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Quelques problèmes d’optimisation de formes en sciences du vivant

De
181 pages
Sous la direction de Antoine Henrot
Thèse soutenue le 21 octobre 2008: Nancy 1
Dans cette thèse, nous nous demandons si certaines formes présentes dans la nature résultent de l'optimisation d'un critère. Plus précisément, nous considérons un organe ou une partie du corps humain et tentons de deviner un critère que la nature aurait pu chercher à optimiser. Nous résolvons alors le problème d'optimisation de formes résultant afin de comparer la forme obtenue, théoriquement ou numériquement, avec la forme réelle de l'organe. Si ces deux formes sont proches, on pourra en déduire que le critère est convaincant. Dans la première partie de cette thèse, nous considérons l'exemple d'une fibre nerveuse de type axone ou dendrite. Nous proposons deux critères pour expliquer sa forme. Le premier traduit l'atténuation dans le temps du message électrique traversant la fibre et le second l'atténuation dans l'espace de ce message. Dans notre choix de modélisation, nous distinguons deux types de fibres nerveuses : celles qui sont connectées au noyau de la cellule et celles qui sont connectées entre elles. Les problèmes correspondants se ramènent à la minimisation par rapport au domaine des valeurs propres d'un opérateur elliptique et d'une fonction de transfert faisant intervenir la trace sur le bord du domaine du potentiel électrique au sein de la fibre. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'optimisation de la forme d'un arbre bronchique ou d'une partie de cet arbre. Nous considérons un critère de type << énergie dissipée >>. Dans une étude théorique, nous prouvons tout d'abord que le cylindre n'est pas une conduite optimale pour minimiser l'énergie dissipée par un fluide newtonien incompressible satisfaisant aux équations de Navier-Stokes. Nous effectuons ensuite des simulations en deux et trois dimensions afin de tester numériquement si l'arbre bronchique est ou non optimal.
-équation des cables
-optimisation de formes
-symétrie dans les EDP
In this Ph.D thesis, we wonder whether some shapes observed in Nature could follow from the optimization of a criterion. More precisely, we consider an organ or a part of the human body and we try to guess a criterion that Nature could have tried to optimize. Then, we solve the resulting shape optimization problem in order to compare the shape obtained by a theoretical or a numerical way with the real shape of the organ. If these two shapes are similar, it may be deduced that the criterion is relevant. In the first part of this thesis, we consider the example of a nerve fiber of an axon or a dendrite kind. We propose two criterions to explain its shape. The first one stands for the attenuation throughout the time of the electrical message and the second one stands for the attenuation throughout the space of that message. In our choice of modeling, we distinguish two sorts of nerve fibers: these connected to the nucleus of the cell and these connected with two other fibers. The corresponding problems boil down to the minimization with respect to the domain of the eigenvalues of an elliptic operator and of a transfer function expressed with the trace of the electrical potential in the fiber on the boundary of the domain. The second part of this thesis is devoted to optimization of the shape of a bronchial tree or a part of that tree. We consider as a criterion the ``dissipated energy''. In a theoretical study, we foremost prove that the cylinder is not an optimal pipe to minimize energy dissipated by a newtonian incompressible fluid driven by a Navier Stokes system. Afterwards, we propose two and three dimensional simulations to verify numericaly if the bronchial tree is or not optimal.
Source: http://www.theses.fr/2008NAN10045/document
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École Doctorale IAEM
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
en Mathématiques
par
Yannick PRIVAT
Quelques problèmes d’optimisation de formes
en sciences du vivant
Thèse soutenue publiquement le 21 octobre 2008
Composition du jury
Directeur de Thèse : Antoine Henrot Professeur, École des Mines de Nancy
Rapporteurs : GrégoireAllaire Professeur, École Polytechnique
Eric Bonnetier Professeur, Université Joseph Fourier de Grenoble
Examinateurs : Benjamin Mauroy Chargé de recherches CNRS, Université Paris Diderot
BertrandMaury Professeur, Université Paris Sud
Jan Sokolowski Professeur, Université Henri Poincaré Nancy 1
Marius Tucsnak Professeur, Université Henri Poincaré Nancy 1
Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy CedexiiRemerciements
Au cours de ces trois années de thèse, j’ai pu compter sur l’aide et le soutien de personnes aux-
quelles je souhaite exprimer toute ma gratitude :
• Antoine Henrot, mon directeur de thèse. Malgré sa lourde charge de directeur de l’Institut,
il s’est toujours montré extrêmement disponible et m’a guidé avec beaucoup de gentillesse,
de compréhension et de professionnalisme dans ce long parcours que constitue le doctorat de
Mathématiques. Il m’a également fait partager son enthousiasme pour ce passionnant domaine
qu’est l’optimisation de formes, et je garderai un excellent souvenir de nos séances de travail
régulières.
• Benjamin Mauroy. Même s’il n’a pas été officiellement mon co-directeur de thèse, Benjamin
Mauroy a largement contribué à me former dans le domaine du numérique. Son expertise et
ses connaissances impressionnantes sur la simulation numérique du poumon ont été pour moi
une aide précieuse. Je suis très heureux de l’avoir rencontré au congrès de la SMAI 2007 et lui
suis extrêmement reconnaissant d’avoir accepté cette collaboration.
• Grégoire Allaire et Éric Bonnetier. Je suis très fier qu’ils aient tous deux accepté de
rapporter ma thèse. Je tiens à les remercier tout particulièrement pour les discussions très
constructives que nous avons eues et les remarques qu’ils m’ont faites, me permettant ainsi de
nettement clarifier et améliorer mon manuscrit.
• Bertrand Maury, Marius Tucsnak et Jan Sokolowski. C’est un grand honneur qu’ils me
font d’accepter de faire partie de mon jury de thèse.
• Toutes les personnes travaillant à l’Institut Élie Cartan. J’ai passé avec elles trois années très
agréables. Je pense tout particulièrement aux membres de l’équipe E.D.P., à Laurence, as-
sistante dévouée de l’équipe pour sa constante bonne humeur, aux jeunes thésards Bertrand,
Joseph et Pauline auxquels je souhaite bon courage pour mener à bien leurs travaux.
Je n’oublie pas non plus mes amis Alexis, Anne, Irène, Magali et Nicolas, qui me font le plaisir
de se déplacer de loin pour venir assister à ma soutenance. Je n’ai qu’un mot à leur dire : Merci!
Enfin, j’ai depuis toujours pu compter sur l’affection et le soutien de ma famille. Je pense, pour
ne pas les citer, à Romain, Mélanie, mes grands-parents (à ma grand-mère qui s’est éteinte cette
année, que j’auraistant souhaité voir dans l’assistance), avec unemention toute particulière pour
mes parents, que je ne remercierai jamais assez.
iiiivTable des matières
Notations 1
Introduction 3
I À la recherche de la forme d’une dendrite... 7
1 Le problème de la forme optimale d’une dendrite 9
1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Modélisation biologique du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Cas d’une dendrite connectée au soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Cas d’une dendrite connectée à d’autres fibres . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Présentation des problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Analyse des EDP du modèle 21
2.1 Recherche des solutions par la méthode de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Résolution complète de l’EDP (1.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1.1 Un résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1.2 Preuve du théorème 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Résolution complète de l’EDP (1.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2.1 Un résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2.2 Preuve du théorème 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Un mot sur la transformée de Laplace des solutions . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Analyse spectrale des problèmes (1.6) et (1.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Quelques outils fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Retour sur l’existence de solutions pour l’équation (1.6) . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Existence des suites (λ ) et (μ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32n n∈N n n∈N
vvi TABLE DES MATIÈRES
3 Étude du premier critère : atténuation temporelle 35
3.1 Compléments d’analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Étude du cas a≡a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
3.1.2 Placement des valeurs propres sur la droite des réels . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Estimation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Minimisation de λ (a) dansA , pour n≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45n a ,S0
3.2.1 Le cas de λ (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
3.2.2 Un changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 Calcul de la dérivée de forme de λ (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47n
3.2.4 Un problème auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.5 Monotonie de λ (ρ) par rapport à quelques paramètres . . . . . . . . . . . 522
3.2.6 Le cas de λ (a), avec n≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56n
3.2.7 Relaxation du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Minimisation de μ (a), pour n≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61n
3.3.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 Le cas de μ (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
3.3.3 Deux remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Étude du second critère : atténuation en espace 65
4.1 Minimisation de T(a) dans le cas d’une fibre connectée au soma . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Le résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Réécriture du critère T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.3 Existence de solutions et variations du critère T . . . . . . . . . . . . . . 681
4.1.4 Preuve du théorème 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Minimisation de T(a) dans le cas d’une fibre connectée à d’autres fibres . . . . . 76
4.2.1 Le résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2 Réécriture du critère T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.3 Preuve du théorème 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
II Quelques questions relatives à l’optimisation de la géométrie pulmo-
naire 81
5 Autour de la modélisation de l’arbre bronchique 83
5.1 Motivations et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 L’arbre bronchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 Un peu de bibliographie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86TABLE DES MATIÈRES vii
5.1.3 Notre démarche en optimisation de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Les modèles utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1 Choix du critère et du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2 Choix des entrées et des sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Vers les questions et problèmes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Quelle est la forme optimale d’un tuyau? 99
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1 Un cas très simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.2 Le modèle d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Formulation du problème d’optimisation de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Unrésultat d’existence danslaclasse desouverts ayant lapropriété deε-cône106
6.2.3 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Étude d’un problème adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.1 Calcul de la dérivée de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 Un résultat de symétrie pour le problème adjoint . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4 Preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.1 Condition d’optimalité du cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.2 Deux résultats intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.4.3 La preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5.1 Cas d’un écoulement de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5.2 Une propriété qualitative de l’optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.5.3 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Étude numérique du critère « énergie de dissipation » 137
7.1 Mise en œuvre et présentation de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.1.1 Quelques rappels sur la notion de Lagrangien augmenté en optimisation
de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.1.2 Mise en œuvre d’un algorithme de type gradient . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1.3 Un mot sur la technique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1.4 Zoom sur la première itération de l’algorithme du Lagrangien augmenté . 149
7.2 Quelques résultats numériques en 2 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2.1 Un cas test : optimisation d’un coude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2.2 Le cas du tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154viii TABLE DES MATIÈRES
7.2.3 Retour sur le problème de la modélisation de l’arbre bronchique . . . . . . 157
7.2.4 Optimisation de l’arbre bronchique : cas de l’expiration . . . . . . . . . . 160
7.2.5 Optimisation de l’arbre bronchique : cas de l’inspiration . . . . . . . . . . 161
7.3 Perspectives proches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Conclusion 165
Bibliographie 167Table des figures
1 À gauche, l’exemple d’un pipeline, et à droite, une reconstruction de la forme de
la trachée par imagerie médicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Schéma d’un neurone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Image de fluorescence d’un neurone marqué avec trois couleurs : un marqueur
présynaptique (bleu), un post-synaptique (rouge) et les récepteurs du glutamate
(vert). La couleur blanche à l’extrémité des épines dendritiques indique l’accumu-
lation de récepteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Géométrie à symétrie cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Modélisation d’une dendrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Schéma électrique équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Détermination graphique des valeurs propres dans le cas où a≡ a (Cas d’une0
fibre connectée au soma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Représentation des fonctions propres normalisées pour k.k (Cas d’une fibrea0
connectée au soma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Représentation de φ (Cas d’une fibre connectée au soma) . . . . . . . . . . . . . 381
3.4 Représentation des 4 premières fonctions propres (Cas d’une fibre connectée à
d’autres fibres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Représentation réels ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44n
3.6 Représentation du carré de la fonction propre w et construction de ξ et ξ . . . 512 1 2
3.7 Representation des fonctions ρ et ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54M ε1
3.8 Representation des fonctions ρ et ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55M ε1
3.9 Représentation de la suite minimisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Profil de l’optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1 Moulage du poumon par Ewald R. Weibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Quelques générations d’un arbre bronchique homogène simplifié (branches mères
et filles homothétiques et coplanaires, angle entre deux plans de branchement
successifs proche de 90˚) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Choix de E, Γ et S dans le cas d’un cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
ix