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Rotations dans les espaces discrets 2D et 3D, Rotations in 2D and 3D discrete spaces

De
122 pages
Sous la direction de Michel Couprie
Thèse soutenue le 22 septembre 2010: Paris Est
Cette thèse présente une étude sur les rotations dans les espaces discrets en 2 dimensions et en 3 dimensions. Dans le cadre de l'informatique, l'utilisation des nombres flottants n'est pas recommandée du fait des erreurs de calculs que cela implique. Nous avons donc fait le choix de nous concentrer sur les espaces discrets. Dans le domaine de la vision par ordinateur, la rotation est une transformation requise pour de nombreuses applications. L'utilisation de la rotation continue discrétisée donne des résultats de mauvaise qualité. Pour cette raison, il est nécessaire de développer de nouvelles méthodes de rotation adaptées aux espaces discrets. Nous nous sommes principalement intéressés aux angles charnières qui représentent la discontinuité de la rotation dans les espaces discrets. Dans ces espaces, deux rotations d'une image avec deux angles très proches peuvent donner le même résultat, ce qui est capturé par les angles charnières. L'utilisation de ces angles permet de décrire une rotation qui donne les mêmes résultats que la rotation continue discrétisée tout en n'utilisant que des nombres entiers. Ils permettent aussi de définir une rotation incrémentale qui décrit toutes les rotations possibles d'une image digitale donnée. Les angles charnières peuvent être étendus dans les espaces discrets en trois dimensions. Pour cela, on définit les multi-grilles qui sont des plans de rotations contenant trois ensembles de droites parallèles. Elles représentent les discontinuités de la rotation en 3D. Les multi-grilles permettent d'obtenir les mêmes résultats en 3D que ceux obtenus en 2D
-Rotation
-Rotation discrète
-Géométrie discrète
-Angle charnière
-Multi-grille
This thesis presents a study on rotation in 2 dimensional and 3 dimensional discrete spaces. In computer science, using floating numbers is problematic due to computation errors. Thus we chose during this thesis to work only in discrete space. In the field of computer vision, the rotation is a transformation required for many applications. Using discretized Euclidean rotation gives bad results. Then, it is necessary to develop new rotation methods adapted to the discrete spaces. We mainly studied the hinge angles that represent the discontinuity of the rotation in the discrete space. Indeed, it is possible to perform two rotations of the same digital image with two angles that are slightly different and obtain the same result. This is captured by hinge angles. Using these angles allow us to describe a discrete rotation that gives the same results than the discretized Euclidean rotation without using floating numbers. They also allow describing an incremental rotation that performs all possible rotations of a given digital image. Using hinge angles can also be extended to the rotations in 3 dimensional discrete spaces. The extension requires the multi-grids that are rotation planes containing three sets of parallel lines. These parallel lines represent the discontinuities of the rotation in 3D discrete space. Thus they are useful to describe the hinge angles in rotation planes. Multi-grids allow obtaining the same results in 3D discrete rotations than the results obtained in 2D discrete rotations. This thesis presents a study on rotation in 2 dimensional and 3 dimensional discrete spaces. In computer science, using floating numbers is problematic due to computation errors. Thus we chose during this thesis to work only in discrete space. In the field of computer vision, the rotation is a transformation required for many applications. Using discretized Euclidean rotation gives bad results. Then, it is necessary to develop new rotation methods adapted to the discrete spaces. We mainly studied the hinge angles that represent the discontinuity of the rotation in the discrete space. Indeed, it is possible to perform two rotations of the same digital image with two angles that are slightly different and obtain the same result. This is captured by hinge angles. Using these angles allow us to describe a discrete rotation that gives the same results than the discretized Euclidean rotation without using floating numbers. They also allow describing an incremental rotation that performs all possible rotations of a given digital image. Using hinge angles can also be extended to the rotations in 3 dimensional discrete spaces. The extension requires the multi-grids that are rotation planes containing three sets of parallel lines. These parallel lines represent the discontinuities of the rotation in 3D discrete space. Thus they are useful to describe the hinge angles in rotation planes. Multi-grids allow obtaining the same results in 3D discrete rotations than the results obtained in 2D discrete rotations
-Rotation
-Discrete rotation
-Digital geometry
-Hinge angle
-Multi-grid
Source: http://www.theses.fr/2010PEST1042/document
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ANDRÈS
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Lauren
P
COUPRIE
ARIS-EST
de
École
the
Do
oratoire
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REVEILLÈS
MSTIC
Y
Rotations
SUGIMOTO
in
conférences
2D
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3D
Gaspard-Monge
discrete
hel
spaces
Professeur
b
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y
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THIBA
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Professeur
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Maître
Y
bre
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2010
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P
b
Lab
y
d'informatique
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KENMOCHI
Jean-Pierre
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KENMOCHI
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Akihiro
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FUCHS
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t
ctor
de
in
Septem
computer
22nd
science
in
UNIVERSITÉ
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011Grand
Blaise
ESIEE-P
Thesis
Descartes,
prepared
Gaspard
in
2,
Univ
ascal,
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Noisy
P
Cedex
ARIS-EST
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Équip
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A3SI
P
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Cité
Lab
BP99
oratoire
le
d'Informatique
l'Institut
de
i
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011the
del
c
p
et
ensé.
wil
En
the
anglais,
a
il
oximate
existe
omputer
le
lenge
verb
gar
e
.
"to
numb
r
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omp
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diameter
fr
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ançais
discr
son
T
é
nd
quivalent
as
ser
elieve
ait
famous
le
etic
verb
exact
e
r
r
the
otationner,
or
sa
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dénition
only
ser
ete
ait
cle,
eectuer
or
ou
omp
faire
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eectuer
c
une
e
rotation
of
.
scienc
Cep
so
endant
esent
le
p
verb
we
e
ds
"r
is
otationner"
er
n
the
'existe
mathematic
p
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of
dans
however,
la
esentation
langue
cle
fr
ound
ançaise.
op
Et
a
p
p
ourtant,
a
il
c
tourne.
an
The
value
discr
whatever
ete
the
ge
size
ometry
op
is
pr
to
the
classic
In
al
e,
ge
oximation
ometry
d
what
r
the
always
language
appr
is
day,
to
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thought,
c
i.e.
is
an
metho
imp
c
erfe
r
ct
e
me
ly
ans
R
to
ge
r
ongly
epr
these
esent
elong
the
example
r
ometry.
e
numb
ality.
ge
It
The
to
or
ok
al
c
mo
enturies
supp
for
an
the
value
language
this
to
er,
evolve
the
in
epr
a
of
way
cir
almost
on
c
gr
ap
with
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r
to
e
faithful
on
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she
describ
of
e
ap
our
by
though.
c
T
ass
o
an
day
give
the
appr
discr
d
ete
of
ge
,
ometry
the
tries
of
to
cir
do
the
the
of
same
r
thing
e
with
the
the
e
c
of
ontinuous
c
ge
ass.
ometry.
c
The
scienc
c
for
ontinuous
appr
ge
of
ometry
use
is
during
a
omputations,
mathematic
esults
al
l
mo
b
del
an
that
oximation.
c
o
annot
one
b
the
e
chal
c
in
orr
omputer
e
e
ctly
to
or
new
exactly
ds
r
that
epr
omputers
o
an
duc
epr
e
r
d
ality
in
faithful
the
as
r
ossible.
e
e
al
ding
world
ometry,
and
str
in
b
c
that
omputer
metho
scienc
b
e.
to
A
the
simple
Petite
π
π
π
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011Philosoph
Do
THIBA
P
ctor
ARIS-EST
b
A
T
bstr
ohan
act
of
P
y
aris-Est
y
Lab
UL
oratoire
Y
d'informatique
Gaspard-Monge
UNIVERSITÉ
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011rotation
L'utilisation
et
thèse
tin
présen
tée
te
dans
une
Ces
étude
dénit
sur
ceux
les
sommes
rotations
représen
dans
hes
les
que
espaces
les
discrets
harnières
en
ensem
2
plans
et
l'in
3
l'art
dimensions.
emen
Un
t
espace
la
discret
a
est,
particularité
par
décrire
opp
a
osition
une
à
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un
de
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en
con
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tin
ten
u,
à
un
t
espace
autour
b
discrets
orné
c
a
des
v
sur
ec
dans
un
Nous
nom
angles
bre
discon
ni
espaces
de
deux
p
angles
oin
le
ts.
les
En
particuliers
informatique,
donne
les
tin
espaces
aux
con
t
tin
tale
us
d'une
n'existen
ossible
t
y
pas
L'utilisation
;
dans
en
our
eet,
qui
même
con
l'utilisation
parallèles.
de
tin
nom
serv
bres
c
ottan
m
ts
résultats
ne
2D.
p
hapitres
ermet
probléma-
qu'une
dans
appro
hapitre
ximation
te
grossière
d'une
du
nous
con
concen
tin
dév
u.
des
Les
espaces
données
leur
utilisées
sommes
dans
téressés
le
harnières
cadre
t
de
uité
l'informatique
dans
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En
t
espaces,
le
d'une
plus
ec
souv
pro
en
eut
t
résultat.
en
capturée
tières.
c
P
ces
ar
ermet
exemple,
rotation
une
mêmes
image
rotation
n
discrétisée
umérique
oir
n'est
ottan
comp
p
osée
de
que
incré-
de
décrit
p
p
oin
n
ts
hose
à
le
co
car
ordonnées
une
en
p
tières
angles
et,
eut-être
p
espaces
our
dimensions.
la
faire,
couleur,
m
à
t
v
rotations
aleurs
t
en
de
tières.
droites
De
les
plus
de
l'utilisation
3D.
des
t
nom
les
bres
dans
ottan
rotations.
ts
p
p
les
our
3D
appro
us
c
thèse
her
cinq
le
plus
con
duction
tin
des
u
des
p
espaces
ose
le
des
.
problèmes
2
de
état
précision.
rotations
P
tation
our
thèse,
ces
nous
raisons,
donc
nous
trés
a
le
v
elopp
ons
t
c
rotations
hoisi
les
duran
discrets
t
sur
cette
compréhension.
thèse
nous
de
principalemen
nous
in
concen
aux
trer
c
sur
qui
les
ten
espaces
la
discrets
tin
et
de
de
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n'utiliser
les
que
discrets.
des
eet,
en
ces
tiers
eectuer
duran
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t
image
les
v
calculs.
deux
Dans
très
le
c
domaine
p
de
donner
la
même
vision
Cette
par
est
ordinateur,
par
la
angles
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harnières.
est
de
une
angles
transformation
p
requise
de
p
une
our
qui
de
les
nom
résultats
breuses
la
applications.
con
Dans
ue
la
sans
plupart
v
des
recours
applications,
calculs
la
ts.
rotation
angles
utilisée
ermetten
est
aussi
la
décrire
rotation
rotation
euclidienne
men
discrétisée.
qui
Les
toutes
résultats
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donnés
ossibles
par
image
cette
umérique
rotation
(c
dans
imp
les
dans
espaces
con
discrets
u
ne
il
son
a
t
innité
pas
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b
ossibles).
ons
des
car
c
il
p
y
étendue
a
les
une
discrets
imp
trois
ortan
P
te
ce
p
on
erte
les
d'informations,
ulti-grilles
la
son
qualité
des
visuelle
de
de
qui
l'image
tiennen
est
trois
dégradée
bles
et
droites
une
Ces
partie
représen
des
t
propriétés
discon
mathématiques
uités
de
la
la
en
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Elles
con
en
tin
donc
ue
dénir
est
angles
p
harnières
erdue.
les
P
de
ar
Les
conséquen
ulti-grilles
t
ermetten
a
d'obtenir
v
mêmes
ec
en
le
que
dév
obten
elopp
en
emen
Cette
t
s'articule
de
de
l'informatique,
c
le
en
b
de
esoin
tro
de
aux
dév
tiques
elopp
espaces
er
et
de
rotations
nouv
ces
elles
présen
métho
dans
des
c
de
1
rotations
Le
adaptées
hapitre
aux
présen
espaces
un
discrets
de
s'est
des
fait
discrètes,
sen
présen
tir.
cette
Dans
Cette
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011présen
des
la
de
résultats
ces
à
rotations
ecteur
et
c
des
aux
problèmes
ythagoriciens.
liés
Nous
à
de
l'absence
étude
de
clés
certaines
5
de
le
ces
Le
pro-
des
priétés.
t
S'ensuit
dans
une
son
étude
prop
sur
n'imp
les
-tuples
rotations
our
dans
et
des
Géométrie
espaces
4
discrets
t
hexagonaux
tés
et
hapitre
triangles.
en
Le
hapitre
c
une
hapitre
-tuples
3
représen
in
triangles
tro
en
duit
les
les
trons
angles
denses
c
unitaire
harnières
une
qui
c
p
quel
ermetten
un
t
ythagoricien.
de
nécessaire
dénir
les
une
hapitres
rotation
.
discrète
Rotation
dans
hapitres
le
Multi-grille
plan
et
ainsi
étenden
qu'une
les
rotation
présen
incrémen
dans
tale
c
qui
3
calcule
rotations
l'ensem
3D.
ble
c
des
6
rotations
te
p
étude
ossible
charnière
p
p
our
Ils
une
ten
image
les
donnée.
rectangles
À
longueur
la
tière
n
toutes
du
dimensions.
c
mon
hapitre,
qu'ils
nous
t
prop
sur
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sphère
une
et
nouv
osons
elle
métho
métho
appro
de
her
p
orte
our
v
estimer
par
la
Angle
rotation
p
faite
Cette
en
est
tre
p
deux
obtenir
images
résultats
n
c
umériques
4
utilisan
5
t
Mots
les
Rotation
angles
discrète
c
discrètes
harnières.
Les
propriétés
n
n
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011Philosoph
Do
THIBA
P
ctor
ARIS-EST
b
A
T
bstr
ohan
act
of
P
y
aris-Est
y
Lab
UL
oratoire
Y
d'informatique
Gaspard-Monge
UNIVERSITÉ
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011w
results
it
thesis
hinge
presen
plane,
ts
This
a
of
study
These
on
tro
rotations
c
in
with
2-
hinge
and
also
3-dimensional
con
discrete
requires
spaces.
Th
By
2D
opp
spaces.
osition
and
to
hexagons.
the
w
con
tly
tin
space
uous
a
space,
only
a
rotation
discrete
an
space
innit
is
the
a
planes
space
uities
with
hinge
b
3D
ounds
e
and
lematic
a
the
nite
rota-
n
lost
um
the
b
angles
er
to
of
the
p
angles
oin
obtaining
ts.
the
In
y
computer
us
science,
giv
con
Euclidean
tin
computations.
uous
description
spaces
all
do
digital
not
is
exist;
since
indeed,
tin
the
b
oating
discrete
n
h
um
sets
b
t
ers
in
used
useful
to
planes.
sim
the
ulate
the
the
thesis
con
en
tin
1
uous
and
space
es
only
discrete
giv
prop
e
lost
a
problems
crude
The
appro
study
ximation
b
of
tro
the
the
con
p
tin
erform
uous
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space.
digital
Data
w
used
are
in
t
the
same
computer
y
science
in
eld
formalized
are
angles.
mostly
allo
comp
describ
osed
rotation
of
the
in
the
tegers.
although
F
tegers
or
particular
example,
w
a
incremen
digital
p
image
ossible
con
giv
tains
Suc
only
tal
discrete
ossible
p
uous
oin
is
ts
of
with
rotations.
in
can
teger
extended
co
in
ordinates
The
and
ulti-grids,
in
in
teger
taining
v
parallel
alues
lines
that
discon
enco
the
de
discrete
the
they
color
describ
of
in
the
grids
p
to
oin
results
t.
rotations
Moreo
obtained
v
rotations.
er,
tains
using
hapters
oating
an
n
in
um
the
b
discrete
ers
in
to
2
approac
state
h
ab
real
in
n
ws
um
of
b
that
ers
discrete
implies
whic
precision
with
problems.
prop
F
of
or
is
these
rotations
reasons,
spaces
w
triangles
e
3
decided,
the
during
allo
this
design
thesis,
is
to
ossible
w
p
ork
t
in
o
discrete
of
spaces
same
and
image
to
t
use
o
only
that
in
sligh
tegers
dieren
for
while
all
the
computations.
result.
In
particularit
the
of
computer
rotation
vision
discrete
eld,
is
the
b
rotation
hinge
is
Using
a
angles
transformation
ws
required
to
for
e
man
discrete
y
that
applications.
es
Most
same
of
than
applications
discretized
use
rotation,
the
using
Euclidean
in
rotation
during
and
These
then
angles
apply
allo
the
the
rounding
of
function
tal
on
that
the
erforms
obtained
p
results.
rotations
The
a
results
en
obtained
image.
b
h
y
incremen
using
rotation
this
imp
rotation
in
in
tin
discrete
space
spaces
there
are
an
not
y
satisfactory
con
since
uous
m
Using
uc
angles
h
also
information
e
is
to
lost,
rotations
the
3-dimensional
visual
spaces.
qualit
extension
y
m
is
whic
aected
consist
and
rotation
most
con
of
three
the
of
prop
lines.
erties
parallel
of
represen
the
the
con
tin
tin
of
uous
rotation
rotation
3D
are
space.
lost.
us
A
are
ccordingly
to
,
e
with
angles
the
rotation
expansion
Multi-
of
allo
computer
us
science,
obtain
it
same
is
in
necessary
discrete
to
as
dev
results
elop
in
new
discrete
rotation
This
metho
con
ds
v
adapted
c
to
giv
discrete
after
spaces.
in
In
duction
this
Chapter
thesis,
to
w
prob-
e
of
ha
spaces
v
rotations
e
discrete
c
Chapter
hosen
giv
to
a
study
of
the
art
rotations
out
in
rotations
discrete
the
spaces
sho
and
the
to
erties
impro
Euclidean
v
tions
e
are
their
in
understanding.
spaces
W
explains
e
h
mainly
arise
studied
the
hinge
of
angles
erties.
that
end
represen
this
t
hapter
the
a
discon
of
tin
in
uit
discrete
y
tiled
of
y
the
or
rotation
Chapter
in
in
the
duces
discrete
hinge
space.
that
Indeed,
w
in
space,
discrete
This
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011required
an
ts
a
Hinge
discrete
Digital
rotation
e
in
a
the
appro
plane
and
and
space.
an
Pythagorean
incremen
they
tal
w
discrete
nd
rotation
Pythagorean
that
ector.
computes
result
all
ords
p
3D
ossible
6
rotations
study
for
-tuples.
a
w
giv
dense
en
dimensions
digital
prop
image.
d
Then
an
w
ector
e
-tuple
prop
this
ose
study
a
obtain
metho
Chapters
d
.
to
Discrete
estimate,
the
for
Multi-grid
a
Chapter
pair
presen
of
a
digital
on
images,
angle
the
W
rotation
sho
that
that
transforms
are
the
in
rst
y
image
and
in
e
to
ose
the
metho
second
to
one.
for
The
y
c
-v
hapters
a
4
geometry
and
that
5
ximates
are
v
the
This
extension
is
of
to
the
the
results
of
presen
4
ted
5
in
Keyw
c
Rotation
hapter
rotation
3
discrete
in
of
n
n
n
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011ou
simplemen
l'honneur
cknow
oratoire
le
ans
dgements
oir
P
du
our
discussions
commencer,
nous
j'aimerais
y
remercier
nos
Y
tra
ukik
elles.
o
our
Kenmo
tra
c
en
hi,
ersonnes
ma
nous.
directrice
Et
de
ix
thèse
orteur.
dans
t
les
les
faits
our
si
eu
ce
oir
n'est
grand
sur
m
le
générale
papier,
au
p
olitique
our
improbables
m'a
etite
v
moi
oir
t
encadré
p
duran
que
t
stagiaire
ma
de
thèse.
m'a
P
le
endan
encouragemen
t
Merci
plus
p
de
d'examinateur.
trois
v
ans
t
elle
commen
a
le
toujours
ailler
su
p
faire
aide
preuv
our
e
fautes
d'une
sur
patien
l'ensem
te
l'excellen
sans
b
limite
on
aussi
thèse.
bien
ts
p
tiques
our
les
corriger
"
mes
fratrie
articles
merci
que
partagé
p
À
our
supp
me
jamais
remettre
our
sur
ma
la
trois,
b
t
onne
à
v
dans
oie
p
quand
dév
mes
p
rec
oir
herc
sans
hes
de
commençaien
our
t
lors
à
rencon
s'égarer.
à
Elle
usc
a
a
aussi
le
toujours
à
su
ersonnes
trouv
lesquelles
er
aillé
les
thèse
conseils
idées,
judicieux
et
lorsque
p
lors
que
des
tra
momen
v
ts
à
de
a
doutes.
osé
Bien
la
que
uscrit,
je
correction
fusse
bre
son
que
premier
goûts
do
matière
ctoran
Merci
t,
du
son
p
encadremen
am
t
les
fut
conditions
d'une
ails
qualité
régnées
remarquable.
de
J'en
repas
v
animées
eux
la
p
sujets
our
plus
preuv
t
e
les
qu'elle
le
a
y
réussi
"
à
la
me
".
donner
aux
une
on
certaine
v
rigueur
bureau
scien
p
tique
v
que
p
vingt
années
ans
plaindre
d'éducation
John,
don
v
t
de
six
en
ans
lieu
de
sais
faculté
dernier
n'on
récipro
t
récemmen
jamais
ce
pu
a
m'inculquer.
bureau
Je
p
v
son
oudrais
dérision
aussi
é.
remercier
Andrès
Akihiro
our
Sugimoto,
v
mon
fait
co-directeur
d'accepter
de
hésitation
thèse,
rôle

rapp
encore
P
dans
leurs
les
ts
faits
de
si
quelques
ce
tres.
n'est
aussi
sur
Lauren
le
F
papier,
h
p
our
our
v
m'a
accepter
v
rôle
oir
Merci
co-encadré
toutes
duran
p
t
a
ma
ec
thèse,
j'ai
p
v
our
duran
toute
ma
l'aide
p
qu'il
leurs
m'a
leurs
app
taires
orté
plus
p
t
our
our
mes
plaisir
rec
j'ai
herc
à
hes
v
ainsi
a
que
ec
p
Merci
our
Anne
son
our
incro
v
y
prop
able
son
capacité
à
à
relecture
raturer
man
mes
p
articles.
la
Un
d'un
grand
nom
merci
de
aussi
ainsi
p
p
our
ses
m'a
très
v
en
oir
de
accueilli
usique.
dans
à
son
ble
lab
lab
oratoire
A3SI
à
our
T
te
oky
biance
o
et
duran
très
t
onnes
près
de
d'un
v
an
qui
et
t
ainsi
tout
p
long
ermis
ma
de
Les
découvrir
aux
le
très
Jap
allan
on.
de
Merci
p
à
aux
Mic
scien
hel
les
Couprie,
complexes
mon
passan
directeur
par
de
sujets
thèse,
plus
le
comme
vrai
jeu
cette
eternit
fois,
"
p
encore
our
la
l'ensem
de
ble
p
de
Sophie
ses
Un
conseils.
particulier
P
p
our
qui
m'a
t
v
a
oir
ec
donné
le
la
5305.
c
Émilie,
hance
our
de
a
réaliser
oir
une
ortée
thèse
endan
dans
plusieurs
le
sans
domaine
se
de
de
l'imagerie
À
malgré
p
mon
m'a
bac
oir
kground
ermis
plus
réaliser
orien
thèse

quatre
sur
au
la
de
logique
je
et
d'ailleurs
la
ce
complexité
remerciemen
(merci
sera
aussi
que.
à
plus
Y
t
ukik
Mohamed,
o
pauvre
p
qui
our
atterri
cette
notre
c
il
hance).
a
Merci
eu,
aux
our
professeurs
sens
Jean
l'auto
Pierre
très
Rev
elopp
eillès
Éric
et
A
tel-00596947, version 1 - 30 May 2011

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