Regularization of linear ill-posed problems in two steps [Elektronische Ressource] : combination of data smoothing and reconstruction methods / von Esther Klann

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• Publié par: universitat_bremen
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Deutsch
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Regularization of Linear Ill-posed Problems
in Two Steps:
Combination of Data Smoothing and
Reconstruction Methods
von Esther Klann
Dissertation
zur Erlangung des Grades einer Doktorin der Naturwissenschaften
{ Dr. rer. nat. {
Vorgelegt im Fachbereich 3 (Mathematik & Informatik)
der Universit at Bremen
im Oktober 2005Regularization of Linear Ill-posed Problems
in Two Steps:
Combination of Data Smoothing and
Reconstruction Methods
von Esther Klann
Dissertation
zur Erlangung des Grades einer Doktorin der Naturwissenschaften
{ Dr. rer. nat. {
Vorgelegt im Fachbereich 3 (Mathematik & Informatik)
der Universit at Bremen
im Oktober 2005Datum des Promotionskolloquiums: 11.01.2006
Gutachter: Prof. Dr. Peter Maa , Universit at Bremen
PD Dr. habil. Ronny Ramlau, Johann Radon Institute
for Computational and Applied Mathematics (RICAM), LinzZusammenfassung
Diese Arbeit ist ein Beitrag zum Themengebiet schlechtgestellte inverse
Probleme. Dieses Gebiet ist seit etwa vier Jahrzehnten Gegenstand mathe-
matischer Forschung. In den letzten zehn Jahren gab es folgende Entwick-
lung: Neben operatorangepassten L osungsverfahren werden zunehmend sol-
che Verfahren betrachtet, die insbesondere Glattheitseigenschaften von Funk-
tionen beruc ksichtigen.
Die vorliegende Arbeit schlie t an diese Entwicklung an. Es werden Zwei-
Schritt-Verfahren zur L osung von linearen schlechtgestellten inversen Prob-
lemen eingefuhrt und untersucht. Die generelle Idee von Zwei-Schritt-Ver-
fahren besteht darin zun achst eine Datensch atzung von m oglicherweise ver-
rauschten Messdaten vorzunehmen und dann ausgehend von den gesch atzten
Daten das inverse Problem zu l osen.
Neben der allgemeinen Darstellung von Zwei-Schritt-Verfahren werden zwei
konkrete Realisierungen analysiert. Zum einen werden klassische Regu-
larisierungsverfahren wie die von Tikhonov oder Landweber eingefuhrten
Methoden als Zwei-Schritt-Verfahren interpretiert. Von diesen klassischenden ist bekannt, dass sie in der Regel zu stark gl atten. Die Interpre-
tation als Zwei-Schritt-Verfahren erkl art diese Eigenschaft. Darub er hinaus
werden die klassischen Methoden modi ziert, so dass durch einen Parame-
ter direkt Ein uss auf die St arke der Gl attungseigenschaften des Verfahrens
genommen werden kann. Die Ordnungsoptimalit at bleibt dabei fur einen
bestimmten Parameterbereich erhalten.
Zum anderen wird die Kombination von Wavelet Shrinkage und klassischen
Regularisierungsverfahren untersucht. Es ergibt sich dadurch ein ordnungs-
optimales Verfahren, das sowohl an Glattheitseigenschaften von Funktionen
in Sobolev- und Besovr aumen angepasst ist, als auch das singul are System
des Operators beruc ksichtigt. Weiter wird gezeigt, dass auch die Kombina-
tion von Wavelet Shrinkage und den modi zierten klassischen Verfahren {
mit vergr o ertem Parameterbereich { ordnungsoptimal ist.
Die Kombination von Wavelet Shrinkage und Tikhonov Regularisierung wird
auf ein Problem aus der medizinischen Bildverarbeitung angewendet.
iiiAbstract
This thesis is a contribution to the eld of ill-posed inverse problems. This
eld has been in the focus of mathematical research for the past four decades.
During the last ten years a new development has taken place: Besides
operator-adapted methods for the solution of inverse problems also methods
adjusted to smoothness properties of functions are studied.
The thesis at hand is linked to this development. Its intention is to present
and analyze two-step methods for the solution of linear ill-posed problems.
It is the fundamental idea of a two-step method to perform rst a data
estimation step of probably noisy data and then to perform a reconstruction
step to solve the inverse problem using the data estimate.
Besides the general description of two-step methods two realizations are
analyzed. On the one hand classical regularization methods like the ones
proposed by Tikhonov or Landweber are interpreted as two-step methods.
It is well-known that solving inverse problems by classical regularization
methods generally results in an oversmoothing. This e ect is explained by
the two-step approach. Furthermore the classical methods are modi ed such
that a parameter allows to control the amount of smoothing. For a certain
range of this parameter the modi ed method is order optimal.
On the other hand the combination of wavelet shrinkage and classical regu-
larization methods is analyzed. This yields an order optimal method which
is, by the use of wavelet shrinkage, adapted to smoothness properties of func-
tions in Sobolev and Besov spaces and, by the use of the singular system,
adapted to the operator under consideration. In addition it is shown that
the combination of wavelet shrinkage and the modi ed classical methods {
with a greater parameter range { is order optimal.
The combination of wavelet shrinkage and Tikhonov regularization is applied
to a problem from medical imaging.
iiiiv
I would like to thank:
Prof. Dr.Peter Maa and PD Dr.Ronny Ramlau for supervision, sup-
port and motivation in writing this thesis.
All the people from the \Zentrum fur Technomathematik" for mathe-
matical and technical support, especially the whole \AG Technomath-
ematik" for a very good working atmoshpere and the nice time I had.
My colleagues Jenny Niebsch, Caroline B o , Mascha Zhariy, Math-
ias Lindemann, Lutz Justen, Kristian Bredies, Dirk Lorenz, Henning
Thielemann and Gerd Teschke for support, advices and discussions -
both mathematically and personally.
Esther Klann
Zentrum fur Technomathematik
Universit at Bremen
Zentrum für
TechnomathematikContents
1 Introduction 1
2 Basics on Inverse Problems and Regularization 9
2.1 Ill-posed Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Solving Ill-posed Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Measuring Reconstruction Errors . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Degree of Ill-posedness and Optimality . . . . . . . . . 14
2.3 Classical Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Regularization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Order Optimality for Regularization Methods . . . . . 25
2.4 Rates for -spaces and Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . 29
3 Data Estimation 31
3.1 Regularization of the Sobolev Embedding Operator . . . . . . 31
3.2 Data Estimation by Wavelet Shrinkage . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Wavelet Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Wavelet Shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Data Estimation by Classical Regularization . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Tikhonov Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 Landweber Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Two-step Regularization Methods 57
4.1 Reduced Classical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Reduced Tikhonov Method . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Landweber Method . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.3 Numerical Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Regularization and Wavelet Shrinkage . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.1 Auxiliary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Optimal Convergence Rate . . . . . . . . . . . . . . . 76
vvi CONTENTS
4.2.3 Generalization of Reconstruction Methods . . . . . . . 82
5 Examples and Application 87
5.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 Integration Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2 Radon Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Single Photon Emission Computerized Tomography . . . . . . 93
5.2.1 Description of the Technology . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.2 Mathematical Background . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Summary and Outlook 109
A Review of Stochastic 113
A.1 Basic De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.1.1 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.1.2 Families of Random Variables, Independence . . . . . 115
A.2 White Noise Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2.1 A Formal Representation of White Noise . . . . . . . 118
Bibliography 118