1 MMD cours 15-09

Vaills

Description

Eléments de cours de MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Yann VAILLS Bibliographie : • Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal, E. DIEULESAINT et D. ROYER, ed. Masson (1996) • Physique des solides, Neil-W Ashcroft, N-David Mermin ed. EDP Sciences (2002) th• Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel 7 edition John Wiley & Sons, Inc. 1996 ou éditions françaises plus anciennes • Mécanique des milieux déformables, équations générales, solides élastiques, fluids, turbomachines, Mostafa FOURAR et Claude CHEZE, Ellipses (2002) • Résistance des matériaux, Pierre AGATI, Frédéric LEROUGE et Marc ROSSETO, DUNOD (1999) • Mécanique des matériaux solides, Jean LEMAITRE et Jean-Louis CHABOCHE, DUNOD (1996) èreCours donné dans le cadre de la 1 année des Masters • Matériaux Diagnostic et Simulation • Energétique et Environnement • Instrumentation Contrôle et Management des SystèmesElasticité, ondes élastiques Yann VAILLS – date de dernière mise à jour : 12/09/2008 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills 1/17 VECTEURS – TENSEURS-PROBLEMES RELATIFS AUX CHANGEMENTS DE REPERES - SYMETRIES I. Loi de Curie ou : « Comment trouver un lien élémentaire entre cause et effet » « Dans un processus physique la symétrie des effets est supérieure à la symétrie des causes : on ne peut pas perdre de symétrie au cours d’un processus physique. » ...

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 



Eléments de cours de

 MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

 Yann VAILLS

   Bibliographie: • Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal, E. DIEULESAINT etD.ROYER,ed.Masson(1996) • sesidoliqysduehPavidMeroft,N-DW-Ahsrcse,eNli)0220(esnceicSPDE.denim • Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel 7 ht eyilWhns,onS&.cnIdenoJtioi 1996ou éditions françaises plus anciennes • Mécanique des milieux déformables, équations générales, solides élastiques, fluids, turbomachines, Mostafa FOURAR et Claude CHEZE, Elspi(se0220) • Résistance des matériaux, Pierre AGATI, Frédéric LEROUGE et Marc ROSSETO, DUNOD(1999) • solides, Jean LEMAITRE et Jean-Louis CHABOCHE, DUNODMécanique des matériaux (1996)      Cours donné dans le cadre de la 1 ère année des Masters • Matériaux Diagnostic et Simulation • Energétique et Environnement • Instrumentation Contrôle et Management des Systèmes

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  VECTEURS  TENSEURS- PROBLEMES RELATIFS AUX     CHANGEMENTS DE REPERES     - SYMETRIES   I. Loi de Curie« Comment trouver un lien élémentaireou : entre cause et effet »  « Dans un processus physique la symétrie des effets est supérieure à la symétrie des causes : on ne peut pas perdre de symétrie au cours dun processus physique. »  Exemples :   la loi de :Réflexion dun rayon lumineux sur un miroir • Curie montre que le rayon réfléchi est dans le plan défini par le rayon incident et la normale au miroir • Laction dun champ magnétique sur un fil parcouru par un courant électrique : la loi de Curie montre que le fil est soumis à une force qui se trouve dans le plan perpendiculaire au champ magnétique • La loi de Curie monte que leffet piézoélectrique ne peut avoir lieu que dans des milieux dont le groupe de symétrie ne contient pas de centre dinversion  A partir de ce point le problème posé est celui de la traduction mathématique de la relation entre causes et effets.  Dans les milieux anisotropes une causeCappliquée suivant une direction donne naissance à un effet)C(E, en général non parallèle à la cause. 

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 Illustration : dans un milieu non ordonné on a une relation scalaire entre champ électrique appliqué et densité de r courant induite : j= γE . Par contre dans les milieux anisotropes j r et E r ne sont généralement pas parallèles.  j r = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ j j 1 3 2 =γ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ E r = γ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ γ γ 21 11 γ γ γ 22 12 γ γ γ 13 23 ⎤ ⎥ ⎜ ⎛ • E E 2 1 ⎞ ⎟  ⎝ ⎣ 333132 ⎜ ⎜ ⎥ ⎥ ⎦⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟ 

La notion de«tenseur » apparaît donc dès lon veut que établir desrelations linéaires entrecauses C et effetsE dans les milieux anisotropes.  SiC etEgrandeurs vectorielles, en se limitant au des  sont domaine linéaire la relation entre les composantesC 1 C 2  et C 3  des causes etE 1 E 2  etE 3  des effets fait intervenir9 cfficientsA ji  

C i ouE j etA ji sont de natures différentes : • C i  ouE j  des grandeurs physiques, elles sont caractérisent létat du milieu physique, elles peuvent être nulles ou non • A ji  coefficients caractérisent une propriété du ces matériau, ils ne peuvent pas être tous nuls.   

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  Quelques exemples de tenseurs : 

• tenseur de rang 0 (scalaire) : - densité, chaleur spécifique (propriétés)  température (grandeur détat du milieu) - • tenseur de rang 1 (vecteur) : - pyroélectricité (propriétés)

- champ électrique, force (grandeurs détat milieu) • tenseur de rang 2 : permittivité diélectriqueε ij  • tenseur de rang 3 : piézoélectricité d ikj  •  Ctenseur de rang 4 : élasticité ikjl 

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du

 

II. Coordonnées covariantes et contravariantes  Soient une espace vectoriel E et deux bases dans cet espace { i } et i i3,2,1=  e j = ∑ a j i e i ' )=a i j e i ' 

 en notation dEinstein (sommation sur les indices répétés) 





e 1

e 2

e 3

=

e 1 '

e 2 '

j  

e 3 '

1 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a a 1 2 ⎝ a 1 3

1 a 2 2 a 2 3 a 2

1 3 a a 2 ⎟ ⎟ ⎞ 3 3 3 ⎟ ⎠  a

Indice de ligne

Indice de colonne

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Sommation sur les lignes





 

Problème de la transformation des vecteurs et de leurs coordonnées dans un changement de repère :  soit V∈E ,V= α j e j etV= β i e i ' =V= β i i '= α i j j ' e a e i

doncα j e j

 Remarque:pourreprésenterlesvecteursonutiliseicila notation : appelé«abr»oprulsevceteursligneset appelé«tek»olnnsocrpvose,tdeenaneslurpourteecv langlais«etckrab»: signifiant « crochets ».  soit αβ =a j de même α =bβ  i doùβ =a j b k βdonc a j i b k j = δ k i  a donc a on j − =b i j 

 on pourra donc écrire :  ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ α α α 2 ⎟ ⎟ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ b b b 1 3 ⎠ ⎜ ⎜ 3 2 1 1  

b 2 b 2 2 b 3 2

 b b b 2 3 3 3 3 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎞⎛ ⎟ ⎟ ⎟ β β β 2 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟

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  Sommation sur les colonnes 

 

e j  

e j

α

i ' =a j e i  

 

 

c   vaoanri

  cont

' e i  

β i

varian

e i '=b i e j

β i =a i α j j

 

 En physique dans 95% des cas on travaille avec des repères orthonormés. Dans ce cas la matrice de changement de base est unitaire, et on a : 

 : B=b j =A − =A=a i  soit : a i =b j doù   e j =a j i e i '        e i '=a i j e j   α = j β        β = j α   on change alors de notation en amenant les deux indices en bas, lindice de ligne devenant le premier des deux :  ' e j =a ji e i       j =   

ij

i  

 

Indice de ligne

ij  

 

 

 

Indice de colonne

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' e i =a ji e j

i =

ij

j 

 

 

III. Notion de tenseur 

III .1. Transformation des composantes dun tenseur  Soient deux repères orthonormés munis des deux bases suivantes ( i ) e i  Soient deux vecteurs et leurs coordonnées dans les deux repères :  ( i ) e ( i ) 

( i ) e

( i ) 

  i=1,2,3

 ces deux vecteurs représentent des grandeurs physiques reliées entre elles par une propriété traduite par un tenseur T.On peut écrire les relations suivantes :  p i =  T ij q j  et p k  = T kl q l 

1 p 2 soit :  p 3

1 ' p 2 et : ' p 3

 ⎡ ⎢ ⎢ 1211 1222 =T T ⎣⎢ T 31 T 32 

⎡ ⎢ ' 11 = ⎢ T 12 ⎢ ⎣ T' 13

12 T' 22 T' 32  

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T T 31 32 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ q q 1 2 3 33 ⎦

T T ' ' 31 33 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ q ' ' q 3 2 1 23





 

 orp k   =  a ki p i =  a ki T ij q j de plusq j =  a lj q l  donc  p k   =a ki a lj T ji q l   =  T kl q l    soit :   T kl   =  a ki a lj T ij  etT lk =  a ik a jl T ji   par ailleursx k   =  a ik x i ety l   =  a lj y j  

donc

x k  x y l =  a ki a lj i y j

 Ce qui démontre que les composantes dun tenseur de rang 2 se transforment comme un produit de 2 composantes de vecteur. On admettra que cette propriété des tenseurs de rang 2 se généralise aux tenseurs de rang nsoit :les composantes dun tenseur de rang n se transforment comme le produit de n composantes de vecteurs.Ainsi on écrira : 

A ijk a= il a mj a kn A nml 

 Ceci provient de ce quun tenseur de rang n peut être considéré comme le produit tensoriel de n tenseur de rang 1.  III .2. Eléments de symétrie des cristaux et composantes indépendantes des tenseurs (réduction des tenseurs) A ijk sont les composantes, dans un repèreOx 1 x 2 x 3  dun tenseur traduisant une propriété donnée dun certain cristal.

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A jik sont les composantes de ce tenseur dans le même repère et pourune orientation nouvelle du cristal obtenue en appliquant une opération de symétrie S , au appartenant groupe de symétrie ponctuelle du cristal. Il revient au même dappliquer S -1  au système daxes en laissant le cristal dans son orientation initiale. -1 S

[a] = matrice de changement de repère associée à , on a : 

A kij a= ip a qj a kr A rqp

 S  une opération de la classe de symétries ponctuelles étant du cristal, la nouvelle orientation est indiscernable de celle de départ donc : A jki A= .ijk   Ainsi linvariance des propriétés physiques au cours des opérations de symétries impose des relations entre les termes des tenseurs, réduisant le nombre des termes indépendants.  . . =

.kji.

ip jq kr .pqr.  

 Les relations précédentes réduisent généralement le nombre des composantes indépendantes des tenseurs.

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PROPRIETES MECANIQUES   DE LA MATIERE     A. ELASTICITE STATIQUE       Lapplication defforts à un solide provoque des déplacements densemble et des déformations (variations de directions et de distances relatives entre les points). On ne sintéresse ici quaux dernières. 

ℓ

F/

éprouvette

Δl l (%)

0,2 0,1

F/s O F/scontrainteexercé:F=force, s=sectiondeléprouvette

t D ru ure

(c)

B



250

(b)

C

500

rupture

ru ture

F/s(MPa)

Dans le domaine des petites déformations réversibles, la relation entre efforts et déformations est linéaire, cest le domaine de lélasticité. (a): rupture fragile, cest le cas des céramiques ou des verres en général (b)et(c): minéraux, métaux, plastiques, bois  Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS – date de dernière mise à jour : 12/09/2008 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills    11/17 

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