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◦N d’ordre : 3763
`THESE
pr´esent´ee a`
´L’UNIVERSITE BORDEAUX I
´ ´ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
par Jessie WELLER
pour obtenir le grade de
DOCTEUR
´ ´SPECIALITE : Math´ematiques Appliqu´ees et Calcul Scientifique
´ ` `REDUCTION DE MODELES PAR IDENTIFICATION DE SYSTEMES
ˆET APPLICATION AU CONTROLE DU SILLAGE D’UN CYLINDRE
Th`ese dirig´ee par M. Angelo IOLLO, Professeur
Soutenue le 14 janvier 2009 devant la commission d’examen :
M. Michel BERGMANN Charg´e de Recherche - INRIA Bordeaux Sud-Ouest
M. Charles-Henri BRUNEAU Professeur - Universit´e Bordeaux I
M. Florian DE VUYST Professeur - Ecole Centrale Paris Rapporteur
M. Angelo IOLLO Professeur - Universit´e Bordeaux I Directeur
M. Bernd R. NOACK Professeur - Universit´e Technique de Berlin
M. Jean-Pierre RAYMOND Professeur - Universit´e Toulouse III
M. Pierre SAGAUT Professeur - Universit´e Paris VI RapporteurR´eduction de mod`eles par identification de syst`emes
et application au contrˆole du sillage d’un cylindre
L’objectif est de construire un mod`ele d’´ecoulement qui se prˆete bien a` des probl`emes de
contrˆole, en associant un faible nombre de degr´es de libert´e a` la possibilit´e de d´ecrire la dyna-
mique d’un´ecoulement relativement complexe. Dans ce travail nous consid´erons un ´ecoulement
bidimensionnel laminaire autour d’un cylindre carr´e. Des actionneurs plac´es sur le cylindre per-
mettentuncontrˆole actif parsoufflageetaspiration. Cecontrˆole peutˆetred´efiniparr´etroaction,
exploitant des mesures de la vitesse dans le sillage du cylindre. Nous construisons un mod`ele
d’ordre r´eduit (ROM) des ´equations de Navier-Stokes incompressibles, bas´e sur la technique de
d´ecomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). Une fac¸on classique de construire un tel
mod`eleestder´ealiser uneprojection Galerkindes´equations surlesous-espacer´eduitobtenupar
POD. Un tel mod`ele peut cependant ˆetre peu pr´ecis, voire instable. Une technique de calibra-
tion est alors mise en place pour assurer la bonne repr´esentativit´e dynamique du mod`ele. Nous
d´efinissons ensuite une strat´egie pour mettre a` jour le mod`ele au cours d’un processus d’optimi-
sation. La m´ethode est enfin appliqu´ee pour r´eduire la diff´erence entre l’´ecoulement contrˆol´e et
la solution stationnaire instable a` Re=150.
Motscl´es:Contrˆole,POD,r´eductiondemod`eles,calibration,´ecoulementdesillage,contrˆole
proportionnel.
Model reduction by system identification
and application to the control of a cylinder wake
The aim is to build a flow model adapted for control applications combining a low number
of degrees of freedom with the possibility of describing relatively complex flows. In this work
a two-dimensional laminar flow past a square cylinder is considered. Actuators placed on the
cylinderenableactive control byblowingandsuction.Proportionalfeedbackcontrol canthenbe
applied using velocity measurements taken in the cylinder wake. The proper orthogonal decom-
position (POD)approach is usedto buildalow order modelof theincompressibleNavier-Stokes
equations. A classical way of obtaining aReduced-OrderModel (ROM) is to performaGalerkin
projection of the equations onto the subspace spanned by the POD modes. Such a model can
however be inaccurate, even unstable. A calibration technique is therefore applied, leading to a
model that is accurate and robust to variations of the control parameters. A strategy is then
defined to update the model within an optimisation loop. The method is tested atRe=150 for
reducing the difference between the actuated flow field and the steady unstable solution.
Key words : Control, POD, model reduction, wake flow, feedback control.Remerciements
Je tiens d’abord `a remercier Angelo Iollo, mon directeur de th`ese, dont la disponibilit´e, la
comp´etence et l’enthousiasme m’ont donn´e la motivation n´ecessaire pour compl´eter ce travail.
Je le remercie ´egalement d’avoir cr´e´e un environnement de travail exceptionnel, me permettant
de rencontrer des experts de mon domaine et de collaborer avec d’autres doctorants.
Je remercie les personnes qui ont pris le temps d’´etudier ce travail et ont apport´e des cri-
tiques constructives : mes rapporteurs de th`ese, Florian De Vuyst et Pierre Sagaut, ainsi que
les membres du Jury, Michel Bergmann, Charles-Henri Bruneau, Bernd Noack et Jean-Pierre
Raymond.
Cetravail n’auraitpas´et´e possiblesansl’aide etlasympathiedeplusieurspersonnes.Jesuis
notamment tr`es reconnaissante envers Maria Vittoria Salvetti et Simone Camarri pour l’accueil
que j’ai rec¸u `a l’Universit´e de Pise, et envers Marcelo Buffoni pour son amiti´e et ses patientes
explications.
Un grand merci a` mes amis th´esards, Delphine, Sylvain, Ludoet Benjamin pouravoir joyeu-
sement partag´e repas et rˆaleries.
Je remercie tout particuli`erement Edoardo Lombardi pour l’´echange d’id´ees autour de tr`es
nombreux caf´es, et toujours dans la bonne humeur.
Enfin, je remercie mes parents, Gwyneth et Pierre de m’avoir support´ee et encourag´ee pen-
dant ces ann´ees de doctorat.iiTable des mati`eres
Introduction 1
1 Techniques de r´eduction de mod`ele 5
1.1 R´eduction de mod`ele pour des syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 M´ethodes de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 M´ethodes dites de Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 M´ethodes empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Les types de param`etres consid´er´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Bases de Lagrange et d’Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 D´ecomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Alternatives aux m´ethodes POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Quelques probl´ematiques pour les bases empiriques . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Applications en optimisation et contrˆole d’´ecoulements . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Simulation num´erique de l’´ecoulement contrˆol´e 17
2.1 Pr´esentation du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Les ´equations du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Discr´etisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Configuration pour l’´etude du contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Description du domaine et des conditions au bord . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Justification du choix du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Contrˆole par actionneurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Impl´ementation des actionneurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Contrˆole par soufflage/aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Utilisation de capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Placements des capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Des capteurs pour un contrˆole PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Effet du contrˆole proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Mod`ele POD-ROM d’un ´ecoulement contrˆol´e 31
3.1 Construction des modes POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1 Cr´eation de la base de donn´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Rel`evement des conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3 Calcul des modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4 Reconstruction de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Le mod`ele r´eduit pour la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii3.2.1 Projection des ´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Int´egration du mod`ele r´eduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Techniques de calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Un ajustement du mod`ele POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Premi`ere approche : Calibration sur les ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Deuxi`eme approche : Calibration sur les dynamiques . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Un mod`ele vitesse-pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Un mod`ele r´eduit pour la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.2 Reconstruction des coefficients a´erodynamiques avec le mod`ele vitesse-
pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 R´eduction de mod`ele adapt´ee au contrˆole d’´ecoulement 55
4.1 Extension du mod`ele r´eduit au contrˆole par r´etroaction . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Int´egration en temps du mod`ele en r´etroaction . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.2 Le mod`ele calibr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 La calibration sur plusieurs dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 R´egion de validit´e du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 Construction d’une base de donn´ees multi-contrˆole . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.3 Efficacit´e des mod`eles multi-dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Applications au contrˆole d’´ecoulement 65
5.1 Formulation du probl`eme du probl`eme de contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.1 D´efinition de la fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2 D´efinition des param`etres d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.3 Algorithme d’optimisation par mod`ele r´eduit . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.4 Initialisation du probl`eme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Une loi de contrˆole pr´ecalcul´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1 R´esolution du probl`eme de contrˆole r´eduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2 Les difficult´es d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Contrˆole par r´etroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.1 R´esolution du probl`eme de contrˆole r´eduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.2 Application au contrˆole proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.3 Effet du contrˆole en temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Conclusion 83
Annexe 85
A Le calcul des modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B M´ethodes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.1 Application aux ´equations du mod`ele r´eduit . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B.2 Application au probl`eme de calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C R´esultats de contrˆole suppl´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bibliographie 93
iv