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Representation theory of unipotent linear algebraic groups and a generalized Kirillov theory for a class of nilpotent groups [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Helma Klüver

158 pages
Helma C. Kluver¨Representation theory ofunipotent linear algebraic groupsanda generalized Kirillov theory fora class of nilpotent groups2006MathematikDissertationsthemaRepresentation theory ofunipotent linear algebraic groupsanda generalized Kirillov theory fora class of nilpotent groupsInaugural-Dissertationzur Erlangung des Doktorgradesder Naturwissenschaften im FachbereichMathematik und Informatikder Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat¨der Westfalischen Wilhelms-Universitat Munster¨ ¨ ¨vorgelegt vonHelma Kluver¨aus Neumunster¨-2006-Dekan: Prof. Dr. Dr. h.c. Joachim CuntzErster Gutachter: Prof. Dr. Siegfried EchterhoffZweiter Gutachter: Prof. Dr. Markus ReinekeTag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 26.01.07Tag der Promotion: 26.01.07AbstractThis thesis is concerned with two different subjects in the field of representationtheory of nilpotent locally compact groups. The first part deals with the structuretheory of abelian unipotent linear algebraic groups over a local field K of charac-teristic p, which are treated as abstract topological groups. The finite-dimensionalWitt groups over K form a large class of these groups.The first main result is that every such Witt group,W (K), can be decomposed intona discrete and a compact part, each being the dual of the other. This implies thatthe topological group W (K) is isomorphic to its dual group, i.e., to its group ofncharacters.
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Helma C. Kluver¨
Representation theory of
unipotent linear algebraic groups
and
a generalized Kirillov theory for
a class of nilpotent groups
2006Mathematik
Dissertationsthema
Representation theory of
unipotent linear algebraic groups
and
a generalized Kirillov theory for
a class of nilpotent groups
Inaugural-Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften im Fachbereich
Mathematik und Informatik
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat¨
der Westfalischen Wilhelms-Universitat Munster¨ ¨ ¨
vorgelegt von
Helma Kluver¨
aus Neumunster¨
-2006-Dekan: Prof. Dr. Dr. h.c. Joachim Cuntz
Erster Gutachter: Prof. Dr. Siegfried Echterhoff
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Markus Reineke
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 26.01.07
Tag der Promotion: 26.01.07Abstract
This thesis is concerned with two different subjects in the field of representation
theory of nilpotent locally compact groups. The first part deals with the structure
theory of abelian unipotent linear algebraic groups over a local field K of charac-
teristic p, which are treated as abstract topological groups. The finite-dimensional
Witt groups over K form a large class of these groups.
The first main result is that every such Witt group,W (K), can be decomposed inton
a discrete and a compact part, each being the dual of the other. This implies that
the topological group W (K) is isomorphic to its dual group, i.e., to its group ofn
characters. As a consequence we obtain that every abelian unipotent K-split group
is topologically isomorphic to its dual group.
In the second chapter we develop a version of Kirillov theory that can be applied
to a wide class of locally compact nilpotent groups, including nilpotent groups of
characteristic 0, such as connected, simply connected nilpotent Lie groups and p-
adic unipotent linear algebraic groups, and a large class of unipotent linear algebraic
groupsoverlocalfieldsofcharacteristicp. Thekeyconceptisthenotionofanilpotent
k-Lie pair (G,g), k ∈N. This serves as a substitute for the Lie algebra g of a Lie
groupGanditcontainssuitableadditionalstructuretoobtainareasonabledefinition
∗of a dual space g of g. Given such a structure, the Kirillov-orbit map associates
∗with a quasi-orbit of the coadjoint action ofG on the dual g a primitive ideal of the
∗group C -algebra of G.
The second main result is that this Kirillov-orbit map establishes a homeomorphism
∗between the quasi-orbit space and Prim(C (G)) for everyk-Lie pair (G,g) satisfying
some additional property.Zusammenfassung
In dieser Arbeit werden zwei verschiedene Themen aus der Darstellungstheorie
nilpotenter lokalkompakter Gruppen behandelt. Im ersten Kapitel wird die Struktur
von abelschen unipotenten linearen algebraischen Gruppen uber einem lokalen Kor-¨ ¨
perK der Charakteristikp untersucht. Eine große Klasse dieser Gruppen bilden die
endlich-dimensionalen Witt-Gruppen u¨ber K.
Das erste Hauptergebnis ist, dass sich jede solche Witt-Gruppe W (K) in einenn
diskreten und einen kompakten Teil zerlegen la¨ßt, die zueinander dual sind. Dieses
Resultat wird dann verwendet, um zu zeigen, dass jede abelsche unipotente K-split
Gruppe topologisch isomorph zu ihrem Dual ist.
Im zweiten Kapitel entwickeln wir eine Version der Kirillov-Theorie und zeigen,
dass diese auf eine große Klasse lokalkompakter nilpotenter Gruppen angewendet
werden kann; dazu gehoren nicht nur nilpotente Gruppen der Charakteristik 0,¨
wie zusammenha¨ngende, einfach zusammenha¨ngende nilpotente Lie Gruppen und
p-adische unipotente linear algebraische Gruppen, sondern auch eine große Klasse
von unipotenten linear algebraischen Gruppen uber lokalen Korpern der Charakte-¨ ¨
ristik p. Ein wichtiges Konzept ist der Begriff eines nilpotenten k-Lie-Paares (G,g),
k ∈N. Dieses dient als Ersatz fur die Liealgebra g einer Liegruppe G und erlaubt¨
∗uns insbesondere, einen Dualraum g von g zu definieren. Fu¨r jedes nilpotente k-
Lie-Paar (G,g) erhalten wir dann eine Kirillov-Abbildung, die jeder Quasi-Bahn der
∗ ∗koadjungierten Wirkung von G auf g ein primitives Ideal der Gruppen-C -Algebra
von G zuordnet.
Das zweite Hauptergebnis dieser Arbeit ist, dass fu¨r jedes nilpotente k-Lie-Paar,
welches eine zusa¨tzliche Bedingung erfu¨llt, diese Kirillov-Abbildung ein Hom¨oomor-
phismus ist.Danksagung
An erster Stelle mochte ich mich ganz herzlich bei meinem Doktorvater Prof. Dr.¨
Siegfried Echterhoff bedanken. Er hat mich an das interessante Gebiet der Darstel-
lungstheorie herangefuhrt und mir bei der Losung vieler Fragestellungen geholfen.¨ ¨
Danke, Siegfried, dass Du Dir immer soviel Zeit fur Diskussionen genommen hast¨
und mich immer wieder motiviert hast.
Bei meinem Zweitkorrektor Prof. Dr. Markus Reineke mochte ich mich fur die¨ ¨
große Unterstu¨tzung bedanken. In vielen gemeinsamen Besprechungen hat er mir
geduldigalgebraischeKonzepteerklartundwertvolleHinweisegegeben. Meinbeson-¨
derer Dank gilt außerdem Prof. Dr. Fritz Grunewald von der Universita¨t Du¨sseldorf.
ErhatimmeranmeinWittgruppen-ProjektgeglaubtundmirdurchseineSichtweise
und Vorschla¨ge ein neues, entscheidenes Versta¨ndnis des Sachverhaltes vermittelt.
Ich hatte das Gluck, am Sonderforschungsbereich SFB 478“Geometrische Struk-¨
turen in der Mathematik”ta¨tig zu sein, der mir ein optimales Umfeld fu¨r die Pro-
motion bot. Ich habe mich immer sehr wohl gefu¨hlt und bedanke mich bei Walther
Paravicini, Frank Malow und Robert Fischer fur die freundschaftliche Zusammenar-¨
beit in unserer Arbeitsgruppe. In unserem“kleinen Seminar”habe ich viel gelernt
und zahlreiche nutzliche Anregungen fur meine Arbeit erhalten. Außerdem mochte¨ ¨ ¨
ich mich bei meinen Freunden und Kollegen des Fachbereiches Mathematik der Uni-
versitat Munster fur die vielen Diskussionen und Gesprache bedanken, speziell bei¨ ¨ ¨ ¨
Thomas Timmermann, Sylvain Maugeais und Wilhelm Winter. Ganz besonders be-
dankeichmichbeiChristianVoigtundRobertYuncken, diemeineArbeitKorrektur
gelesenhabenundmirmitvielennu¨tzlichenVerbesserungsvorschla¨genweitergeholfen
haben.
Und zum Schluss bedanke ich mich bei meinem Freund Markus Trahe - Du hast
mir in den letzten Jahren immer zur Seite gestanden und mir, besonders in schwieri-
gen Zeiten, viel Kraft und Energie gegeben!

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