af-cours

Informations

• Publié par: Intey
• Nombre de lectures: 10
• Langue: Français

Extrait

7
Chapitre 8
DCOMPOSITIONS SPECTRALES
Dans tout ce qui suit F est un espace localement convexe,
σ une intØgrale de Radon sur un espace topologique sØparØ Λ
etR †bH = Hdσ une dØcomposition d un sous-espace hilbertien dans F .
‡ ·bRappelons le lemme 5.12 et le thØorŁme 5.13 : σ,H est une dØcomposition de H dans° ° ° °° ° ° °† 2b bF si, et seulement si, hϕ ∈L (σ) pour tout ϕ∈F et ϕ hϕ est une semi-norme de° ° ° °
ƒ 2
Mackey sur F .
Version du 6 septembre 2004
Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 417
−→
É8.1 Les opØrateurs de multiplications
8.1 Les opØrateurs de multiplications
‡ ·
2 bLEMME Soient α :Λ K une fonction σ-mesurable et ζ∈L σ,H .‡ ·
∞ 2 b(i) Si α∈L (σ),onaα•ζ∈L σ,H . ‡ ·
2 b(ii) Pour tout k∈N,ona1 •ζ , 1 •α•ζ∈L σ,H .{|α|6k} {|α|6k}‡ ·
2 b(iii) On a ζ=lim 1 •ζ dansL σ,H .k {|α|6k} ‡ ·
2 b(iv) Si kα•ζk <∞,alorsα•ζ∈L σ,H .2
∞DØmonstration de (i) Si α∈L (σ),onaZ Z∗ ∗
2 2 2 2 2 2kα•ζk = kα(λ)•ζ(λ)k dσ(λ)6kαk • kζ(λ)k dσ(λ)=kαk •kζk <∞ .
2 λ ∞ λ ∞ 2fl flEDfl fl∞bD aprŁs la remarque 5.12.4, il existe une suite (ζ ) de h(F) L (σ) telle que ζ=lim ζfl fl kk kk∈N‡ ·
2 bdansL σ,H ; mais comme
2 2 2kα•ζ −α•ζk 6kαk •kζ −ζk 0 ,k k2 ∞ 2
il vient ‡ ·
2 bα•ζ=lim α•ζ ∈L σ,H ,k kfl ED flfl fl∞bpuisque α•ζ ∈ h(F) L (σ) .fl flk
∞DØmonstration de (ii) Cest immØdiat, puisque 1 , 1 •α∈L (σ) .{|α|6k} {|α|6k}S
DØmonstration de (iii) On aΛ = {|α|6k} et
k∈N° ° ° °
2° ° ° °1 •ζ−ζ = 1 •ζ 6kζk ∈L (σ) .{|α|6k} {|α|>k} ƒƒ ƒ
Puisque 1 •kζk est σ-mesurable, on obtient{|α|>k} ƒ Z° °2 2° °lim 1 •ζ−ζ =lim 1 •kζk dσ=0k {|α|6k} k {|α|>k} ƒ2
parlethØorŁmedeLebesgue.
DØmonstration de (iv) Si kα•ζk <∞,onobtient
2° ° ° °
2° ° ° °1 •α•ζ−α•ζ = 1 •α•ζ 6kα•ζk ∈L (σ) ,{|α|6k} {|α|>k} ƒƒ ƒ
418 DCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier
É
’
−→
−→6
7
7
Les opØrateurs de multiplications 8.1
et puisque 1 •|α|•kζk est σ-mesurable, on en dØduit{|α|>k} ƒ Z° °2 2 2° °lim 1 •α•ζ−α•ζ =lim 1 •|α| •kζk dσ=0k {|α|6k} k {|α|>k} ƒ2
par le thØorŁme de Lebesgue. ⁄
Gr ce ce lemme nous pouvons introduire les notations suivantes :
DEFINITION 1 Posons fl‡ · n ‡ · ofl2 2b bL σ,H := ζ∈L σ,H kα•ζk <∞flα 2
et ‡ · ‡ ·
2 2b bM :L σ,H L σ,H : ζ α•ζ .α α
∞REMARQUE Rappelons que L (σ) est muni de la norme supØrieure essentielle! On a
donc |α|6kαk localement σ-p.p. .∞
Nous utiliserons comme prØcØdemment (cf. exemple 1.2.6 et 6.10) la notation
2hidi := 1+|id| .
THEOREME
∗(i) Si α :Λ K est une fonction σ-mesurable, lopØrateur M est normal et M = M .α αα‡ ·
2 bEn particulierL σ,H estunespacedeHilbertpourlanormedØÞnie par M .αα
Si A est une partie σ-mesurable sur laquelle α est essentiellement bornØe, alors 1 •A‡ · ‡ ·
2 2b bL σ,H ⊂L σ,H .α ‡ · ‡ · ‡ · ‡ ·
2 2 2 2b b b bLes noyaux deL σ,H ,→L σ,H et α•L σ,H ,→L σ,H sont respectivementα α
M −1 et M 2 −1 .hαi |α| •hαi ‡ ·
∞ 2 b(ii) Pour tout α ∈ L (σ) l opØrateur M est bornØ dans L σ,H de norme 6 kαk .α ∞
L application ‡ ‡ ··
∞ 2 bM : α M :L (σ) L L σ,Hα
∗ ∞est linØaire, involutive, i.e. M =M , multiplicative, i.e. M =M M pour tout β∈L (σ)α α•β α βα
et continue de norme 1 .
(iii) Pour toute partie σ-mesurable A ⊂ Λ l opØrateur M := M est l orthoprojecteur surA 1A‡ ·
2 b1 •L σ,H ,M =M =0et M =M =Id.A 0 Λ 1∅
(iv) Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :
∞(a) Pour tout α∈L (σ),onakM k =kαk .α ∞
(b) Pour toute partie σ-mesurable A qui n’est pas localement σ-nØgligeable, on a‡ ·
2 b1 •L σ,H ={0} .A b(c) Toute partie σ-mesurable A telle que 1 •h=0scalairement σ-p.p. est localementA
σ-nØgligeable.
Claude Portenier D COMPOSITIONS SPECTRALES 419
−→ −→
’ −→
−→ −→
à7
7
6
6
6
8.1 Les opØrateurs de multiplications
‡ ·
2 bDØmonstration de (i) Si ζ∈ 1 •L σ,H et αestessentiellementbornØesurA,onA ‡ ·
2 ba α• ζ =1 • α•ζσ -p.p., donc α• ζ ∈L σ,H par le lemme 8.1. L opØrateur M est deA α‡ · ‡ ·
2 2b bdomaine dense. En effet, pour tout ζ∈L σ,H ,ona1 •ζ ∈L σ,H par le lemme{|α|6k} α‡ ·
2 b(ii) et ζ=lim 1 •ζparlelemme(ii).IlestfermØcarL σ,H estunespacedeHilbertk {|α|6k} α
pour la norme en graphe k•k .Eneffet si (ζ ) est une suite de Cauchy dans cet espace, onkα k∈N‡ ·
2 ba ζ := lim ζ et θ := lim α•ζ dansL σ,H . Mais par la proposition 5.12, il existe unek kk k
sous-suite (k ) deN telle que ζ :=lim ζ et θ := lim α•ζ ponctuellement. On en dØduit quel l lk kl l‡ ·
2 bθ = α•ζ , puis que ζ=lim ζ dansL σ,H .k k α‡ · ‡ · ‡ · ‡ ·
2 2 2 2b b b bPour calculerlenoyaudeL σ,H ,→L σ,H ,soientζ∈L σ,H etθ∈L σ,H .α α
On a Z Z¡ fl ¢ ¡ fl ¢−1 −1fl fl(ζ|θ) = hαi •ζ θ dσ + α•hαi •ζ α•θ dσ =2L ƒ ƒfl¡ ¢−1 fl= hαi •ζ θ ,
α‡ ·
−1 −12 bcar hαi •ζ ∈L σ,H . Ce noyau est donc ζ hαi •ζ . DØterminons maintenant celuiα‡ · ‡ ·
2 2b bde α•L σ,H ,→L σ,H . Remarquons tout d abord queα Z° °
2 2 2° °kα•θk =infkγk = 1 •θ = hαi•kθk •1 dσ .2 {α=0} {α=0}α•L α ƒαα 2γ∈L ,α•γ=α•θα
On a alors Z fl fl¡ ¢ ¡ ¢−1 −1fl fl(ζ|α•θ) = hαi• α•hαi •ζ θ •1 dσ = α•α•hαi •ζ α•θ ,2 {α=0} 2L ƒ α•Lα‡ ·
−1 2 −12 bcar α•hαi •ζ∈L σ,H . Ce noyau est donc ζ |α| •hαi •ζ .α
Nous avons ainsi prouvØ que‡ · ‡ · ‡ ·
2 2 2b b bL σ,H +α•L σ,H =L σ,H ,α α ‡ · ‡ ·
∗ 2 2b bdonc queM est normal par le lemme 7.7. Ainsi D(M )=D(M )=L σ,H =L σ,H ,α αα α α‡ ·
2 bet comme pour tout ζ,θ∈L σ,H ,onaα
∗(θ|M ζ)=(α•θ|ζ) =(θ|α•ζ) =(θ|M ζ) ,2 2 αα L L
∗on obtient M =M .αα ‡ ·
∞ 2 bDØmonstration de (ii) Si α∈L (σ) , pour tout ζ∈L σ,H ,onaZ Z
2 2 2 2kM ζk = (α•ζ|α•ζ) dσ6kαk • (ζ|ζ) dσ =kαk •kζk ,α 2 ƒ ∞ ƒ ∞ 2
donckM k6kαk . L application M est Øvidemment linØaire, involutive et de norme6 1.Siα ∞∞β∈L (σ),alors
M ζ=(α•β)•ζ =α•(β•ζ)=M M ζ .α•β α β
420 DCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier
É
−→
−→6
6
6
6
Les opØrateurs de multiplications 8.1
DØmonstration de (iii) Si A est une partie σ-mesurable deΛ,comme
21 =1 = 1 ,A AA
lopØrateur M satisfait par (ii) aux relationsA
2 ∗
2M =M =M =M ,A1A AA ‡ ·
2 bdonc est un orthoprojecteur. Son image est 1 •L σ,H .A
DØmonstration de (iv)
(a)⇒ (b) Si A n est pas localement σ-nØgligeable, on a kM k = k1 k =0,doncA A ∞
M =0.A b b(b)⇒ (c) Si 1 •h=0scalairement σ-p.p.,alors1 •h=0ponctuellement σ-p.p. par leA A ° ° flD E2° ° flb bthØorŁme 5.12oudirectementenconstatantque,pour tout ϕ∈F,ona hϕ = ϕ hϕ =° ° fl
ƒfl flEDfl fl∞b0 σ-p.p. . Ainsi 1 •h(F) L (σ) ={0} et en utilisant lexercice 5.12 on obtientfl flA
2‡ · ‡ · fl ED flΛfl fl2 2b b b ∞1 •L σ,H =L σ,1 •H = 1 •h(F) L (σ) ={0} ;fl flA A A
(b) montre alors que A est localement σ-nØgligeable.
(c) ⇒ (a) Il nous suffit de prouver que, pour tout λ < kαk ,onaλ 6 kM k.Maisα∞ bA :={λ<|α|} nest pas localement σ-nØgligeable, donc on na pas 1 •h=0ponctuellementAn obσ-p.p. . Il existe donc un ϕ∈ F tel que 1 •hϕ=0 ne soit pas σ-nØgligeable et il vientA° °2° °b1 •hϕ =0,ainsique° °A
2 Z Z° ° ° ° ° ° ° °‡ · 2 2 2 2° ° ° ° ° ° ° °2 2 2b b b bM 1 •hϕ = 1 •|α| • hϕ > λ • 1 • hϕ =λ • 1 •hϕ ,° ° ° ° ° ° ° °α A A A A
2 ƒ ƒ 2
ce qui Þnit la dØmonstration. ⁄
Claude Portenier D COMPOSITIONS SPECTRALES 421
’ ’
’
’7
7
8.2 Les opØrateurs de Toeplitz associØs une dØcomposition
8.2 Les opØrateurs de Toeplitz associØs une
dØcomposition
‡ ·
2 bDEFINITION 1 Soit P lorthoprojecteur de L σ,H surµ µ ¶¶ 2Z ⊥L 2LbP := Ker ƒdσ =h(F) ,
lespace des reprØsentants de Parseval associØ la dØcomposition de H (cf. remarque 5.14.1).
Pour toute fonction σ-mesurable α :Λ K , nous poseronsn fl ‡ ·ofl 2b bD(α):= ξ∈H fl ξ∈L σ,H ,α
et dØsignerons par Z lopØrateur dans H dØÞni parα Z bZ :D(α) H : ξ α•ξdσ .α
On a donc le diagramme commutatif suivant :
Zα
H D(α) H Rbƒ ƒdσ‡ · ‡ ·
.2 2b bP P∩L σ,H L σ,Hα
Mα‡ ·
2 bL σ,Hα R
PuisquebƒestuneisomØtriedeHsurP ,dontlapplicationrØciproqueest ƒdσ,l opØrateur
Z est Øquivalent l opØrateur dans P dØÞni parα ‡ ·
2 bζ P (α•ζ):P∩L σ,H P .α
DEFINITION 2 Nous dirons que l opØrateur Z dans H , ou l opØrateur Øquivalent dansα
P,estunopØrateur de Toeplitz .
‡ · ‡ ·
2 2b bREMARQUE PuisqueP∩L σ,H ,munidelanormeinduiteparcelledeL σ,H ,estα α
un espacedeHilbertcommeon levØriÞe immØdiatement, lopØrateur Z est fermØ. La premiŁreα ‡ ·
2 bquestion gØnante est savoir sous quelles conditions il est de domaine dense, i.e. P∩L σ,Hα
422 DCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier
É
’
−→ −→
à
’
−→ −→
’
−→