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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
´Ecole Doctorale IAEM
Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
D.F.D. Math´ematiques
`THESE pr´esent´e par
Nicolae Cˆındea
en vue d’obtenir le titre de
´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE
Sp´ecialit´e : Math´ematiques.
Probl`emes inverses et contrˆolabilit´e avec applications en ´elasticit´e et IRM
soutenue le 29 Mars 2010
devant le jury compos´e de Messieurs les Professeurs :
Pr´esident du jury Jean-Pierre PUEL Universit´e de Versaille St Quentin
Raporteurs Philip BATCHELOR King’s College London
Emmanuel TRELAT Universit´e d’Orl´eans
Examinateurs Dominique CHAPELLE INRIA-Rocquencourt
Jacques FELBLINGER Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1
Directeurs de th`ese Marius TUCSNAK Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1
Pierre-Andr´e VUISSOZ Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1
´Institut Elie Cartan Nancy
Laboratoire Imagerie Adaptative Diagnostique et Interventionnelle (IADI)Probl`emes inverses et contrˆolabilit´e avec applications
en ´elasticit´e et IRM
Nicolae Cˆındea
29 Mars 2010Remerciements
Je tiens avant tout a` remercier les deux personnes qui ont dirig´e cette th`ese : Marius
Tucsnak et Pierre-Andr´e Vuissoz. Travailler avec eux fut un r´eel plaisir.
Je remercie Marius Tucsnak pour m’avoir guid´e dans le monde de la contrˆolabilit´e,
pour sa disponibilit´e et sa bon humeur. Commen¸cant avec le master, il m’a toujours
encourag´e.Seshautescomp´etencesp´edagogiquesetscientifiquesont´et´eessentiellespour
l’´elaboration de cette th`ese. Nos discussions, en langue roumaine, m’ont beaucoup aid´e
a` supporter le mal du pays. Pour tout cela, je ne l’en remercierai jamais assez.
Je remercie ´egalement Pierre-Andr´e Vuissoz pour m’avoir introduit gentiment `a
l’imagerie par r´esonance magn´etique. Il a fait preuve de beaucoup de patience et sens
p´edagogiqueduranttoutesnosr´eunionsdeslundisapr`es-midis.J’appr´ecieparticuli`erement
sa grande culture en imagerie et sa capacit´e de trouver un langage commun entre
math´ematiciens et m´edecins.
Magratitudevaa`PhilipBatcheloreta`Emmanuel Tr´elatpourm’avoirfaitl’honneur
d’accepter de rapporter cette th`ese. Leur remarques ont ´et´e pr´ecieuses.
Je remercie chaleureusement Dominique Chapelle, Jacques Felblinger et Jean-Pierre
Puel pour leur participation `a mon jury. Merci particuli`erement a` Jacques Felblinger
pour avoir suivis de pr`es mes travaux en IRM.
J’exprime ma reconnaissance a` Sorin Micu et `a Constantin Niculescu pour m’avoir
guid´e dans mes ´etudes et pour leur chaleureux accueils `a l’Universit´e de Craiova. Je
remercie ´egalement a` Ileana Costa pour m’avoir fait d´ecouvrir les math´ematiques.
Je souhaite aussi remercier tous les membres de IECN et de IADI pour m’avoir
accueilli comme coll`egue. Ces quatre derniers ann´ees ont ´et´e agr´eables.
Je remercie Christophe, mon coll`egue de bureau, pour son amiti´e. Merci ´egalement
Julien, Aline, Arnaud, Aur´elien, Fernando, Julie, Ghislain, Michael et Renaud pour nos
pausescaf´edetouslesjours.Ungrandmerci´egalementauxcoll`eguesdel’´equipeCorida:
Bertrand, Pauline, Yuning, Erica, Takeo, Mario et J´erˆome.
A mes amis ext´erieurs de l’universit´e Adrian, Irina, Oana,Claudia et Tom qui m’ont
aid´ea`faired’autreschosesquedesmath´ematiques.AmesamisroumainsFlorea,Mircea,
Emil, Cornel et Cristi pour tous les bons moments v´ecus ensembles.
Un merci tout particulier va a` Cristina, pour m’avoir support´e ces derni`eres ann´ees.
Enfin,jesouhaiteremercier mafamille:mesparents, masoeur, mesgrands-parents.
Mˆeme loin, ils ont toujours ´et´e `a mes cot´es. Je les remercie de tout mon coeur.
iiiTable des mati`eres
Introduction (en franc¸ais) 1
I Controlability and observability of some plate equations 25
1 Background of controllability and observability 27
1.1 Notions of exact controllability and exact observability . . . . . . . . . . 27
1.1.1 Gramians and controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.2 A simultaneous controllability result . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2 A spectral criterium for the exact observability . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Non-harmonic Fourier series and observability . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Internal exact observability of a perturbed plate equation 39
2.1 Introduction and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Two exact observability results for second-order perturbed systems . . . 40
2 22.2.1 Fromw¨+A w =0 to w¨+A w+aA w = 0 . . . . . . . . . . . . 4100 0
2 22.2.2 Fromw¨+A w =0 to w¨+A w+P w =0 . . . . . . . . . . . . . 4300 0
2.3 Proof of main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 A unique continuation result for bi-Laplacian . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Proof of Theorems 2.1 and 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Local exact controllability for Berger plate equation 57
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Exact controllability of an abstract second order perturbed system . . . . 59
1
2 2 2 23.3 Fromw¨+A w+aA w =B u to w¨+A w+(a+bkA wk )A w =B u . 630 0 0 00 0 0
3.4 Proof of main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 An approximation method for exact controls of vibrating systems 71
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Some background on exact controllability and uniform stabilization . . . 74
4.3 An approximation result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Proof of the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Examples and numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.1 The wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.2 The Euler-Bernoulli beam equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
vConclusion and perspectives 91
II Inverse problems in MRI 93
5 Introduction to cardiac MRI 95
5.1 Basic physics of magnetic resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.1 Nuclear spin resonance and Bloch equation . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.2 Image formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Motion problematic and cardiac MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 A moments problem in cardiac-respiratory MRI in free-breathing 103
6.1 Introduction to the cardiorespiratory MRI reconstruction problem . . . . 103
6.2 Theory of RKHS reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 Formulation of the cardiorespiratory-resolved imaging problem . . 105
6.2.2 ReconstructionasamomentprobleminreproducingkernelHilbert
spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.3 Specific RKHS for cardiac MRI application . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Materials and methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.1 Computer simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 MR experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4 Comparison of images obtained using different RKHS . . . . . . . . . . . 114
6.4.1 Computer simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.2 MR Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5 Extension to three-dimensional RKHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5.1 Materials and methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5.2 Results of three-dimensional RKHS recontruction . . . . . . . . . 122
6.6 Discussion and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Wave propagation seen by magnetic resonance imaging 127
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Proof of Theorem 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 Recovering the initial state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3.1 Forward and backward observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3.2 Iterative forward and backward observers . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.5 A perspective to MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Conclusion and perspectives to MRI inverse problems 139
Bibliography 140Table des figures
4.1 Thenormsofthesolutionofthecontrolledwaveequationwiththecontrol
1u givenby(4.16). IncontinuouslineisthenormH ofq(t)andindashedh 0
2line the norm L of q˙(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 The energy of the controlled wave equation solution at the time τ versus
the number of terms N in the approximation of the control u . . . . . . . 86h
4.3 (a)Thenormofthesolutionofthecontrolledbeamequation,withu=uh
5 5and the initial state q (x) =x (1−x) , q (x) =−q (x). (b) The energy0 1 0
of the solution of the controlled beam at time τ versus the number of
terms N in the approximation of u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89h
5 54.4 The approximation u with the initial state q (x) = x (1−x) , q (x) =h 0 1
−q (x) and the control time τ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
5.1 Motion of the nuclear spins placed in a external magnetic field B . The0
directionsofthevectorcanbeparalleloranti-parallelwiththedirection
of B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
5.2 MR signal detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Magnetic gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Numerical simulated phantom with a periodic motion. (a) Exact static
image. (b) Image with motion artifacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5 Two images cardiac from a healthy volunteer acquired in free-breathing.
(a) Image reconstructed using the method presented in Chapter 6. (b)
Image reconstructed by an inverse Fourier transform. . . . . . . . . . . . 100
5.6 Cardiac retrospective gating using ECG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Cardiac retrospective gating infree-breathing using ECG and respiratory
belt. (a) ECG and thoracic belt. (b) Normalized cardiac and respiratory
times for the line k = 64 of the k-space. All data included in a rect-y
angle are used for the reconstruction of one image for the coresponding
cardiorespiratory phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1 Cardiac-respiratory phantom. (a) Images of the numerical phantom sim-
ulating cardiac and respiratory motions at eight phases of motion. The
respiratory phase is denoted by s and the cardiac phase by t. (b) A
schematic description of the motion: the bold lines show the minimal
surface ofthephantom and the dashed lines, itsmaximal surface. Wede-
note by A the biggest ellipse and by B the smaller ellipse corresponding
to the heart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
vii