One-dimensional few-boson systems in single- and double-well traps [Elektronische Ressource] / by Sascha Zöllner

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• Physik

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• Publié par: ruprecht-karls-universitat_heidelberg
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

Dissertation
submitted to the
Combined Faculties of the Natural Sciences and Mathematics
of the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
by
Dipl.-Phys. Sascha Zöllner
born in Magdeburg, Germany
Final exam:
July 17, 2008One-dimensional Few-boson Systems in
Single- and Double-well Traps
Referees:
Prof. Dr. Peter Schmelcher
Priv.-Doz. Dr. Thomas GasenzerEindimensionale Wenig-Bosonen-Systeme in Einzel- und Doppel-Topffallen. Gegenstand dieser Ar-
beit sind eindimensionale Systeme weniger Bosonen in einfach-harmonischen und Doppeltopf-Fallen.
Dabei liegt der Schwerpunkt auf dem Übergang von schwachen Wechselwirkungen hin zum Grenz-
fall starker Abstoßung, in dem das Bose-Gas auf ein ideales Fermi-Gas abgebildet werden kann. Zur
Beschreibung dieses Fermionisierungs-Übergangs dient eine hier entwickelte Exakte Diagonalisierung
und eine numerisch exakte Quantendynamik-Methode(MCTDH). Der Übergangs-Mechanismusfür den
Grundzustand besteht in der Ausbildung eines Zweiteilchen-Korrelationsloches und der anschließenden
Lokalisierung der einzelnen Teilchen, sobald diese sich hinreichend stark abstoßen. Dies schlägt sich
nieder in der Verringerung der Kohärenz. Es wird gezeigt, wie der konkrete Verlauf des Fermionisierungs-
Übergangs abhängt von der Fallen-Geometrie, der räumlichen Modulation der Wechselwirkung sowie
der Teilchenzahl. Darüber hinaus untersuchen wir die niedrigsten Anregungen des Systems. Deren Ver-
ständnis erweist sich als wesentlich für die Untersuchung der Tunnel-Dynamik weniger Bosonen. Diese
ändert ihren Charakter mit zunehmender Wechselwirkung von Einteilchen-Tunneln hin zu fragmentier-
tem Paar-Tunneln. Durch eine zusätzliche Potential-Differenz zwischen den Töpfen lassen sich zudem
einzelne Tunnel-Resonanzen ansteuern. Dies ermöglicht die kontrollierte Entnahme einzelner Atome.
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One-dimensional Few-boson Systems in Single- and Double-well Traps. This thesis studies the
one-dimensional Bose gas in harmonic and double-well traps from a few-body perspective. The main
emphasis is on the crossover from weak interactions to the fermionization limit of infinite repulsion,
where the system maps to an ideal Fermi gas. To explore the structure as well as the quantum dy-
namics throughout that crossover, we both develop an exact-diagonalization approach and resort to a
multi-configurational time-dependent method (MCTDH). The basic mechanism of the fermionization
crossover for the ground state is shown to consist in the formation of a correlation hole in the two-
body density, which culminates in a localization of the individual particles for strong repulsion. This
is accompanied by a reduction of coherence. We demonstrate how the concrete pathway depends on
the trap geometry, on the shape of the interaction, as well as on the atom number. By extension, we
also investigate the lowest excitations, whose understanding is a base for studying the impact of the
fermionization crossover on the tunneling dynamics in a double well. In symmetric wells, a pathway
from single-particle to fragmented-pair tunneling shows up. By energetically offsetting the two wells,
tunnel resonances become accessible, which may be used to extract single atoms.viContents
Introduction 1
1 Theoretical background 5
1.1 Fock-space formulation of many-body physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Fock-space formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Modeling the system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Trapping potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Effective interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Effective one-dimensional description . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Visualizing many-body states: Density matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Definition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Fock-space perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Soluble models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Bose-Fermi map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Lieb-Liniger model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 Two bosons in a harmonic trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Many-body methods for ultracold bosons 35
2.1 Overview of some approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Ab initio methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Approximative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Exact Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Preliminary remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Choice of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Matrix representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 Computational Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.5 Analysis aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Multi-Configuration Time-Dependent Hartree . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 Principal idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.3 Application of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
viiviii CONTENTS
3 Ground state 59
3.1 Model and scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.2 Parameter regimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Basic mechanism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 Harmonic trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Ground-state energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Inhomogeneous interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 Model interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2 Harmonic trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 Double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 One-particle correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 One-particle density matrix and long-range order . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Natural orbitals and their populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.3 Momentum distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Excitations 79
4.1 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Harmonic trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2 Double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Excited states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 Harmonic trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Crossover from single to double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Tunneling dynamics 89
5.1 Symmetric double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 From uncorrelated to pair tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2 Spectral analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.3 Role of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.4 Higher atom numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Asymmetric double well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Tunneling resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.2 Spectral analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Conclusion and outlook 103
A Simple models for double-well potentials 105
A.1 One-body problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.2 Many-body problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
List of abbreviations 110
Bibliography 111Introduction
In recent years, the research field of ultracold atoms has become highly popular, with an out- Ultracold atoms
reach extending far beyond atomic physics [1–3]. This is because ultracold atoms by now are
an incredibly flexible toolbox. For one thing, it has become possible to cool atoms (chiefly, but
not only, alkali gases) down to the regime of nano-Kelvin temperatures, where the de-Broglie
wavelength exceeds the inter-particle distance to the extent that the quantum-mechanical wave
features become crucial. This has been done drawing on a combination of different techniques
such as laser or evaporative cooling [1, 4]. Moreover, exploiting the atoms’ interaction with
electromagnetic fields, both their external an