sections of the theta characteristic is
+constant modulo 2, showing thatS is the disjoint union of the moduli spacesSg g
andS of curves with even resp. odd theta characteristics, which can be proveng
to be the irreducible components of S .g
As in the case of M it is natural to ask for a geometrically meaningful compac-g
ti cation S of S . In the case of curves such a compacti cation was given byg g
P. Deligne and D. Mumford in [DM69] in terms of stable curves; where curves
having only nodes as singularities and nite automorphism groups are included
into the moduli problem to give the projective moduli space M which containsg
M as a dense open subset. In his article [Cor89] M. Cornalba gave a compacti-g
cation S of S which is compatible with the forgetful morphism : S ! Mg g g g
and the Deligne-Mumford compacti cation M , i.e. S ts into the commutativeg g
diagram
........... ... .................Sg Sg
. .. .... .. .... ..... ..... .
..... ...................Mg Mg
1CHAPTER 1. INTRODUCTION
and the map S ! M is again a forgetful morphism which is nite of degreeg g
2g2 . Points in S correspond to spin curves, i.e. triples (X;L;b) of a so calledg

2quasi-stable curve X, a line bundle L on X and a homomorphism b from L
to a \modi cation" of the canonical bundle ! which is nearly an isomorphism.X
The homomorphism is needed to get a separated moduli space. In the smooth
=
2case it just amounts to choosing a speci c isomorphism L ! ! . T. JarvisC
gave other geometrically meaningful compacti cations of S compatible withM ,g g
where boundary points correspond to triples (C;E;b), where C is a stable curve
andE a rank one torsion free sheaf. The resulting moduli spaces are isomorphic
in the case considered in this thesis. It is therefore only a question of taste
whether one prefers to work with torsion free sheaves on stable curves or with
line bundles on curves in the slightly bigger class of quasi-stable curves. In this
thesis Cornalba’s description via quasistable curves and line bundles will be used.
Chapter 2 will provide the necessary background on stable curves and spin curves.
In particular the vague de nitions given above will be made precise and important
properties will be explained.
Having understood the objects Chapter 3 turns to the question of the existence of
coarse moduli spaces of stable curves and spin curves. In addition the morphism
S !M and its bres will be studied, since this is a very good tool to transferg g
results known for M toS . Afterwards the local structure of the moduli spacesg g
will be described with the help of deformation theory.
Chapter 4 begins with a short introduction into canonical singularities. Sec-
tion 4.2 explains and sharpens the analysis of singularities of M by J. Harrisg
and D. Mumford in [HM82]. Section 4.3 is dedicated to a careful study of the
singularities of S . In particular the locus of canonical singularities is preciselyg
described.
A variety X with only canonical singularities has the important property that

k regall global pluricanonical forms, i.e. sections of ! over the smooth locus X ,
X
eextend to every desingularisation X. This lifting result implies that in order
to determine the Kodaira dimension of X it is enough to consider the rate of
growth of the space of global pluricanonical forms on X, implying that one does
enot have to concern oneself with the desingularisation X. Despite the fact that
M does have some non-canonical singularities Harris and Mumford proved thatg
the lifting result in fact holds for M , g 4, and used this to show that M isg g
of general type for g 24 (see also the subsequent article [EH87] of J. Harris
with D. Eisenbud). The lifting result is explained in Section 5.2. and transferred
to S with the help of the description of the non-canonical locus of S and theg g
map . In Section 5.1 some information on the Picard groups of M and S areg g
given, in particular the canonical divisors of the irreducible components ofS areg
computed.
2CHAPTER 1. INTRODUCTION
Conventions
A curve will always mean a complete reduced algebraic curve. In particular
a curve is not necessarily irreducible. The genus of a curve C is always the
arithmetic genus, i.e. g =g(C) = 1 (O ). In case C is connected this is justC
1 0h (C;O ) and if C is smooth this coincides with the geometric genus h (C;! )C C
by Serre duality. All schemes are schemes over the complex numbersC.
Acknowledgements, Danksagung
An dieser Stelle m ochte ich mich bei Herrn Prof. Klaus Hulek fur die intensive Be-
treuung und die zahlreichen Diskussionen bedanken, die diese Arbeit erst m oglich
gemacht haben. I also would like to thank Prof. Lucia Caporaso for several dis-
cussions, for inviting me to Rome and for being a referee for my thesis. Thanks
go to Prof. Brendan Hassett and Prof. Gregory Sankaran for helping me to under-
stand singularities, especially those of the moduli space of curves. Darub erhinaus
m ochte ich mich bei meiner Familie bedanken, die mich - jeder auf seine Weise
- auf meinem Weg unterstutzt und begleitet hat. Mein Dank gilt ebenso allen
meinen Kollegen und Freunden, insbesondere Frank Attia, Benjamin Benz, Cord
Erdenberger, Anika Jaeschke, Pia Kopp und Mazeyar Makoui, fur mathematis-
che, sprachliche und moralische Unterstutzung. Zuletzt m ochte ich Rudiger Kohl
dafur danken, dass er immer fur mich da ist.
3

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