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École Doctorale IAE + M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse présentée par
Christophe Profeta
pour l’obtention du
Doctorat de l’Université Henri Poincaré
Spécialité : Mathématiques
Pénalisations, pseudo-inverses et peacocks dans
un cadre markovien
Composition du jury :
Michel Émery Rapporteur Directeur de Recherche CNRS, Strasbourg
Francis Hirsch Examinateur Professeur émérite, Université d’Évry
Paavo Salminen Rapporteur Professeur, Université d’Åbo
Pierre Vallois Directeur de thèse Université Nancy I
Marc Yor Examinateur Professeur, Université Paris VI
Institut Élie Cartan Nancyi
Remerciements
Mes premières pensées sont adressées à Bernard Roynette qui a accepté de m’encadrer
depuis le DEA. Sa gentillesse, sa constante disponibilité et son inégalable enthousiasme ma-
thématique m’ont guidé pendant ces trois années et je l’en remercie sincèrement.
Pierre Vallois a accepté d’être mon directeur de thèse, tâche qui n’est pas des plus aisées.
Je n’ai pas vraiment pris le temps, en trois ans, de réfléchir à toutes les problématiques qu’il
a pu me soumettre, mais il est grand temps que je m’y mette à présent, et j’espère que sa
patience en sera récompensée!
Un grand merci à Michel Émery d’avoir accepté de rapporter cette thèse, malgré un em-
ploi du temps très chargé. J’ai été également très flatté que Paavo Salminen accepte d’être
rapporteur, malgré la barrière de la langue. Ses travaux ont eu beaucoup d’influence sur ce
manuscrit, et je lui suis vraiment très reconnaissant d’avoir fait le déplacement pour la sou-
tenance.
J’ai pu, au cours des ces trois années, côtoyer deux mathématiciens d’exception, que sont
Francis Hirsch et Marc Yor. Leur rigueur mathématique et leur ouverture d’esprit sont pour
moi des exemples, et je les remercie d’avoir accepté de faire partie de ce jury.
Il y a quelques années, alors jeune étudiant en école d’ingénieur, j’ai fait la connaissance
de trois enseignants qui m’ont, au travers de leur passion pour ce métier, ouvert les yeux
sur le monde de l’enseignement et de la recherche : Antoine Henrot, Samuel Herrmann et
Céline Lacaux. C’est en partie grâce à eux que ce manuscrit existe, et ces trois années à ensei-
gneràleurscôtés(del’autrecôtédelabarrière!)m’ontconvaincuquej’avaisfaitlebonchoix.
Un grand merci également à tous les membres de notre coin-coin des doctorants : en par-
ticulier mon co-bureau et camaraaaade Nicu, Juju le rouquin complexé du bureau d’à-côté,
Aurélien notre pessimiste invétéré, Fernando, Bertrand, Pau, Jo et tous ceux qui sont arrivés
par la suite. Cela aura été un véritable plaisir de passer ces 3 années à vos côtés!
Et finalement, une dernière pensée, mais non des moindres, pour mes deux boulets et
mes parents, qui m’ont toujours supporté même s’ils "n’y comprennent rien à ces trucs de
maths"...iiTable des matières
Introduction vii
Partie 1 : Pénalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Partie 2 : Pseudo-inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Partie 3 : Peacocks et martingales associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
I Pénalisations 1
1 Pénalisation d’une diffusion récurrente nulle 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Cadre et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Généralités sur la théorie de Krein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Enoncé simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

( ;a )
1.2 La famille de probabilités P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8x
x; ;a 0
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Quelques lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
( ;a )
1.2.4 Représentation intégrale deP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14x
1.3 La mesureW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Définition deW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Un générateur de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Un théorème général de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Estimation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Un théorème de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3 Retour sur quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Extension àR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Tableau comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Rt
1.5.2 Pénalisation par ( 1 du;t 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29fX >0gu0
2 Pénalisation d’une diffusion récurrente positive 39
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Enoncé des principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Etude asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iiiiv TABLE DES MATIÈRES
2.3 Démonstrations des résultats annoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Une famille de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Démonstration du théorème de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.3 Etude de la diffusion pénalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
L t2.3.4 Quelques remarques à propos de la pénalisation par (e ;t 0) . . 55
L t2.3.5 Rapide preuve de la pénalisation par (e ;t 0) . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Le principe d’itération des pénalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
( ) Lt2.4.1 Pénalisation deP par e ;t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58x
( ) Lt2.4.2 P deP par e ;t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59x
2.5 Application aux processus de Bessel de dimension 2]0; 2[ réfléchis en 1 . . . 60
2.5.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2 Le mouvement brownien réfléchi sur [0; 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II Pseudo-inverses 67
3 Existence de pseudo-inverses pour des diffusions 69
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 Ordre stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Pseudo-inverses pour un mouvement brownien avec dérive . . . . . . . . . . . 73
() +3.3 Etude d’une famille (X ) de diffusions à valeurs dansR . . . . . . . . 780
3.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 Une relation d’entrelacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.3 Existence d’un pseudo-inverse croissant lorsque = 0 . . . . . . . . . 84
+3.4 Existence de pseudo-inverses pour une diffusion à valeurs dans R issue de 0 87
3.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.2 La transformation de Biane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.3 Existence de pseudo-inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.4 Une seconde preuve de l’existence de pseudo-inverses . . . . . . . . . . 93
3.5 Quelques conséquences de de pseudo-inverses . . . . . . . . . . . . 94
3.5.1 Une nouvelle relation entre les processus X et X issus de 0 . . . . . . 94
3.5.2 Une relation de retournement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
()3.5.3 Retour sur la famille (X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970
III Peacocks et martingales associées 99
4 Exemples de peacocks dans un contexte markovien 101
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.2 Quelques exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.3 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 L’hypothèse de monotonie conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Exemples de processus conditionnellement monotones . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.1 Le processus ( X; 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 Les pro à accroissements indépendants . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3 Les diffusions “bien-réversibles” à temps fixe . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Une autre famille de peacocks markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 Ordre convexe et ordre stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Introduction
5 Plongements de Skorokhod 131
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Le plongement de Hall-Breiman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 Application à la recherche de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . 134p
5.2.3 Cas particulier lorsque A = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135t
5.3 Le plongement de Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.2 Une martingale associée à (’(B );t 0) pour ’ croissante et impaire 139tp
5.3.3 Martingales associées à ( tX;t 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 Le plongement d’Azéma-Yor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.2 Martingales associées à ((t;X);t 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146p
5.4.3 associées à ( tX;t 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.4 La condition de Madan-Yor (MY ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4.5 Cas d’une mesure à support dans ]1 ; 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.6 Des conditions équivalentes à (MY ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.7 Quelques conditions suffisantes pour (MY ) . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.8 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Références 171
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