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Chapitre 7OPRATEURS NON-BORN SDans ce qui suit H et G dØsignent des espaces de Hilbert.Version du 6 septembre 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 375É7.1 OpØrateurs fermØs7.1 OpØrateurs fermØsDEFINITION 1 Soient H et G des espaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-nØaire T :D(T) G dØÞnie sur un sous-espace vectoriel D(T) de H est un opØrateur , dansH valeurs dans G s il faut prØciser. Nous dirons simplement que c est un opØrateur dans Hsil prend ses valeurs dans H . Le sous-espace vectoriel D(T) sap’ pelle le domaine de T . NousdØsignerons par D(T) le sous-espace vectoriel D(T) muni du produit scalaire(ξ|η) =(ξ|η) +(Tξ|Tη) .D(T) H GCe produit scalaire est parfois notØ (ξ|η) . La norme dØduite s appelle norme en graphe .TNous dirons quun opØrateur T est fermØ si le grapheGrT ={(ξ,Tξ)∈H G| ξ∈D(T)}est fermØ dansH G .THEOREME Soit T un opØrateur dans H . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) T est fermØ.(ii) Pour toute suite (ξ ) ⊂D(T) telle quek k∈Nξ := lim ξ et γ := lim Tξk kk kexistent dans H respectivement G,onaξ∈D(T) et γ =Tξ .(iii) D(T)estunespacedeHilbert.Dans ce cas D(T) est l image de GrT par pr et D(T) ,→H est un sous-espace hilbertien1de noyau D :H D(T) tel queT†D(T)=D (H)+T (G) ,T† †i.e. Id =D D +T T , en considØrant les semi-dualitØshD(T)|D(T)i ethH|Hi.D(T) T TLØ’ quivalencede (i)et(ii)estimmØdiate.Pourcellede (i)et(iii),ilsuffitderemarquerqueD(T) est isomØtrique au sous-espace vectoriel GrT @H G ,H G Øtant ...

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lCuadeP

Chapitre 7

OPÉRATEURS NON-BORNÉS

ortenie

Dans ce qui suitHetGdésignent des espaces de Hilbert.

rNALAYSEOFCNITONNELLE

Version du 6 septembre 2004

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7.1

7.1 Opérateurs fermés

Opérateurs fermés

DEFINITION 1SoientHetGespaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-des néaireT:D(T)−→GdéÞnie sur un sous-espace vectorielD(T)deHest unopérateur, dans Hà valeurs dansGsil faut préciser. Nous dirons simplement que cest un opérateur dansH sil prend ses valeurs dansH. Le sous-espace vectorielD(T)sappelle ledomainedeT. Nous désignerons parD(T)le sous-espace vectorielD(T)muni du produit scalaire (ξ|η) D(T) = (ξ|η) H + (Tξ|Tη) G . Ce produit scalaire est parfois noté(ξ|η) T . La norme déduite sappellenorme en graphe. Nous dirons quun opérateurTestfermési le graphe GrT={(ξ, Tξ)∈ |H × Gξ∈D(T)} est fermé dansH × G.

THEOREMESoitTun opérateur dansH. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermé. (ii) Pour toute suite(ξ k ) k∈N ⊂D(T)telle que ξ:= lim k ξ k etγ:= lim k Tξ k existent dansHrespectivementG, on aξ∈D(T)etγ=Tξ. (iii)D(T)est un espace de Hilbert. Dans ce casD(T)est limage deGrTparpr 1 etD(T),→Hest un sous-espace hilbertien de noyauD T :H−→D(T)tel que D(T) =D T (H) +T  (G), i.e.Id D(T) =D T D T  +T  T, en considérant les semi-dualitésh D(T)| D(T)iet Hih H|. Léquivalence de (i) et (ii) est immédiate. Pour celle de (i) et (iii), il suffit de remarquer que D(T)est isométrique au sous-espace vectorielGrT@H × G,H × Gétant muni du produit scalaire produit (cf. exemple 1.2.4). Finalement en notantj:D(T),→Hlinjection canonique, pour toutθ,θ 0 ∈D(T), on a (θ|θ 0 ) D(T) = (jθ|jθ 0 ) H + (Tθ|Tθ 0 ) G = ³ θ| ³ D T D  T +T  T ´ θ 0 ´ D(T) , doù le résultat par le théorème 5.4 et la proposition 5.7. Nous aurions aussi pu appliquer lexemple 5.11.3. ¤

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Opérateurs fermés 7.1 REMARQUEEn dautres termes, on peut permuter limite et opérateur fermé, pour autant que les limites existent. Le calcul explicite du noyauD T deD(T),→Hse fera dans le théorème 7.3.iii. Voir aussi le théorème 7.8.i.

PROPOSITIONPour quun opérateur ferméTdansHsoit continu surD(T), muni de la norme induite parH, il faut et il suffit queD(T)soit fermé dansH. En effet siD(T)est fermé, cest un espace de Hilbert et le théorème du graphe fermé montre queTest continu. Réciproquement siTest continu, il existe un unique prolongement b continuT:D(T)−→G. On a alors GrT b = GrT D(T)×G = GrT H×G = GrT, puisqueTest fermé, donc D(T) = pr 1 ³ GrT ´ b = pr 1 (GrT) =D(T). ¤ Ceci montre que la notion dopérateur fermé est une bonne généralisation de la notion dopérateur continu à des opérateurs qui ne sont pas partout déÞnis. SCOLIESiTest un opérateur fermé de domaine dense, on a ou bien Test continu et partout déÞni, ou bien Tnest pas continu et nest pas partout déÞni.

DEFINITION 2Dans le premier cas on aT∈L(H,G)et nous dirons queTestborné, dans le second cas on dit queTestnon-borné.

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7.2

7.2 Opérateurs fermables

Opérateurs fermables

Bien souvent un problème se traduit par la donnée dun opérateur qui nest pas fermé. Le but de la théorie des opérateurs non-bornés est essentiellement de construire des prolongements fermés de lopérateur donné, puis détudier leurs propriétés. DEFINITION 1SiSetTsont des opérateurs dansH, nous dirons queSest unprolonge- mentdeT, notéT⊂S, siD(T)⊂D(S)etT=S |D(T) . Nous dirons quun opérateur dansHestfermablesi la fermetureGrT H×G deGrTdans H × Gle graphe dun opérateur, évidemment fermé et prolongeantest T, appelé lafermeture deTet notéT.

PROPOSITIONSoitTun opérateur dansH. SiTpossède un prolongement ferméS, alorsTest fermable,T⊂Set les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)S=T. (ii)Sest le plus petit prolongement fermé deT. (iii)D(T)est dense dansD(S). On a évidemmentGrT H×G ⊂GrS, doncGrT H×G est un graphe etT⊂S. Léquivalence des trois assertions est immédiate en se rappelant queD(S)est isométrique au sous-espace vectorielGrS@H × G. ¤ Ce lemme nous conduit à poser la DEFINITION 2Un sous-espace vectoriel dense deD(T)sappelle undomaine essentielde T. Le domaine dun opérateur fermable est évidemment un domaine essentiel de sa fermeture. Dautre part tout domaine essentiel dun opérateur de domaine dense est dense dansH, mais la réciproque est fausse (cf. exemple 7.9.8). REMARQUE 1Linjection canoniquej:D(T),→Het lopérateurT:D(T)−→Gsont continus de norme61. En effet, pour toutξ∈H, on a kξk 2 H ,kTξk G 2 6kξk 2 H +kTξk 2 G =kξk 2 D(T) . ¤ \ b \ Nous désignerons parD(T)le complété deD(T). Soient encorej:D(T)−→Hlunique b \ prolongement linéaire continu dejetT:D(T)−→Gcelui deT. Le produit scalaire de \ D(T)est donné par \ (ξ|η) D( \ T) = ³ j b ξ ¯ j b η ´ H + ³ T b ξ ¯ T b η ´ G pour toutξ,η∈D(T) (cf. remarque 1.3).

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Opérateurs fermables

7.2

THEOREMESoitTun opérateur dansH. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermable. (ii)pr 1 : GrT H×G −→Hest injective. (iii) Pour toute suite(ξ k ) k∈N ⊂D(T)telle quelim k ξ k = 0dansHet telle quelim k Tξ k existe dansG, on alim k Tξ k = 0. b \ (iv) Lapplication canoniquej:D(T)−→Hest injective. Dans ce cas j ³ b D(T) ´ =D ¡ T ¢ etT b =T b j. \

(i)⇒(ii)Cest immédiat. (ii)⇒(iii)Posonsγ:= lim k Tξ k . Lhypothèse dans (iii) signiÞe que(ξ k , Tξ k ) k∈N converge vers(0,γ)dansGrT H×G . Mais commepr 1 (0,γ) = 0 = pr 1 (0,0), on obtientγ= 0par (ii). \ b (iii)⇒(iv)Siξ∈D(T)est tel quej(ξ) = 0, il existe une suite(ξ k ) k∈N ⊂D(T)telle que \ ξ= lim k ξ k dansD(T). On a b b b lim k ξ k = lim k j(ξ k ) =j(lim k ξ k ) =j(ξ) = 0dansH, et(Tξ k ) k∈N est une suite de Cauchy dansG, donc convergente. On en déduit par (iii) que lim k Tξ k = 0dansG, donc que lim k kξ k k T 2 = lim k ¡ kξ k k 2 H +kTξ k k G 2 ¢ = 0, \ ce qui montre que(ξ k ) k∈N converge vers0dansD(T), donc queξ= 0. (iv)⇒(i)SoitSlopérateur déÞ b j ³ D( \ T) ´ parT b =S b j. ni sur La remarque 1 montre que D(S) =j ³ b D( \ T) ´ , donc queSest un opérateur fermé par le théorème 7.1. Il suffit donc par la proposition de remarquer queSprolongeTet queD(T)est dense dansD(S). ¤

REMARQUE 2Il existe évidemment des opérateurs non-fermables (exercice). Mais nous allons voir (cf. 7.9) que beaucoup dopérateurs différentiels sont fermables. Il nest pas souvent possible de déterminer explicitement le domaineD ¡ T ¢ de la fermeture. Cest une des raisons qui nous oblige à introduire un appareil théorique assez élaboré.

REMARQUE 3Les notions dopérateur fermé, à part ce qui concerne la structure de sous- espace hilbertien de son domaine, et dopérateur fermable peuvent sétendre aux espaces de Banach en utilisant les mêmes démonstrations. SiFetGsont des espaces de Banach, par compatibilité on considère la normek·k 2 surF×GdéÞnie par k·k 2 2 :=k·k 2 F +k·k 2 G pour pouvoir déÞnir la norme en graphe deD(T).

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7.3

Opérateurs et sous-espaces hilbertiens

7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens

Dans tout ce qui suit nous considérerons un espace localement convexe séparéF, un sous-espace hilbertienH,→F  de noyauh:F−→H et une application linéaire continueT:F−→G.

EXEMPLE (classique)SiTest un opérateur de domaine dense dansHet à valeurs dans G, on peut prendre pourFun domaine essentiel deT, muni de la topologie induite parD(T) ou dune topologie localement convexe séparée telle que linjection canoniqueh T :F,→D(T) soit continue. Sij:D(T),→Hdésigne aussi linjection canonique, on obtient le diagramme suivant F, h → T D(T), j →H, j →  D(T) β  h → T  F  , , puisqueh T etj ceci nous permet didenti ;sont dimage denseÞerHetD(T) β  à des sous-espaces hilbertiens deF  . Le noyauhdeH,→F  est égal àjh T , donc injectif. On dit parfois lorsqueFpossède des propriétés supplémentaires (nucléarité) queF,→H,→ F  est un Gelfandtriple de. Cadre généralCest le cas si le noyauhdeHnest pas nécessairement injectif, doncF nest pas un sous-espace vectoriel deH, et on considère une application linéaire continue T:F−→G. Ce cadre nous sera utile lorsque nous rencontrerons des situations oùHnest pas dense dansF  se présente par exemple pour dé; cela Þnir la notion dopérateur décomposable ou en théorie des représentations. Il nous impose également, ce qui est avantageux dans beaucoup de formulations faisant intervenir plusieurs opérateurs, de ne considérer que des opérateurs déÞnis sur le même domaine, en loccurenceh(F), qui est dense dansH.

Nous supposerons sauf mention explicite du contraire que tout opérateur dansHest de domaine dense.

Rappelons les construction déjà faites dans les exemples 5.11.3 et 5.16.2. On considère la forme sesquilinéaire hermitienne positive (ϕ,ψ)7−→(hϕ|hψ) H + (Tϕ|Tψ) G :F×F−→K \ associée au noyau hermitien positifh  h+T  T, lespace de HilbertD(T)complété de lespace préhilbertien D(T) :=F h  h+T  T , lapplication canonique h T :F−→D(T) :ϕ7−→ϕ+ Ker ¡ h  h+T  T ¢ , \

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Opérateurs et sous-espaces hilbertiens 7.3 lespace de HilbertD(T)  β =D( \ T)  β plongédansF  à laide deh  T , ainsi que les prolongements linéaires continus canoniques b \ b \ h:D(T)−→HetT:D(T)−→G dehetT. On ah= b hh T etT=T b h T , donch  =h  T h b  etT  =h  T T b  ; puisqueh  eth  T sont les injections canoniques deHetD(T) β  dansF  , b h  est linjection canonique deHdansD(T)  β . Les diagrammes suivants sont donc commutatifs :

et

.

b Remarquons que les adjointes deTetTprennent les mêmes valeurs sur les mêmes éléments \ deG. En outre le produit scalaire surD(T)est donné par (ξ|η) D( [ T) = ³ h b ξ ¯ h b η ´ H + ³ TξTη ´ pour toutξ,η∈D( \ T). b b ¯ G Il nous faut maintenant clariÞer les conditions sous lesquellesTinduit un opérateur dans H. Le résultat suivant est immédiat.

LEMMELes propriétés suivantes sont équivalentes : e (i)Tse factorise parhen un opérateurTde domaineh(F). b (ii) La restriction dehàD(T)est injective. (iii) On aKerh⊂KerT. Un tel opérateur est toujours de domaine dense. Il est alors clair que les espaces préhil- sD(T)etD ³ T e ´ sont isomorphes, et le t e bertien héorème 7.2 montre queTest fermable si, b et seulement si,hest injective. Nous insistons sur le fait quil nest pas judicieux de rempla- çerTparT, car il est plus intéressant dutiliser la semi-dualité + F|F  ® donnée à priori et e intimement liée dans les applications au problème considéré. Ceci nous conduit à poser la b DEFINITIONNous dirons queTestfermabledansHsihest injective et nous désignerons b b parTlopérateur fermé dansHet à valeurs dansGtel queT=T h, appelé lafermeture de T.

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7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens Dans ce cas, on a évidemmentD ¡ T ¢ = b h ³ D( \ T) ´ et no \ , us identiÞeronsD(T)avecD ¡ T ¢ , donch b avec linjection canoniquej:D ¡ T ¢ ,→H. On a donc les diagrammes commutatifs

et

.

Puisqueh  T ,j  etjsont des injections canoniques, nous les écrirons sous la forme généraleId, ou bien pas du tout, si aucune confusion nen résulte. REMARQUENous allons jouer sur deux tableaux : certaines formulations ne ferons inter- venir queHetT, tandis que dautres introduironsF  . Lavantage tient au fait queTétant mal connu, surtout son domaine de déÞnitionD ¡ T ¢ , la considération deF, donc en particu- lier la considération dune topologie adéquate sur le domaine deT, permet de calculer dans F  ce qui donne tant dimportance aux espaces de distributions.. Cest Historiquement lopérateurTtout dabord été étudié en restant dans lespace de Hilberta H; pratiquement les formulations ne faisant intervenir que cet espace (et lopérateur) semblent plus immédiates et mieux interprétables (par exemple en mécanique quantique, mais cela peut aussi dépendre des écoles !). Lune des objections, à vouloir donner une interprétation deF, a trait à son caractère non-canonique (à voir, puisque lon peut prendreF=D(T), mais cest peut-être cette dépendance qui gêne). PROPOSITION (i) Le noyau deD(T)  β ,→F  esth  h+T  T, i.e. D(T) β  =H+T  (G); en particulier tout élément deD(T)  est de la formeξ+T  γpour certainsξ∈Hetγ∈G. Lapplication h+T Q:=h b  b T b  b :D( \ T)−→D(T)  β est celle de Riesz. Remarquons queh b  b hest le noyau deH,→D(T)  etT b  T b celui deT  (G) =T b  (G),→ D(T)  .  (ii) Siµ∈D(T), alors léquation  b +T  T b θ=µ h hθ

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Opérateurs et sous-espaces hilbertiens 7.3 \ possède une unique solutionθ∈D(T). Dautre part le problème variationnel 2 ξ+T  γ=µetkξk 2 H +kγk G est minimal possède une unique solution(ξ,γ)∈H × G. On a kµk 2 D(T) β  =kξk 2 H +kγk 2 G ,ξ=h b θetγ=T b θ. Démonstration de (i)Cest la reformulation de lexemple 5.11.3. \ Démonstration de (ii)La première partie est évidente puisqueQest une bijection deD(T) surD(T) β  . Quant à la seconde, on applique tout dabord lassertion de minimalité à la somme D(T) β  =H+T  (G)(cf. 5.7), puis à limageT  (G)(cf. 5.4) : on a p H µ∈H,p T  (G) µ∈T  (G)et ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ ∈G ainsi que µ=p H µ+p T  (G) µ,p T  (G) µ=T  ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ , kµk 2 D(T)  β =kp H µk 2 H + ° p T  (G) µ ° T  (G) , ° p T  (G) µ ° T  (G) = ° ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ ° G , donc kµk 2 D(T) β  =kp H µk 2 H + ° ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ ° G 2 . Réciproquement si µ=ξ+T  γpour certainsξ∈H,γ∈Getkξk 2 H +kγk 2 G est minimal, on a kγk G > ° T  γ ° T  (G) , donc kξk 2 H +kγk G 2 >kξk 2 H + ° T  γ ° 2 > T  (G) 2 >kp H µk 2 H + ° p T  (G) µ ° 2 T  (G) =kp H µk 2 H + ° ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ ° G ; la minimalité entraîne alors légalité, puis lunicité pour la somme que ξ=p H µetT  γ=p T  (G) µ, etÞnalement celle pour limage que γ= ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ . En outre 2 kµk 2 D(T) β  =kp H µk 2 H + ° ¡ T  ¢ G −1 ¡ p T  (G) µ ¢ ° G =kξk 2 H +kγk G . Pour terminer, soitθ∈D(T)tel que ³ h  b h+T  T b ´ θ=µ; on a alors \ kξk 2 H +kγk G 2 =kµk 2 D(T) β  = (µ|µ) D( )  β = D Q −1 ³ h b  h b +T b  T b ´ θ ¯ b h  h b θ+T b  T b θ E D [ = T (T) Claude Portenier OPÉRATEURS NON-BORNÉS 383

7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens b 2 = D θ|h b  b hθ E D( [ T) + D θ|T b  T b θ E D( [ T) = ° b hθ ° 2 H +Tθ; ° ° G b b par lunicité on obtientξ=hθetγ=Tθ. ¤ En récapitulant les résultats obtenus on a le

THEOREMELes propriétés suivantes sont équivalentes : (i)Test fermable. (ii)h(F), ouH, est dense dansD(T) β  . (iii) La semi-dualité D D( \ T) ¯ D(T)  E est bien plongeable. Dans ce cas D D ¡ T ¢ ¯ D(T)  E est bien plongée et, pour toutϕ∈F,θ∈D ¡ T ¢ ,ξ∈Het µ∈D(T)  , on a hϕ|µi F =hhϕ|µi D ( T ) ,hϕ|θi F =hhϕ|θi D(T)  et (θ|ξ) H =hθ|ξi D ( T ) . En outre  Q +:= IdT  T:D ¡ T ¢ −→D(T) β est lapplication de Riesz ; les noyaux de D ¡ T ¢ ,→D ¡ T ¢ ,D ¡ T ¢ ,→H,H,→D(T)  et D(T) β  ,→D(T)  ,D(T)  β ,→F  sont respectivement Q −1 :D(T)  −→D ¡ T ¢ ,Q −1 |H :H−→D ¡ T ¢ ,Id :D ¡ T ¢ ,→H et Q:D ¡ T ¢ −→D(T)  ,Qh T :F−→D(T)  β . β Il suffidappliquer le corollaire de lexemple 5.17.2. Remarquons premièrement quet h  b h: D( \ T)−→F  est une factorisation coh  doncTest fermable  i.e b ntinue deh, .hest injective xièmemen b h  h:F−  si, et seulement si, la condition (iii) de ce corollaire est satisfaite. Deu t→ D(T)  :ϕ7−→hϕest continue, donch(F)est dense dansD(T) β  , ou bienHest dense dans D(T) β  (puisqueh(F)est dense dansH) si, et seulement si, la condition (ii) du corollaire est satisfaite. Les formules de dualité ne sont quune réécriture de celles de la déÞnition 5.17.2. Puisque nous identiÞonsD(T)avecD ¡ T ¢ , lapplication de Riesz a été calculée dans la proposition \ précédente. Finalement, on obtient les noyaux des différents sous-espaces hilbertiens en utilisant les formules de dualité. ¤

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