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Vaills

Description

Eléments de cours de MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ET DENSES Yann VAILLS Professeur Bibliographie : • Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal, E. DIEULESAINT et D. ROYER, ed. Masson (1996) • Physique des solides, Neil-W Ashcroft, N-David Mermin ed. EDP Sciences (2002) th• Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel 7 edition John Wiley & Sons, Inc. 1996 ou éditions françaises plus anciennes • Mécanique des milieux déformables, équations générales, solides élastiques, fluids, turbomachines, Mostafa FOURAR et Claude CHEZE, Ellipses (2002) • Résistance des matériaux, Pierre AGATI, Frédéric LEROUGE et Marc ROSSETO, DUNOD (1999) • Mécanique des matériaux solides, Jean LEMAITRE et Jean-Louis CHABOCHE, DUNOD (1996) Ce document est une copie du diaporama projeté en cours. Les explications orales données lors des leçons ne sont donc pas rédigées ici. Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS – date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills 1/75 Ce cours est construit en trois parties. La première, intitulée « VECTEURS – TENSEURS-PROBLEMES RELATIFS AUX CHANGEMENTS DE REPERES – SYMETRIES », introduit la notion mathématique de tenseurs, qui permet de représenter des grandeurs ou propriétés physiques, et de les relier entre elles. La deuxième partie, ...

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• Publié par: Choim
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• Langue: Français

Extrait

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Eléments de cours de 

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ET DENSES 

Yann VAILLS Professeur 

 Bibliographie: • Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal, E. DIEULESAINT etD.ROYER,ed.Masson(1996) • ed.minScieEDP(02cnse20)idolsesdueiqyshPMeravidN-Doft,hsrcW-AeNlise, • Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel 7 th WhneyilS&s,oncnI.detioinoJ 1996ou éditions françaises plus anciennes • déformables, équations générales, solides élastiques, fluids,Mécanique des milieux turbomachines, Mostafa FOURAR et Claude CHEZE, El)0220es(ips  Résistance des matériaux, Pierre AGATI, Frédéric LEROUGE et Marc ROSSETO, • DUNOD(1999) • Mécanique des matériaux solides, Jean LEMAITRE et Jean-Louis CHABOCHE, DUNOD (1996)

  Ce document est une copie du diaporama projeté en cours. Les explications orales données lors des leçons ne sont donc pas rédigées ici.   Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS – date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills     1/75 

   Ce cours est construit en trois parties. La première, intitulée « VECTEURS    TENSEURS-PROBLEMES  RELATIFS  AUX  CHANGEMENTS  DE  REPERES    SYMETRIES »,  la notion introduit mathématique de tenseurs, qui permet de représenter des grandeurs ou propriétés physiques, et de les relier entre elles.  La deuxième partie, intitulée « PROPRIETES  MECANIQUES  DE  LA  MATIERE  -  ELASTICITE  STATIQUE  -  ELASTICITE  DYNAMIQUE »,  traite des déformations élastiques statiques et dynamiques de la matière considérée comme milieu continu. Les vibrations de la matière qui sont abordées sont celles qui apparaissent en proximité du centre de la 1 ère zone de Brillouin.  Dans une troisième partie, intitulée « VIBRATIONS  ATOMIQUES,  PHONONS »,  la lapproche des phénomènes de vibration dans matière est élargie en prenant en compte la discontinuité de la matière qui apparait en prenant en compte laspect atomique. Cette échelle de description généralise et donc incluse les résultats obtenus dans lapproche continue.  

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VECTEURS  TENSEURS-

CHANGEMENTS DE REPERES - SYMETRIES

PROBLEMES RELATIFS AUX            I. Loi de Curieou : « Comment trouver un lien élémentaire entre cause et effet »  « Dans un processus physique la symétrie des effets est supérieure à la symétrie des causes : on ne peut pas perdre de symétrie au cours dun processus physique. » 

Exemples (développés en séance) : •  la loi de :Réflexion dun rayon lumineux sur un miroir Curie montre que le rayon réfléchi est dans le plan défini par le rayon incident et la normale au miroir • champ magnétique sur un fil parcouru parLaction dun un courant électrique : la loi de Curie montre que le fil est soumis à une force qui se trouve dans le plan perpendiculaire au champ magnétique • La loi de Curie monte que leffet piézoélectrique ne peut avoir lieu que dans des milieux dont le groupe de symétrie ne contient pas de centre dinversion  A partir de ce point le problème posé est celui de la traduction mathématique de la relation entre causes et effets.

 Dans les milieux anisotropes une causeCappliquée suivant une direction donne naissance à un effet(C)E, en général non parallèle à la cause.

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Illustration : dans un milieu non ordonné on a une relation scalaire entre champ électrique appliqué et densité de r courant induite : j= γE . Par contre dans les milieux r anisotropes j r et E ne sont généralement pas parallèles. 

j r ⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ j j 1 2 3 =γ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ E r ⎡ γ =γ ⎢ ⎢ ⎢ γ 12 11 γ γ γ 21 22 γ γ γ 31 23 ⎤ ⎥ ⎥ ⎛ • ⎜ E E 2 1 ⎞ ⎟  ⎝ ⎣ 333231 ⎜ ⎜ ⎦ ⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟

 La notion de«tenseur » donc dès que lon veut apparaît établir desrelations linéaires entre etcauses C effetsE dans les milieux anisotropes.  SiC etE des grandeurs vectorielles, en se limitant au sont domaine linéaire la relation entre les composantesC 1 C 2  et C 3  causes et desE 1 E 2  etE 3  des effets fait intervenir9 cfficients A ji 

 C i ouE j etA ij sont de natures différentes : • C i  ouE j  sont desgrandeurs physiques, elles caractérisent létat du milieu physique, elles peuvent être nulles ou non • A ji ces coefficients caractérisent unepropriété du matériau, ils ne peuvent pas être tous nuls. 

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 Quelques exemples de tenseurs :  

• tenseur de rang 0 (scalaire) : - densité, chaleur spécifique (propriétés) - température (grandeur détat du milieu) • tenseur de rang 1 (vecteur) : - pyroélectricité (propriétés)

 champ électrique, force (grandeurs détat du - milieu) • tenseur de rang 2 : permittivité diélectrique D i =ε ij E j  • tenseur de rang 3 : piézoélectricité D k =d ijk S ji  • tenseur de rang 4 : élasticité T ij =C ikjl S kl 

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II. Coordonnées covariantes et contravariantes  Soient une espace vectoriel E et deux bases dans cet espace { i } et i 3,1=2,i  e j = ∑ a j i e i ' )=a i j e i ' 

 en notation dEinstein (sommation sur les indices répétés) 





e 1

e 2

e 3

=

e 1 '

e 2 '

j  

e 3 '

⎜ ⎛ ⎜ a 1 1 2 a 1 ⎝ ⎜ a 1 3

1 a 2 2 a 2 3 a 2

1 a 3 2 a 3 a 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  3

Indice de ligne

Indice de colonne

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

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Sommation sur les lignes

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Problème de la transformation des vecteurs et de leurs coordonnées dans un changement de repère :

colonnes 

a j i =b i j 

et

 soit V∈E ,V= α j e j eVt= β i e i ' doncα j e j =V= β i e i '= α j a i j e i '  Remarque:pourreprésenterlesvecteursonutiliseicila notation : appelé«bra»iglrseuetsnepuorelsevtc appelétek»tnanedplesoureursvectnoencloorev,sp« langlais«tkeacbr»: signifiant « crochets ».



  Sommation sur les

b 2 2 b 2 3 b 2

b 3 ⎞⎛ ⎟ β b 2 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ ⎟ β 2 ⎠ ⎟  b 3 3 β 3 ⎟

 On a donc : αβ =a j de même doùβ =a j b k βdonc a i j b k j = δ i k 

 on pourra donc écrire :  α ⎞ ⎛ b 1 ⎛ ⎜ α 2 ⎟ = ⎟ b 2 1 ⎜ ⎝ ⎜ α 3 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎜ ⎜ b 3 1   

=bβ

α

e j     α j

e j

α

i ' = a j e i  

=b j β i i  

 

 

c   airavon

  cont

' e i  

β i

varian

e' i

=b i j e j

i i β =a j α j

 

 En physique dans 95% des cas on travaille avec des repères orthonormés. Dans ce cas la matrice de changement de base est unitaire, et on a :

− B=b j =A

=A

=a i







soit : a i

=b j doù :

 = e j =a j i e i '        e i ' a i j e j   α = j β        β = j α   on change alors de notation en amenant les deux indices en bas, lindice de ligne devenant le premier des deux :

 ' e j =a ji e i      =

j

ij

i  

 

 

 

 

 

 

 

' e i =a ij e j

i =

ij

j 

 

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III. Notion 

Indice de ligne

ij  

Indice de colonne

III .1. Transformation des composantes dun tenseur

 Soient deux repères orthonormés munis des deux bases suivantes ( i ) e i  Soient deux vecteurs et leurs coordonnées dans les deux repères :  ( i ) e ( i )  ( i ) e ( i )  

i=1,2,3

 ces deux vecteurs représentent des grandeurs physiques reliées entre elles par une propriété traduite par un tenseur T.On peut écrire les relations suivantes :    p i =  T ij q j  p et k  = T kl q l 

1 p 2 soit : p 3

 ⎢ ⎡ 1112 = ⎢ ⎢ T T 13 21 T T 23 22 ⎣ 

13 ⎥ ⎤ 1 232 T T 33 ⎥ ⎥ ⎦ q q 3

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

1 ' p 2 et : ' p 3

= ⎢ ⎢ ⎡ T' 11 12 ⎢ ⎣ T' 13

12 T' 22 T' 23 

1 T' 32 q' 2 T' 33 31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ q' 3



 orp k   =  a ki p i =  a ki T ij q j de plusq j =  a lj q l  donc

 soit :

 p k   =  a ik a jl T ji q l   =  T kl q l 

et  T kl   =  a ki a lj T ji   par ailleursx k   =  a ki x i ety l   =  a lj y j  

T lk =  a ik a jl T ij 



doncx k y l   =  a ki a lj x i y j 

 Ce qui démontre que les composantes dun tenseur de rang 2 se transforment comme un produit de 2 composantes de vecteur. On admettra que cette propriété des tenseurs de rang 2 se généralise aux tenseurs de rang nsoit :les composantes dun tenseur de rang n se transforment comme le produit de n composantes de vecteurs.Ainsi on écrira :

 A ijk =a il a jm a nk A nml    Ceci provient de ce quun tenseur de rang n peut être considéré comme le produit tensoriel de n tenseur de rang 1.  Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS – date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills     10/75 

III .2. Eléments de symétrie des cristaux et composantes indépendantes des tenseurs (réduction des tenseurs) A kji sont les composantes, dans un repèrexO 1 x 2 x 3  dun tenseur traduisant une propriété donnée dun certain cristal. A ijk sont les composantes de ce tenseur dans le même repère et pourune orientation nouvelle du cristal obtenue en appliquant une opération de symétrie S , au appartenant groupe de symétrie ponctuelle du cristal. Il revient au même dappliquer S -1 au système daxes en laissant le cristal dans son orientation initiale. = matrice de changement de repère associée à S -1 ,

[a] on a :

 A ijk =a pi a qj a kr A rpq  S  une opération de la classe de symétries ponctuelles étant du cristal, la nouvelle orientation est indiscernable de celle de départ donc : A ijk =A .jik   Ainsi linvariance des propriétés physiques au cours des opérations de symétries impose des relations entre les termes des tenseurs, réduisant le nombre des termes indépendants. 

.kji.

. pi qj rk . .rpq.  

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