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UNIVERSITÉ FRANÇOIS - RABELAIS
DE TOURS


École doctorale Santé, Sciences, Technologies
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
Fédération Denis Poisson

THÈSE présentée par :
François HAVARD

soutenue le : 23 juin 2008


pour obtenir le grade de : Docteur de l’université François - Rabelais
Discipline : Mathématiques

MOYENNES ERGODIQUES SUR DES DOMAINES
À SYMÉTRIE SPHÉRIQUE




THÈSE dirigée par :
M. LESIGNE Emmanuel Professeur, Université François - Rabelais

RAPPORTEURS :
Mme ANANTHARAMAN Claire Professeur, Université d’Orléans
M. DERRIENNIC Yves Professeur, Université de Bretagne Occidentale


JURY :
Mme ANANTHARAMAN Claire Professeur, Université d’Orléans
M. DEPAUW Jérôme Maître de Conférences, Université François - Rabelais
M. DERRIENNIC Yves Professeur, Université de Bretagne Occidentale
M. FERENCZI Sébastien Chargé de Recherche, Université de la Méditerranée
M. GALLARDO Léonard Professeur, Université François - Rabelais
M. LESIGNE Emmanuel Professeur, Université François - Rabelais
Je tiens tout d’abord à saluer la mémoire de Martine Babillot avec laquelle
j’ai travaillé sur mon mémoire de DEA et sous la co-direction de laquelle j’ai
commencé ma thèse. Elle m’a fait découvrir ce qu’était un travail de recherche.
Je remercie mon directeur de thèse Emmanuel Lesigne. Après m’avoir fait
découvrir ce qu’est la théorie ergodique, il a accepté de co-diriger ma thèse, puis
de la diriger. Sous sa direction compréhensive, j’ai beaucoup appris et ai pu tra-
vailler dans les meilleures conditions possibles.
Je remercie Claire Anantharaman et Yves Derriennic qui ont accepté de lire
cettethèseetd’enêtrelesrapporteurs.Ilsm’ontfaitbénéficierdeleursremarques,
ce qui m’a permis d’améliorer mon travail. Je leur suis aussi reconnaissant d’avoir
accepté d’être membre de mon jury.
Je remercie Jérôme Depauw, Sébastien Ferenczi et Léonard Gallardo qui me font
l’honneur d’être membres de mon jury.
Enfin je remercie mes amis, mon frère Bertrand, mon frère Guillaume pour
son aide dans mes débuts en mathématiques, mes parents pour leurs encourage-
ments, Clémence pour son soutien et enfin Madeleine pour sa patience.
François Havard
20 juin 2008
1Table des matières
Introduction 5
dChapitre 1. Moyennes sur les couronnes deR 13
1. Notation 13
2. Introduction et présentation 14
3. Cas de la dimension d = 1 15
4. Cas des dimensions d 2 25
5. Pour rompre la dichotomie. 37
Appendice 39
Lemme de Rokhlin dans le cas multidimensionnel 39
Réciproque du principe de Calderón 43
dChapitre 2. Moyennes sur les sphères deZ 47
1. Notation 47
2. Introduction et présentation 47
3. Théorème ergodique en moyenne et inégalité maximale 48
4. ergodique ponctuel 51
5. Présentation rapide du théorème de Magyar dans le cas général 70
Bibliographie 75
3Introduction
Ce travail s’inscrit dans le thème des théorèmes ergodiques pour des actions
d dde groupes multidimensionnelsR etZ . On y étudie les opérateurs de moyenne
d dsur les couronnes deR et les sphères deZ .
Dansunpremiertemps,onconsidèreunespaceprobabilisé (X;A;)surlequel
d
R agit en préservant la mesure. On note (T ) d cette action. Pour r > 0, lat t2R
couronne de rayon extérieur r et d’épaisseur (r) est,
dC :=ft2R jr (r)jtjrg;r
2 2 1=2oùjtj = (t + +t ) .1 d
+ +L’épaisseur est une fonction deR dansR telle que (r) r. On étudie le
comportement de la famille (A ) d’opérateurs de moyenne sur les couronnes,r r>0
définis par
Z
1
A ()(x) := (Tx) dt pour x2X;r t
jCjr Cr
oùjCj est le volume de la couronne de rayon r.r
On a cherché sous quelles conditions sur l’épaisseur et sous quelle condition
pd’intégrabilité L pour , la famille (A ) converge en moyenne ou presquer r>0
sûrement. On pourrait s’attendre à ce que des variations sur la fonction épaisseur
conduisent à des variations sur l’exposant critique p à partir duquel l’inéga-
lité maximale est satisfaite par les moyennes sur les couronnes. Cette attente est
infondée et il apparaît un phénomène de dichotomie : les moyennes sur les cou-
ronnes se comportent, suivant les propriétés de la fonction épaisseur, soit comme
les moyennes sur les boules, soit comme les moyennes sur les sphères.
Dans un second temps, on considère un espace probabilisé (X;A;) et une
famille commutative de transformations T = (T ;:::;T ) inversibles et qui pré-1 d
servent la mesure . On étudie le comportement des opérateursS de moyenner
dsur les sphères deZ définies, pour les r convenables, par
X1 m m1 dS (x) := (T :::T x) ; pour x2X:r 1 ddcardfm2Z jjmj =rg
jmj=r
56 INTRODUCTION
Dans cette seconde partie, on expose la démonstration du théorème ergodique
d pponctuel, qui affirme que pour d 5, pour tout p > , pour tout 2 L (X),
d 2
orthogonal au spectre rationnel, la famille (S ) converge -presque partout.r r>0
Avant de revenir à une exposition plus détaillée du contenu de ce mémoire,
nous présentons en quelques lignes « le thème des théorèmes ergodiques ».
La théorie ergodique est née d’une hypothèse faite en mécanique statistique
par Boltzmann (en théorie cinétique des gaz). Cette «hypothèse ergodique»pré-
suppose que la moyenne instantanée d’une mesure sur tout un espace de configu-
rations est égale à la moyenne de la mesure au cours du temps pour une
ration initiale générique.
On note X l’espace des phases et T : X! X la loi d’évolution. La loi d’évo-
lution permet d’associer à un état initial x de X, l’état du système à l’instant
2 3suivant T (x), puis T (T (x)) = T (x), T (x), Sur cet espace, on s’intéresse à
une mesure (température, pression,) que l’on note. A l’instant initial, cette
2mesure est donc (x), à l’instant suivant (T (x)), puis (T (x)),
D’après l’hypothèse ergodique,
2 N 1(x) +(T (x)) +(T (x)) + +(T (x))
N
(moyenne temporelle pour un système)
R
converge lorsque N tend vers l’infini vers (x)dx (moyenne spatiale).
X
Un système dynamique est la donnée d’un espace X et d’une application T
(souvent inversible). Dans le cas de la théorie ergodique on considère un espace
probabilisé (X;A;) et l’on suppose que T : X ! X est une application in-
versible qui préserve la mesure . En mathématiques, l’hypothèse ergodique est
la suivante : « Les seuls sous-ensembles de X invariants sous T possèdent une
mesure soit nulle, soit égale à la mesure totale de X ».
Soit une application complexe et intégrable surX etx2X. Un point de départ
PN 11 nde la théorie ergodique est l’étude du comportement de la suite (T (x))n=0N
lorsque N tend vers l’infini.
Puisque l’on suppose l’application T inversible, on peut aussi étudier ce qui se
passe avant le temps initial 0 et étudier l’opérateur de moyenne sur les boules de
Z,
P
N 11 n(T x):
2N 1 n= (N 1)
La convergence en moyenne pour ces opérateurs a été démontrée par von Neu-
mann et la convergence ponctuelle par Birkhoff. Énonçons ces deux résultats.INTRODUCTION 7
Théorème . Soit (X;A; ;T ) un système dynamique probabilisé ergodique.

PN 1p 1 nSoit p2 [1; +1[. Pour tout 2 L (X), la suite T converge
N n=0
N1R
pdans L vers (x) d (x).
X
Théorème . Soit (X;A; ;T ) un système dynamique probabilisé ergodique.

PN 11 1 nPour tout 2L (X), pour presque tout x de X, la suite (T x)n=0N
N1R
converge vers (x) d (x).
X
Le premier théorème, dans le casp = 2, se déduit aisément de la théorie spec-
trale des opérateurs unitaires sous sa forme la plus élémentaire.
Le second théorème, et plus généralement les théorèmes ergodiques ponctuels,
sont plus difficiles à obtenir que le théorème ergodique en moyenne. La démons-
tration se décompose classiquement en deux parties :
– ontrouveunefamilledensedefonctionspourlaquellelethéorèmeergodique
ponctuel est vérifié,
– on démontre une inégalité maximale.
On peut aussi s’intéresser, non pas à des moyennes prises à des instants discrets
mais à des moyennes le long d’un temps continu. Pour cela on doit supposer
que la loi d’évolution (T ) est un flot, c’est-à-dire une application mesurablet t2R
RX ! X
telle que
(t;x) 7! T (x)t
– Pour tout t 2 R, T est une transformation mesurable et préservant lat
mesure sur X,
2– T =Id et pour tous t;s2R , T T =T .0 t s t+s
Ce flot est dit ergodique si chaque sous-ensemble de X invariant par tous les Tt
est négligeable ou de complémentaire négligeable. Les moyennes ergodiques stan-
R RR R1 1dard pour le flot s’écrivent (T (x))dt ou (T (x))dt.t t2R R R 0
Théorème . Soit (X;A;) un espace probabilisé. Soit (T ) un flot ergo-t t2R
pdique. Soit p2 [1;1[. Pour tout 2L (X), la moyenne
Z R1
M (x) := (Tx)dtR t
2R R
R
pconverge vers (x)d (x)-presque partout et en norme L quandR tend vers
X
l’infini.
Ensuite, cette étude s’est étendue au cas des dimensions temporelles supé-
rieures, Wiener et d’autres se sont intéressés à la convergence des opérateurs de
dmoyenne, notés M , sur les boules deR (d 2),R
Z
1
+M (x) := (Tx)dt , pour R2R ;R tdvolft2R jjtjRg dft2R jjtj Rg8 INTRODUCTION
d
R X ! X
où est un flot,
(t;x) 7! T (x)t
dou sur les boules deZ ,
X1 mM (x) := (T x) pour N2N:N dcardfm2Z jjmjNg
dfm2Z jjmj Ng
où T = (T ;:::;T ) est une famille commutative de transformations inversibles1 d
m mm 1 det préservant la mesure, et T =T :::T .1 d
dLe théorème ergodique pour les moyennes sur les boules deR a été démontré
par Wiener.
Théorème . Soit (X;A;) un espace probabilisé. Soit (T ) d un flot ergo-t t2R
pdique. Soit p2 [1; +1[. Pour tout 2 L (X), la famille (M ) converge versRR
p(x) d (x) -presque partout et en norme L .
X
Ce théorème possède un lien fondamental avec le théorème de différentiation
dde Lebesgue qui affirme que, pour toute fonction f localement intégrable surR ,
dpour presque tout x2R ,
Z
1
lim f(x +t)dt =f(x):
d+R!0 volft2R jjtjRg dft2R jjtj Rg
Le lien entre le théorème de Wiener et le théorème de Lebesgue réside dans
l’inégalité maximale de Hardy-Littlewood qui constitue l’argument crucial pour
chacun des résultats.
Une abondante littérature s’est développée, dans le cadre des théorèmes de
différentiation et dans le cadre des théorèmes ergodiques, pour étendre ces résul-
dtats à d’autres types de moyenne, et à des actions d’autres groupes que Z ou
d
R .
Nous ne présentons pas ici un panorama de ces avancées, nous contentant d’une
référenceàuntraitéclassiquedethéorieergodique[P],autraitédeStein[ST2]et
à l’ouvrage collectif [TEAG] auquel nous avons participé. Le lecteur y trouvera
une présentation des résultats et méthodes classiques, et une abondante biblio-
graphie.
Steinetsescollaborateursontdéveloppéuneétudetrèscomplètedesmoyennes
dsur certaines hypersurfaces de R ou de leurs analogues à temps discret. Dans
cettethèsenousrappeleronsetutiliseronsleursrésultatsdanslecasleplussimple,
celui des sphères.
Voici une présentation un petit peu plus détaillée du contenu de ce mémoire.
Le premier chapitre est dédié à l’étude des opérateurs de moyenne sur les cou-
dronnes deR . On commence par considérer le cas particulier d = 1. Pour cela,INTRODUCTION 9
on vérifie que si l’épaisseur des couronnes tend vers +1, alors ces opérateurs
vérifient la condition de Følner ce qui entraîne le théorème ergodique en moyenne
pet donne l’existence d’une famille dense dans L (X) qui vérifie le théorème er-
godique ponctuel. Puis on étudie l’inégalité maximale et le théorème ergodique
ponctuel pour ces opérateurs. Pour cela, on reprend les idées de de Bellow, Jones
et Rosenblatt ([BJR]), qui ont fait cette étude dans le cas discret, et on l’étend
au cas continu. On obtient une caractérisation précise des fonctions épaisseur
pour lesquelles le théorème ergodique ponctuel est vérifié. Nous l’illustrons par
des exemples.
Ensuite, on examine le cas multidimensionnel. On suit la même démarche que
dans le cas de la dimension 1 : condition de Følner, théorème ergodique en
moyenne, inégalité maximale et enfin théorème ergodique ponctuel. Notre tra-
vail repose de façon essentielle sur les résultats connus pour les opérateurs de
moyenne sur les sphères. Ces opérateurs, introduits par Stein s’écrivent
Z
S (x) := (Tx)d (t)R t R
SR
doù S est la sphère de rayonR centrée en 0 et de rayon R et est la mesureR R
de probabilité uniforme sur cette sphère.
Ces moyennes sphériques (dont l’existence même nécessite une justification
non triviale) ont été étudiées par Stein, Bourgain, Jones et Lacey. Leurs résul-
tats sont soigneusement décrits dans [TEAG]. Le point essentiel est la valeur
de l’exposant d’intégration critique p = d=(d 1) pour la validité de l’inégalité
maximale et du théorème ergodique ponctuel.
Revenons à nos moyennes sur les couronnes : comme nous l’avons affirmé
précédement, il apparaît un phénomène de dichotomie.