2-cours-FONCTIONS AFFINES ET DROITES-2009

Description

FONCTIONS AFFINES ET DROITESObjectifs: langage fonction <--> langage graphique cas général: fonctions quelconques <--> RG quelconque cas particulier: fonctions affines <--> droites…..................I. DÉFINITIONS1. expression d'une fct affinedef une fct est affine lorsque son expression peut s'écrire sous la forme f(x) = ax+b où a, b réels fixés.Vocabulaire:- le réel a est appelé coefficient directeur de f- le réel b est appelé ordonnée à l'origine de fxcas particuliers f(x) b b- si a=0 alors f(x) = 0x+b = b ; f est aussi une fct constante- si b=0 alors f(x) = ax+0 = ax ; f est aussi une fct linéairex*af(x) tableau de proportionnalité2. Propriété des vecteurs de la RG d'une fonction affinethéorème soit une fonction affine f(x) = ax+b , et deux points M ( x ; y ) et M ( x ; y ) de sa RG. 1 1 1 2 2 2 y –y2 1a= Alors x –x2 1démonstrationsoit M(x ; y) et M(x ; y) deux points de la représentation graphique def: 1 1 1 2 2 2y = f(x) = a.x + b et y = f( x) = a.x + b1 1 1 2 2 2y –y2 1y −y =ax b−ax b=ax b−ax −b=ax −ax =ax −x  a=alors donc 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1x –x2 1interprétation en termes d'accroissement : l'accroissement des images (y = y2 – y1) est proportionnel à l'accroissement de la variable ( x = x2 – x1), le coefficient de proportionnalité étant ay −y =ax −x  càd y=ax2 1 2 1interprétation en termes de vecteurs : puisque M ( x ; y ) et M ( x ; y ) alors ( x-x ; y-y ) ...

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FONCTIONS AFFINES ET DROITES

Objectifs: langage fonction <--> langage graphique cas général: fonctions quelconques<--> RG quelconque cas particulier: fonctions affines <--> droites….................. I. DÉFINITIONS 1. expression d'une fct affine defune fct est affine lorsque son expression peut s'écrire sous la forme f(x) = ax+b où a, b réels fixés. Vocabulaire: - le réel a est appelécoefficient directeurde f - le réel b est appeléordonnée à l'originede f x cas particuliers f(x) bb - si a=0 alors f(x) = 0x+b = b ; f est aussi une fct constante - si b=0 alors f(x) = ax+0 = ax ; f est aussi une fct linéaire

x *a f(x) tableau de proportionnalité 2. Propriété des vecteurs de la RG d'une fonction affine théorèmesoit une fonction affinef(x) = ax+b, et deux points M 1 (x 1 ; y 1 ) et M 2 (x 2 ; y 2 ) de sa RG. y –y 2 1  Alors a= x 2 – x 1

démonstration soit M 1 (x 1 ; y 1 ) et M 2 (x 2 ; y 2 ) deux points de la représentation graphique def: y 1 = f(x 1 ) = a.x 1 + b ety 2 = f(x 2 ) = a.x 2 + b y –y 2 1 y−y=axb−axb=axx−x = alors 2 12 12 b−ax−b=ax−ax=a 2 1  donc a 1 21 x –x 2 1

interprétation en termes d'accroissement : l'accroissement des images (y = y2 – y1) est proportionnel à l'accroissement de la variable (x = x2 – x1), le coefficient de proportionnalité étanta x−x y−y=a 2 1  càd y=ax 2 1 interprétation en termes de vecteurs : puisque M 1 (x 1 ; y 1 ) et M 2 (x 2 ; y 2 ) alors ( x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ) sont les coordonnées du vecteur M1M2 le coefficient de proportionnalité entre les coordonnées du vecteur M1M2 est égal au coefficientdirecteur ade la fonctionf Accroissement de la variablex 2 -x 1 x x 1 x 2 x = x 2 – x 1 *a y = f(x)y 1 y 2 = 1ère coordonnée du vecteur M1M2 point M 1 M 2 Accroissement des imagesy 2 -y 1 y y 2 – y 1 = 2ère coordonnée du vecteur M1M2 vecteur M1M2

3. RG d'une fct affine th la RG d'une fct affinef(x) = ax+best la droite (d) passant par le point de coordonnées (0 ; b) et parallèle au vecteur de coordonnées (1 ; a)

démonstration: notons Cf la représentation graphique def posons A(0 ; b) et  u (1 ; a) et appelons (d) la droite passant par A et parallèle à u  alors:

M(x ; y)∈(d) signifie que AM et  u sont colinéaires or AM (x-0 ; y-b) et  u (1 ; a) sont colinéaires signifie que1(y-b) = a(x-0) càdy – b = a (x-0) càdy = ax+b càdy = f(x) on reconnaît ici l'égalitey = f(x)qui traduit l'appartenance de M(x ; yCf (revoir la définition de la) à représentation graphique d'une fct dans le chapitre GENERALITES)), On adonc démontré que dire que M∈(d) est la même chose que dire que M∈Cf ce qui signifie que (d) et Cf sont bien le même ensemble de points.

conséquence : interprétation graphique de a et b * coeff dira⇔(d) a pour vect dir (1 ;a) ou tout vecteur qui lui est colinéaire càd de coordonnées (k ; ka) vocabulaire : ces vecteurs sont appelés vecteurs directeurs de la droite, car ils donnent la direction de la droite * ord à l'origb⇔(d) passe par le point (0 ; b)

applications : - pour tracer rapidement la représentation graphique d'une fct affine donnée : ex - pour lire rapidement l'expression d'une fct affine de représentation graphique donnée : ex

4. sens de variation d'une fct affine th soitf(x) = ax+bune fct affine siaest positif alorsfest croissante siaest négatif alorsfest décroissante

dém : un vecteur directeur de Cf est (1 ; a) : si a est positif, on monte si a est négatif, on descend

II. EQUATIONS DE DROITES pb: on a vu dans l'activité d'introduction que l'ensemble des points dont les coordonnées (x ; y) vérifient l'égalité 3x+2y-5 = 0 formaient la droite (d) = (AB) avec A (-1;1) et B(3 ; -2) Inversement, si on nous donne une droite (d) définie par deux points A et B, peut-on trouver une égalité vérifiée par les coordonnées des points de cette droite ?

exemple 1: A(2 ; -1) et B( 4 ; -4) exemple 2 : A(2 ; -1) et B( 2 ; -4)

exemple 1: A(2 ; -1) et B( 4 ; -4) Par le calcul : M appartient à la droite (AB) signifie que A, B et M sont alignés càd que les vecteurs AB et AM sont colinéaires or AB(2 ; -3) et en posant M(x ; y), AM(x-2 ; y+1) M(x ; y)∈(AB) signifie donc que2(y+1) = -3(x-2) càd2y+2 = -3x+6càd2y = -3x+4soit : y = -1,5x+2(forme « réduite ») ou3x+2y-4 = 0(forme « cartésienne »)

vérifications : voir cahier d'exercices

y –y 2 1 * formule du I2 : a = a= = x –x 2 1 * interprétation vecteurs : AB(2 ; -3) donc le coefficient interne est a = -3 / 2 = -1,5 * lecture graphique du b :

exemple 2 : A(2 ; -1) et B( 2 ; -4) Par le calcul : M appartient à la droite (AB) signifie que A, B et M sont alignés càd que les vecteurs AB et AM sont colinéaires or AB(0 ; -3) et en posant M(x ; y), AM(x-2 ; y+1) M(x ; y)∈(AB) signifie0(y+1) = -3(x-2) càd0y+0 = -3x+6càd 0 = -3x+6soit :3x=6 et x=2(forme « réduite ») ou3x+0y-6 = 0(forme « cartésienne »)

vérifications : y –y 2 1 * formule du I2 : a = a= = erreur ! x 2 – x 1 * interprétation vecteurs : AB(0 ; -3) donc le coefficient interne est a = -3 / 0 = erreur ! * lecture graphique du b : la droite ne coupe pas l'axe des ordonnées ! * en revanche on peut vérifier que tous les points de cette droite ont une abscisse x qui vaut 2 : les coordonnées (x ; y) de tousles points de cette droite vérifient l'égalitéx=2

Retenons : il existe desdroites ne sont pas les représentation graphique de fcts affines : ce sont les droites parallèles à l'axe des ordonnées ; elles ont une équation réduite de la forme x=k