La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
Télécharger Lire

af-cours

83 pages
Chapitre 1ESPACES DE HILBERTDans tout ce qui suit F est un espace vectorielsur le corpsK des nombres rØels ou complexes.Versiondu26juin2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 11.1 Formes sesquilinØaires et produits scalaires1.1 Formes sesquilinØaires et produits scalairesDEFINITION 1 SoientF,G,H des espaces vectoriels. Une applicationT :F G est ditelinØaire , respectivement semi-linØaire,sipourtoutα∈K et ϕ,ψ∈F ,onaT (α•ϕ)=α•Tϕ , respectivement T (α•ϕ)=α•TϕetT (ϕ+ψ)=Tϕ+Tψ .On dit quune une application s :F×G H est bilinØaire si elle est sØparØment linØaire,et sesquilinØaire ( gauche , respectivement droite sil’ faut prØciser) si elle est semi-linØaireen la premiŁre variable, respectivement en la seconde, et linØaire en lautre.Une application bilinØaire ou sesquilinØaire (à gauche) à valeur dans K est dite une formebilinØaire ou sesquilinØaire.Soits :F ×F K une forme sesquilinØaire. On dit quelle est(a) hermitienne sis(ϕ,ψ)=s(ψ,ϕ) pour tout ϕ,ψ∈F ,(b) positive sis(ϕ,ϕ)> 0 pour tout ϕ∈ Fet(c) non-dØgØnØrØe sis(ϕ,ψ)=0 pour tout ψ∈F =⇒ ϕ=0ets(ϕ,ψ)=0 pour tout ϕ∈F =⇒ ψ=0.Une forme hermitienne positive non-dØgØnØrØe sappelle un produit scalaire .On a tout d abord laPROPOSITION (InØgalitØ de Cauchy-Schwarz) Si s est une forme hermitienne posi-tive sur F ,alors2|s(ϕ,ψ)| 6s(ϕ,ϕ)•s(ψ,ψ) pour tout ϕ,ψ∈F .Pour tout ϕ,ψ∈ F et α∈K,ona206s(ϕ+α•ψ,ϕ+α•ψ)=s(ϕ,ϕ)+α•s(ϕ,ψ)+α•s(ψ,ϕ)+|α| •s(ψ,ψ) .2 ESPACES DE HILBERT Claude Portenier’’ −→’à−→ ...
Voir plus Voir moins
Claude Portenier
Chapitre 1
ESPACESDEHILBERT
Dans tout ce qui suitFest un espace vectoriel sur le corpsKdes nombres réels ou complexes.
ANALYSE FONCTIONNELLE
Version du 26 juin 2004
1
1.1
Formes sesquilinéaires et produits scalaires
1.1 Formes sesquilinéaires et produits scalaires
DEFINITION 1SoientF, G, Hdes espaces vectoriels. Une applicationT:F−→Gest dite linéaire, respectivementsemi-linéaire, si pour toutαKetϕ,ψF, on a T(α·ϕ) =α·Tϕ, respectivementT(α·ϕ) =α·Tϕ et T(ϕ+ψ) =Tϕ+Tψ. On dit quune une applications:F×G−→Hestbilinéairesi elle est séparément linéaire, etsesquilinéaire ( à gauche, respectivementà droitesil faut préciser) si elle est semi-linéaire en la première variable, respectivement en la seconde, et linéaire en lautre. Une application bilinéaire ou sesquilinéaire (à gauche) à valeur dansKest dite uneforme bilinéaire ou sesquilinéaire. Soits:F×F−→Kforme sesquilinéaire. On dit quelle estune (a)hermitiennesi s(ϕ,ψ) =s(ψ,ϕ)pour toutϕ,ψF, (b)positivesi s(ϕ,ϕ)>0pour toutϕF et (c)éeénérd-génnosi et s(ϕ,ψ) = 0pour toutϕF=ψ= 0. Une forme hermitienne positive non-dégénérée sappelle unproduit scalaire. On a tout dabord la
s(ϕ,ψ) = 0pour toutψF=ϕ= 0
PROPOSITION (Inégalité de Cauchy-Schwarz)Sisest une forme hermitienne posi-tive surF, alors |s(ϕ,ψ)|26s(ϕ,ϕ)·s(ψ,ψ)pour toutϕ,ψF. Pour toutϕ,ψFetαK, on a 06s(ϕ+α·ψ,ϕ+α·ψ) =s(ϕ,ϕ) +α·s(ϕ,ψ) +α·s(ψ,ϕ) +|α|2·s(ψ,ψ).
2
ESPACES DE HILBERT Claude Portenier
Formes sesquilinéaires et produits scalaires 1.1 Sis(ϕ,ϕ) =s(ψ,ψ) = 0, alors en prenantα:=s(ϕ,ψ), on obtient2· |s(ϕ,ψ)|2>0, doncs(ϕ,ψ) = 0. En échangeant au besoinϕetψ, nous pouvons supposer ques(ψ,ψ)6= 0. On prend alors s(ϕ,ψ) α:=s(ψ,ψ) et il vient 06s(ϕ,ϕ)|ss((ψϕ,,ψψ))|2s(ϕ,sψ()ψ·,sψ()ψ,ϕ)+|s(ϕ,ψ)|2)|s(ϕ,ψ))|2, s(ψ,ψ=)s(ϕ,ϕs(ψ,ψ doù linégalité.¤ e DEFINITION 2Une fonctionnellep:F−→Rest dite (a)positivement homogènesi p(α·ϕ) =α·p(ϕ)pour toutαR+etϕF, (b)absolument homogènesi p(α·ϕ) =|α| ·p(ϕ)pour toutαKetϕF, et (c)sous-additivesi p(ϕ+ψ)6p(ϕ) +p(ψ)pour toutϕ,ψF. On dit quepest unesemi -normesipest à valeur dansR+, absolument homogène et sous-additive ; on dit que cest unenormesi en plus elle est (d)séparante p(ϕ) = 0⇐⇒ϕ= 0pour toutϕF. Dans ce cas on dit queFest un espacesemi-normé, respectivementnormé. Pour les propriétés élémentaires des espaces normés le lecteur est prié de consulter le cours dAnalyse [17], § 10.1 à 10.7. La continuité dune application linéaire entre espaces normés est caractérisée dans le paragraphe 11.8 du même cours. Nous généraliserons ces notions plus tard (cf. 2.1 - 2.2 et 3.1 - 3.2).
PROPOSITION (Inégalité de Minkowsky)Sisest une forme hermitienne positive sur F, alors 1 ϕ7−→s(ϕ,ϕ)2:F−→R+ est une semi-norme surF. Il nous sut de prouver la sous-additivité. Pour toutϕ,ψF, on a s(ϕ+ψ,ϕ+ψ) =s(ϕ,ϕ) +s(ϕ,ψ) +s(ψ,ϕ) +s(ψ,ψ) = =s(ϕ,ϕ) + 2·Res(ϕ,ψ) +s(ψ,ψ)6s(ϕ,ϕ) + 2· |s(ϕ,ψ)|+s(ψ,ψ)6 6s(ϕ,ϕ) + 2·[s(ϕ,ϕ)·s(ψ,ψ)]21+s(ψ,ψ) =hs(ϕ,ϕ)12+s(ψ,ψ)21i2, ce quil fallait démontrer.¤
Claude Portenier ESPACES DE HILBERT
3
1.1
Formes sesquilinéaires et produits scalaires
REMARQUE 1Légalité s(ϕ+ψ,ϕ+ψ) =s(ϕ,ϕ) + 2·Res(ϕ,ψ) +s(ψ,ψ) nous sera souvent utile par la suite.
THEOREMESoitsune forme hermitienne positive surF. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)sest non-dégénérée, i.e. un produit scalaire. (ii)s(ϕ,ϕ)>0pour toutϕFr{0}. 1 (iii)ϕ7−→s(ϕ,ϕ)2:F−→Rest une norme surF. Les conditions (ii) et (iii) sont évidemment équivalentes et (ii) entraîne (i). Réciproquement sis(ϕ,ϕ) = 0, par linégalité de Cauchy-Schwarz on a |s(ϕ,ψ)|26s(ϕ,ϕ)·s(ψ,ψ) = 0, doncϕ= 0, puisquesest non-dégénérée.¤
REMARQUE 2Un produit scalaire est en général noté(·| ·). Sik·kdésigne la norme associée, i.e. kϕk2:= (ϕ|ϕ), linégalité de Cauchy-Schwarz sécrit |(ϕ|ψ)|6kϕk · kψkpour toutϕ,ψF. En adaptant la démonstration de la continuité de la multiplication dansK(cours dAnalyse [17], théorème 5.5.iii), on montre facilement que le produit scalaire (·| ·) :F×F−→K: (ϕ,ψ)7−→(ϕ|ψ) est (globalement) continu (cf. exemple 2.4). La proposition 2.4 généralise ce résultat.
REMARQUE 3Pour quon ait égalité dans linégalité de Cauchy-Schwarz, il faut et il sut queϕetψsoient linéairement dépendants. Nous redémontrons en même temps linégalité. Nous pouvons supposer quekϕk= 1en remplaçant au besoinϕparkϕϕk. On a alors 06kψ(ϕ|ψ)·ϕk2= (ψ(ϕ|ψ)·ϕ|ψ(ϕ|ψ)·ϕ) =kψk2|(ϕ|ψ)|2, donc linégalité. On a légalité si, et seulement si,ψ= (ϕ|ψ)·ϕ.¤
EXEMPLE 1SiE, F, G, Hsont des espaces vectoriels surK,s:F×G−→Hune appli-cation sesquilinéaire etS:E−→Gune application linéaire, alors (ϕ, ²)7−→s(ϕ, S²) :F×E−→H est une application sesquilinéaire. La vériÞcation est immédiate.¤
4
ESPACES DE HILBERT
Claude Portenier
Formes sesquilinéaires et produits scalaires
1.1
EXEMPLE 2SoientnNetA= (ak,l)Mn(K). Alors n (x, y)7−→(x|Ay) :=Xak,l·xk·yl:Kn×Kn−→K k,l=1 est une forme sesquilinéaire. Elle est hermitienne si, et seulement si, la matriceAest hermi-tienne, i.e.A=A. Elle est positive si, et seulement si,Aestpositive, i.e.(x|Ax)>0pour toutxKn. Cest un produit scalaire si, et seulement si, la matriceAest hermitienne et strictement positive, i.e.(x|Ax)>0pour toutxKnr{0}. Attention dans la litérature, on utilise souvent pour une matrice les expressions semi-déÞnie positive pour positive et déÞnie positive pour strictement positive. SiAest hermitienne et strictement positive, la norme associée au produit scalaire quelle Þnit est 1 2 x7−→Ãk,lXn=1ak,l·xk·xl!. Nous montrerons (théorème 2.7) que cette norme est équivalente à la norme euclidienne|·|2.
EXEMPLE 3SoientXun espace topologique etµune intégrale de Radon surX. Alors (ξ,η)7−→(ξ|η)µ:=Zξ·η:L2(µ)×L2(µ)−→K est évidemment une forme sesquilinéaire hermitienne positive. Cest un produit scalaire. La 1 norme associée sera désignée park·k2:= (·| ·)2. Nous écrirons souventk·k2pour simpliÞer. En eet(ξ|ξ)µ=R|ξ|2= 0entraîneξ= 0µ-p.p. , i.e.ξ= 0dansL2(µ).¤
DEFINITION 3Unesection commençantedeNest une partieItelle que, pour toutnJ etmN, on aitmIsim6n. Ce sont les ensembles de la forme n={0, . . . , n1}etN. Uneénumérationdun ensemble dénombrable (Þni ou inÞni dénombrable)Aest une bijec-tionσ:I−→A, oùIest une section commençante deN.
LEMMESoientXun ensemble et(αx)xXRune famille de nombres réels telle que supKK(X)X|αx|<. xK Alors{xX|αx6= 0}est dénombrable. SiDest une partie dénombrable contenant{xX|αx6= 0}et siσ:I−→Dune énu-mération deD, alors la sériePls0=puIασ(l)est convergente et sa somme est indépendante deD etσ. On écrit supI Xαx:=Xασ(l) xX l=0 et on dit que cest la somme de la famille(αx)xX.
Claude Portenier
ESPACES DE HILBERT
5
1.1 Formes sesquilinéaires et produits scalaires Pour toutkN, lensemble ½xX¯|αx|>k1¾ estÞni, donc X| |αx|>0}=k>[1½x¯x|>k1¾ {x∈ ∈X|α est dénombrable. La sériePl=0upsασ(l)est alors absolument convergente et Ile lemme découle du théorème de réarrangement 6.14 du cours dAnalyse [17].¤ On dit que(αx)xXnous introduirons dans le cadre des espacesest sommable, notion que localement convexes en 2.6. Les interrelations seront explicitées dans le corollaire 2.11.
EXEMPLE 4SoitXun ensemble et#lintégrale de comptage. Alors (ξ,η)7−→(ξ|η)#:=Xξ(x)·η(x) :`2(X)×`2(X)−→K xX est un produit scalaire. Remarquons que, pour toutξ,η`2(X), il existe une partie dénombrableDXtelle queξ(x) =η(x) = 0pour toutx /D. Siσ:I−→Dest une énumération deD, alors la sériePl0=psuIξ(σ(l))·η(σ(l))absolument convergente, puisque en utilisant linégalité deest Cauchy-Schwarz dansKnon a supI k X¯ξ(σ(l))·η(σ(l))¯= supkIX|ξ(σ(l))| · |η(σ(l))|6 l=0l=0 1 1 2 6supkIÃl=kX0|ξ(σ(l))|2!2·Ãl=Xk0|η(σ(l))|2!=kξk2· kηk2<. On pose alors supI Xξ(x)·η(x) :=Xξ(σ(l))·η(σ(l)), xX l=0 le membre de droite ne dépendant évidemment pas deDetσ. Les vériÞcations sont alors immédiates.¤ EXERCICEMontrer quune forme hermitienne positivesinduit naturellement un produit scalaire sur le quotient deFpar le sous-espace vectoriel desϕFtels ques(ϕ,ϕ) = 0.
6
ESPACES DE HILBERT
Claude Portenier
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
1.2 Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
1.2
DEFINITION 1Un espace vectorielFmuni dun produit scalaire sappelle unespace pré-hilbertien. On le considère comme un espace normé en le munissant de la norme associée. Si Fest complet pour cette norme, on dit que cest unespace de Hilbert.
EXEMPLE 1numéro précédent sont des espaces de Hilbert.Les exemples 2 à 4 du
EXEMPLE 2SoientXun espace localement compact etµun intégrale de Radon surX. La forme hermitienne positive surK(X) (ϕ,ψ)7−→(ϕ|ψ) :=Zϕ·ψ:K(X)× K(X)−→K est non-dégénérée si, et seulement si, pour tout ouvertO6=deX, on aµ(O)>0. Dans ce casK(X)est un espace préhilbertien, en général non-complet. En eet, pour toutϕK(X)r{0}, il existexXtel que|ϕ(x)|2>0, donc un voisinage ouvertOdextel que lon ait |ϕ(y)|2>|ϕ(2x)|2pour toutyO. Le théorème 1.1 montre alors que la condition est susante, puisque |ϕ(x)|2 (ϕ|ϕ) =Z|ϕ|2>ZO2>|ϕ2(x)|2·µ(O)>0. RéciproquementXétant complètement régulier, il existeϕK(X)tel que0<ϕ61et ϕ= 0hors deO, donc µ(O)>Z|ϕ|2= (ϕ|ϕ)>0.¤
REMARQUE 1La condition ci-dessus signiÞe que lapplication canonique ϕ7−→[ϕ] :K(X)−→L2(µ) est injective. On dit que lesupportdeµestX.
REMARQUE 2Dans le cas général on considère limage[K(X)]deK(X)dansL2(µ)for-mée des classes modulo les fonctionsµ-négligeables contenant au moins une fonctions continues à support compact. Rappelons que L2(µ) =L2(µ)±N(µ), N(µ) ={fL2(µ)|f= 0µ-p.p.}={fL2(µ)| kfk2= 0}(cf. exercice 1.1).
Claude Portenier
ESPACES DE HILBERT
7
1.2
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
DEFINITION 2On dit que lensemble fermé complément du plus grand ouvert qui est µ-négligeable est lesupportdeµ. On le désigne parsuppµ. Cette déÞnition est consistante. SoitOla réunion de tous les ouvertsUdeXtels que µ(U) =µ(1U) = 0. La famille de tous ces ouverts estÞltrante croissante, puisque pour deux tels ouvertsU, V, on a µ(UV)6µ(U) +µ(V) = 0. Mais comme 1O= supUouvert,µ(U)=01U, la propriété de Bourbaki (cours dAnalyse [17], théorème 14.5) montre que µ(O) =µ¡supUouvert,µ(U)=01U¢= supUouvert,µ(U)=0µ(1U) = 0, ce quil fallait démontrer.¤
REMARQUE 3Dans beaucoup de situation, si lespace de baseXne joue pas un très grand rôle, on peut supposer que le support deµestXen remplaçantXparsuppµetµpar lintégrale de Radon induiteµsuppµ. Sij: suppµ,Xest linjection canonique, on a j¡µsuppµ¢= 1suppµ·µ (cf. cours dAnalyse [17], proposition 16.10).
EXEMPLE 3SoientXun espace topologique etµune intégrale de Radon surX. Rappelons queM(µ)désigne lespace vectoriel des classes, modulo les fonctionsµ-négligeables, de fonctions µ-mesurables surX(cf. cours dAnalyse [17], remarque 15.14.2) . Si ρ:X−→R+ est une fonctionµ-mesurable, il est clair que la fonctionnelle kfk2,µ,ρ:=µZ|f|2·ρ21 f7:KX−→R+ est sous-linéaire. LensembleL2(µ,ρ)des fonctionsf:X−→Kqui sontµ-mesurables et telles quekfk2,µ,ρ<est donc un sous-espace vectoriel deKX; on a kfk2,µ,ρ= 0⇐⇒f= 0µ-p.p. sur{ρ>0} et f= 0µ-p.p. sur{ρ=}. Nous désignerons par L2(µ,ρ) =L2(µ,ρ).nk·k2,µ,ρ= 0o lespace quotient muni de la norme déÞnie par k[f]k2,µ,ρ:=kfk2,µ,ρ. Nous ne ferons en général pas de distintinction entre une classe de fonctions et lun de ses représentants. Lapplication f7−→1{ρ6=0}·f:L2(µ,ρ)−→M(µ)
8
ESPACES DE HILBERT Claude Portenier
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
1.2
est évidemment injective. Il est immédiat de vériÞer que f7−→f·ρ:L2(µ,ρ)−→L2(µ) est une isométrie sur le sous-espace vectoriel fermé deL2(µ)formé desftels quef= 0µ-p.p. sur{ρ= 0}{ρ=}. Ceci montre en particulier queL2(µ,ρ)est un espace de Hilbert, dont le produit scalaire est (f|g)µ,ρ:=Zf·g·ρ. SiAest une tribu densemblesµ-mesurables, on peut également considérer le sous-espace vectorielL2(µ,ρ,A)deL2(µ,ρ)des classes de fonctions contenant un représentantformé A-mesurable. On vériÞe facilement quil est fermé.
REMARQUE 4On aL2(µ,ρ) =L2(ρ·µ)siρL1loc(µ). Sans cette hypothèse on ne peut pas déÞnir une intégrale de Radonρ·µ.
EXEMPLE 4SiHetGsont des espaces de Hilbert, alorsH × G, muni du produit scalaire ((ξ1,η1),(ξ2,η2))7−→(ξ1|ξ2)H+ (η1|η2)G, est un espace de Hilbert.
EXEMPLE 5SiHest un espace de Hilbert etGun sous-espace vectoriel fermé deH, on écritG@H, alorsGest un espace de Hilbert.
Claude Portenier
ESPACES DE HILBERT
9
1.3
1.3 Formules de polarisation
Formules de polarisation
PROPOSITIONSoitsune forme sesquilinéaire surF. Pour toutϕ,ψF, on a (i) 2·[s(ϕ,ψ) +s(ψ,ϕ)] =Xε·s(ϕ+ε·ψ,ϕ+ε·ψ). ε2=1 (ii) SiK=Ret sisest hermitienne, alors s(ϕ,ψ14)=·Xε·s(ϕ+ε·ψ,ϕ+ε·ψ). ε2=1 (iii) SiK=C, alors s(ϕ,ψ)=14·Xε·s(ϕ+ε¯·ψ,ϕ+ ¯ε·ψ) . ε4=1 En particulier sis(ϕ,ϕ)Rpour toutϕF, alorssest hermitienne. En eet Xε·s(ϕ+ε¯·ψ,ϕ+ε·ψ) = ¯ ε =Xε·s(ϕ,ϕ) +ε·ε¯·s(ϕ,ψ) +ε·ε·s(ψ,ϕ) +ε·ε·¯ε·s(ψ,ψ), ε doù les formules de polarisation en remarquant que¯ε·ε= 1, Xε= 0,X1 =Xε2= 2,Xε=Xε2= 0etX1 = 4. ε2=1ε2=1ε2=1ε4=1ε4=1ε4=1 Finalement siK=Cets(ϕ,ϕ)Rpour toutϕF, on a s(ϕ,ψ41=)·Xε·s(ε·ε·ϕ+ε·ψ,ε·ε·ϕ+ε·ψ) = ε4=1 =41·Xε·ε·ε·s(ε·ϕ+ψ,ε·ϕ+ψ4)=1·Xε·s(ψ+ε·ϕ,ψ+ε·ϕ) =s(ψ,ϕ), ε4=1ε4=1 doncsest hermitienne.¤
COROLLAIRE (Egalité du parallélogramme ou identité de la médiane) Soit(F, p)espace semi-normé. Il existe une unique forme hermitienne positiveun ssurF induisant la semi-normepsi, et seulement si, pour toutϕ,ψF, on a p(ϕ+ψ)2+p(ϕψ)2= 2·£p(ϕ)2+p(ψ)2¤.
10
ESPACES DE HILBERT Claude Portenier