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1com-cours-Fonctions

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Fonctions:généralitésTabledesmatièresI Notiondefonction,courbereprésentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1II Variationsd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.1 Sensdevariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.2 Extremum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.3 Tableaudevariationsd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4III Résolutiongraphiqued’équationsetd’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6III.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I Notiondefonction,courbereprésentativeDéfinitionUne fonction numérique f est un procédé qui, à chaque nombre x d’une partieD de R, associe unnombreuniqueappeléimagedex par f.D estl’ensemblededéfinitionde f.L’imagedex par f senote f(x).Onécrit: f 7! f(x)Exemples:1. On enregistre la température en un endroit précis sur une période de 24 heures. T : x7! y=T(x) oùT(x)estlapressionàl’instantx.2. v(x)estlavitessed’unevoitureàx kmdesonpointdedépartsuruncircuitautomobile.1∗3. D=R : f :x7!xp+4. D=R : f :x7! xDéfinitionSoit f une fonction définie surD. La courbeC , courbe représentativede f, est l’ensemble des pointsfM(x ; f(x)oùx∈D.Exercice ...
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Fonctions:généralités
Tabledesmatières
I Notiondefonction,courbereprésentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Variationsd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.1 Sensdevariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.2 Extremum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3 Tableaudevariationsd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Résolutiongraphiqued’équationsetd’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I Notiondefonction,courbereprésentative
Définition
Une fonction numérique f est un procédé qui, à chaque nombre x d’une partieD de R, associe un
nombreuniqueappeléimagedex par f.
D estl’ensemblededéfinitionde f.
L’imagedex par f senote f(x).
Onécrit: f 7! f(x)
Exemples:
1. On enregistre la température en un endroit précis sur une période de 24 heures. T : x7! y=T(x) où
T(x)estlapressionàl’instantx.
2. v(x)estlavitessed’unevoitureàx kmdesonpointdedépartsuruncircuitautomobile.
1∗3. D=R : f :x7!
xp+4. D=R : f :x7! x
Définition
Soit f une fonction définie surD. La courbeC , courbe représentativede f, est l’ensemble des pointsf
M(x ; f(x)oùx∈D.
Exercice:lescourbesci-dessoussont-ellesreprésentativesd’unefonction?
→− →−
j j
→− →−O O
i i
1→− →−
j j
→− →−O O
i i
Définition
x estunantécédentdey parlafonction f si f(x)=y (remarque: y peutavoirplusieursantécédents)
Exemples:
21. SurR,onconsidèrelafonction f :x7!3x +5x−4.
Calculerlesimagesde0,3,5et-1.
+ 22. D=R .g(x)=x .Quelssontlesantécédentsde-4?de2?
-1a-t-ildesantécédents?
Exercice:
Voicilacourbereprésentatived’unefonctiondéfiniesurl’intervalle[−1,5; 5]
4
3
2
1
O−2 −1 1 2 3 4
−1
−2
Lectured’uneimage:Quellessontlesimagesde-1.5?de-1?de0?de1?de2?
Lectured’unantécédent:Quellessontlesantécédentsde0?de1?de2?de4?
Page2/6II Variationsd’unefonction
II.1 Sensdevariation
Définition
Unefonction f estcroissantesurunintervalleI signifiequesurl’intervalleI,silesvaleursdelavariable
x augmentent,alorslesimages f(x)augmententaussi.
Traduction mathématique : Pour tous a et b de I tels que aÉb, alors f(a)É f(b. (une fonction crois-
santeconservel’ordre,c’est-à-direquelesimagessontclasséesdanslemêmeordrequelesantécédents.)
Une fonction f est décroissantesur un intervalle I signifieque sur l’intervalle I, si les valeurs de la va-
riablex augmentent,alorslesimages f(x)diminuent.
Traductionmathématique:Pourtousa etb deI telsqueaÉb,alors f(a)Ê f(b.(unefonctiondécrois-
santerenversel’ordre,c’est-à-direquelesimagessontclasséesdansl’ordreinversedesantécédents.)
Exemplegraphiqued’unefonctioncroissante:
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exemplegraphiqued’unefonctiondécroissante:
4
3
2
1
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
II.2 Extremum:
Page3/6Définition
Soit f unefonctiondéfiniesurD.
M estlemaximumde f(x)surD si,pourtoutx deD, f(x)ÉM.
m estleminimumde f(x)surD si,pourtoutx deD, f(x)Êm.
Exemples:
1
0−4 −3 −2 −1 1 2 3
Lemaximumest1.
II.3 Tableaudevariationsd’unefonction
Untableaudevariationsertàrassemblertouteslesinformationssurlesvariationsd’unefonction.
Exemples:
3 2x 3x
1. Soitlacourbeci-dessous,représentativedelafonctiondéfiniepar:f(x)= + −4x
3 2
→−
j →−O
i
La fonction f est définie sur [−6;3], croissante sur [−6;−4], décroissante sur [−4;1] et croissante sur
56 13 21
[−1;3].Ona: f(−6)=6; f(−4)= ; f(1)=− ; f(3)= .
3 6 2
Letableaudevariationestalors:
Page4/6x −6 −4 1 3
56 21
3 2
@
f(x) @
R@ 13
6 −
6
1
2. SoitC lacourbereprésentativedelafonctiondéfiniepar: f(x)=f
x−2
→−
j
→−O
i
Lafonction f n’estpasdéfinieenx=2.Ontraduitcelaparunedoublebarreverticaledansletableaude
variation.Lafonctionestdécroissantesur]∞;2[etsur]2;+∞[.Quandxtendvers−∞, f(x)serapproche
deplusenplusde0,demêmequequandx tendvers+∞.Letableaudevariationest:
x −∞ 2 2 +∞
0 +∞
f(x) ց ց
−∞ 0
3
3. Soitlafonction f définiepar f(x)=1+ dontvoicilacourbereprésentative:
2x +1
→−
j
→−O
i
CettefonctionestdéfiniesurR,croissantesur]−∞;0]etdécroissantesur[0;+∞[.Lemaximumde f(x)
est 4 (f(0)=4). Quandx tendvers−∞ ouvers+∞, f(x) se rapprochede plusenplusde1. Le tableau
devariationest:
Page5/6b
b
b
x −∞ 0 +∞
4
@
f(x) @
R@
1 1
III Résolutiongraphiqued’équationsetd’inéquations
III.1 Équations
Soit f unefonctionetsoitC sacourbereprésentative.f
Onconsidèrel’équation f(x)=k,oùk estunréelquelconque.
Pourtrouvergraphiquementlenombredesolutionsetlavaleurapprochéedecelles-ci;onreprésentelafonc-
tion,puisonttraceladroited’équationy=k.
Onregardealorslespointsd’intersectiondecettedroiteaveclacourbe.
Exemple:
6
5
C4 f
3
y=1,8A B C2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
Onconstategraphiquementquel’équation f(x)=1,8atroissolutions;ellesvalentenviron-1,7,0,4et2,7.
Page6/6