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Bases de l'électrocinétique

44 pages
1Bases de l’électrocinétiqueGEORG SIMON OHM (1789–1854)1.1 Lois de l’électrocinétique1.1.1 Grandeurs électriquesPotentiel, tension, courantTout point M d’un réseau électrocinétique est caractérisé par un potentiel électrique V(M), qui est défini à une constante1 2près . Le point arbitrairement choisi comme origine des potentiels V = 0 porte le nom de masse du réseau . Le potentiel et3les differences de potentiel ou tensions se mesurent en volt (symbole V) .Dans le ou les constituants qui relie deux points quelconques d’un réseau électrocinétique, on peut aussi définir un courantélectrique, grandeur algébrique qui mesure la quantité de charges s’écoulant par unité de temps à travers la section concernée4 5du circuit . Le courant électrique se mesure en ampère (symbole A) .1Nous admettrons provisoirement l’existence et les propriétés de la fonction potentiel, généralisant ainsi les résultats du cours d’Électrostatique depremière année ; les propriétés supplémentaires (régimes lentement variables, effets d’induction, grandeurs énergétiques, etc...) du potentiel seront dé-veloppées ultérieurement, dans le cours d’Électromagnétisme. Nous devrons provisoirement nous contenter d’une analogie, le potentiel jouant dans lescircuits électriques le rôle de la pression dans un circuit hydraulique : il définit la tendance à l’écoulement à partir d’un point donné. C’est une grandeurlocale, donc essentiellement intensive.2On notera que des réseaux électriquement séparés ...
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1
Bases de l’électrocinétique
GEORG SIMON OHM (1789–1854)
1.1 Lois de l’électrocinétique
1.1.1 Grandeurs électriques
Potentiel, tension, courant
Tout point M d’un réseau électrocinétique est caractérisé par un potentiel électrique V(M), qui est défini à une constante
1 2près . Le point arbitrairement choisi comme origine des potentiels V = 0 porte le nom de masse du réseau . Le potentiel et
3les differences de potentiel ou tensions se mesurent en volt (symbole V) .
Dans le ou les constituants qui relie deux points quelconques d’un réseau électrocinétique, on peut aussi définir un courant
électrique, grandeur algébrique qui mesure la quantité de charges s’écoulant par unité de temps à travers la section concernée
4 5du circuit . Le courant électrique se mesure en ampère (symbole A) .
1Nous admettrons provisoirement l’existence et les propriétés de la fonction potentiel, généralisant ainsi les résultats du cours d’Électrostatique de
première année ; les propriétés supplémentaires (régimes lentement variables, effets d’induction, grandeurs énergétiques, etc...) du potentiel seront dé-
veloppées ultérieurement, dans le cours d’Électromagnétisme. Nous devrons provisoirement nous contenter d’une analogie, le potentiel jouant dans les
circuits électriques le rôle de la pression dans un circuit hydraulique : il définit la tendance à l’écoulement à partir d’un point donné. C’est une grandeur
locale, donc essentiellement intensive.
2On notera que des réseaux électriquement séparés peuvent comporter plusieurs masses ; au contraire, des réseaux alimentés par le secteur 220 V ont
en général une masse commune. Pour séparer électriquement les masses de plusieurs circuits, on utilise un transformateur d’isolement.
3L’unité doit son nom au physicien italien ALESSANDRO VOLTA (1745-1827), inventeur de la première pile électrochimique en 1800.
4La même analogie hydraulique compare le courant électrique au débit de matière s’écoulant dans une canalisation. C’est une grandeur intégrale, donc
extensive. Notons que le courant électrique est une grandeur scalaire, mais algébrique ; son signe est lié à l’orientation de la surface à travers laquelle on
choisit de faire le décompte des charges en circulation.
5L’unité doit son nom au physicien français ANDRÉ-MARIE AMPÈRE (1775-1836), auteur de la première formulation cohérente d’une théorie électro-
magnétique. L’ampère est une unité de base du système international ; il est défini depuis 1948 comme suit : l’ampère est l’intensité d’un courant électrique
constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 12 Manuel de Physique
Mesures électriques
L’électricité est traditionnellement séparée en électricité de puissance et électronique (ou étude des courants faibles) ; c’est
ce second point de vue qui nous préoccupe essentiellement cette année.
Nous nous préoccuperons donc essentiellement de la forme des tensions et des courants, et donc des informations que
ces grandeurs transportent. Cependant, l’étude de la puissance correspondante n’est pas sans intérêt, puisque un système
électronique doit recevoir une puissance suffisante pour fonctionner normalement.
Les appareils de mesure des tensions et courants sont respectivement les voltmètres et ampèremètres ; cependant, en électro-
nique, on n’utilise pratiquement pas les ampèremètres (car d’une part ils doivent être placés en série dans le circuit à mesurer,
ce qui est impossible pour un circuit imprimé, et d’autre part ils apportent en général plus de perturbations électriques que
les voltmètres). On préférera mesurer la tension aux bornes d’une résistance connue.
Les voltmètres sont caractérisés par l’existence éventuelle d’une masse imposée (cas des oscilloscopes en particulier), et
6 7par les limitations de leurs performances (existence d’une impédance d’entrée non infinie (10 W à 10 W souvent), d’une
6précision et d’une résolution limitées .
Lois de Kirchhoff
7Les lois de base de l’électrocinétique seront établies dans le cours d’Électromagnétisme.
La loi des nœuds (ou loi de conservation de la charge électrique) impose la nullité de la somme (algébrique) des courants
arrivant en un point (ou nœud) quelconque d’un réseau électrocinétique.
La loi des mailles énonce simplement l’existence et l’unicité de la fonction potentiel, et donc impose la nullité de la somme
(algébrique) des tensions le long d’un parcours fermé.
Les lois de l’électrocinétique doivent, pour la résolution d’un problème électrocinétique, être complétées par la donnée,
pour chaque dipôle du réseau, de sa caractéristique courant-tension.
Dans certains cas (réseaux de dipôles linéaires ou comprenant des dipôles linéaires), ces lois peuvent être remplacées par
des formes plus adaptées. On prendra garde cependant de ne pas chercher à utiliser comme des relations indépendantes des
formes équivalentes (comme la loi des nœuds et le théorème de Millman par exemple).
1.1.2 Dipôles électrocinétiques
Caractéristique
Un dipôle électrocinétique est un dispositif électrique relié à son environnement par deux fils seulement. En appelant ces
deux fils (ou points électriques) entrée et sortie, on définit l’orientation conventionnelle du dipôle (sauf pour les dipôles
symétriques pour lesquels ce choix n’a pas d’influence).
Le courant i qui traverse le dipôle est toujours mesuré de l’entrée vers la sortie.
Par contre, la tension étudiée pour caractériser le dipôle peut être la chute de tension le long du parcours du courant (u =r
V V ) ; on parle alors de convention des récepteurs. Elle peut être au contraire le remontée de tension le long du mêmeE S
parcours (u = u ) ; on parle alors de convention des générateurs.g r
Une fois précisées orientation et convention, le comportement du dipôle est défini car la relation i(u), appelée caractéristique
courant-tension.
En général, le courant i est fonction de u et des paramètres extérieurs (température, pression, éclairement, conditions d’uti-
lisation du dipôle) et parfois de l’histoire électrique passée du dipôle (on parle alors de phénomène d’hystérésis).
Résistances
8Toutes les résistances sont des dipôles symétriques, caractérisées par u = Ri ; la résistance R se mesure en ohm (symbole
9W) et son inverse G est la conductance, qui se mesure en siemens (symbole S).
7mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 10 newton par mètre de longueur. Le choix conventionnel de
7 1cette unité revient aussi à fixer la valeur de la perméabilité magnétique du vide μ = 4p 10 F m donc aussi la valeur de la permittivité diélectrique0
2du vide e puisque on verra que e μ c = 1 où la célérité de la lumière dans le vide c est fixée par la définition du mètre ; depuis 1983, le mètre est la0 0 0
1longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de égale à 1=c, où c = 299792458 m s par convention.
6Il convient de ne pas confondre la précision d’un appareil de mesure, c’est-à-dire un majorant de l’écart entre la valeur mesurée et la valeur affichée,
et la résolution du même appareil, c’est-à-dire le plus petit écart repérable par cet appareil. Ces deux grandeurs dépendent en général du calibre ; d’autre
part, ces grandeurs sont aussi limitées à une certaine bande passante.
7Elles portent souvent le nom de GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF (1824-1887), qui établit en 1845 les lois fondamentales de l’électrotechnique.
8D’après le nom du physicien allemand GEORG SIMON OHM, 1789-1854.
9 le nom de l’ingénieur WERNER SIEMENS, 1816-1892.Bases de l’électrocinétique 3
On peut citer les résistances CTP (coefficient de température positif, à base de matériaux conducteurs : métaux, graphite) ;
elles sont caractérisées par une fonction croissante R(T) de la température (le coefficient de température est défini par
1 dR
a = > 0). Au contraire, les résistances réalisées à base de semi-conducteurs sont des CTN, caractérisées par a < 0.
R dT
La résistance d’un cylindre de matériau conducteur, de section droite S (perpendiculaire au passage du courant) et de
l
10longueur l, s’exprime en général sous la forme R = , où la conductivité g est une caractéristique du matériau utilisé ;
gS
6 7 1c’est la loi d’Ohm. On définit aussi la résistivité r = 1=g. La conductivité g des métaux est de l’ordre de 10 à 10 S m .
Diodes
Les diodes à jonction ne sont pas symétriques ; le sens conventionnel de mesure du courant est appelé sens passant. Divers
modèles de caractéristique peuvent être proposés pour les diodes réalisées à base d’une jonction de deux semi-conducteurs ;
eur 11on peut citer le modèle statistique i = i exp 1 , où k est la constante de Boltzmann , T la température absolue0 B
k TB
12et e la charge élémentaire .
i i
uu Z u
u us s
Diode
Diode Zener
FIG. 1.1 – Caractéristiques idéalisées de diodes
Cependant, on utilisera souvent les modèles simplifiés (diodes idéalisées, cf. fig. 1.1) pour lesquels i est toujours positif ou
nul, avec i = 0 si u < u et i = gu sinon ; la tension de seul u dépend de la nature du semiconducteur utilisé (entre 0;1 Vr s g s
pour Ge et 0;6 V pour Si). La conductance dynamique g en mode direct est en général très élevée.
A partir de jonctions de semiconducteurs, on peut réaliser des variantes, comme les diodes Zener (qui deviennent conduc-
trices avec i < 0 pour u < u , la tension Zener u variant dans l’intervalle de 1 V à 15 V. De même, les diodes tunnelr Z Z
sont réalisées de façon à présenter, sur une partie de leur caractéristique dans le sens passant, une pente négative de i(u).
du
Dans tous les cas, on notera r = la résistance dynamique d’un dipôle ; notons qu’une valeur négative de r est assez
di
rare ; elle conduit à la possibilité de réaliser des circuits oscillants.
Générateurs
Les générateurs de courant électrique sont assez variés : générateurs électrochimiques (piles, accumulateurs rechargables),
générateurs électroniques commandés en courant continu ; secteur 220 V, alternateurs en courant alternatif en sont des
exemple.
Une modélisation de certains générateurs (modèles linéaires de Thévenin et de Norton) est proposée plus loin.
10Cette expression ne s’applique que si le courant est réparti uniformément en volume. On verra qu’il n’en va pas ainsi en régime variable, où le courant
se répartit préférentiellement au voisinage de la surface du conducteur ; c’est l’effet de peau ou effet Kelvin, qui doit son nom à WILLIAM THOMSON,
LORD KELVIN (1824-1907), physicien britannique auteur de très nombreuses études de première importance. L’épaisseur sur laquelle se répartit le courants
2
est donnée par la relation d = à la pulsation w dans un milieu de conductivité g.
μ gw0
11On rapprochera cette expression de la distribution de Boltzmann, qui relie la probabilité de réalisation de deux états microscopiques d’énergies E1
P E E R2 2 1
et E , avec = exp . La valeur numérique de k est liée à la constante R des gaz parfaits et au nombre d’Avogadro N par k = =2 B A B
P k T N1 B A
23 11;38 10 J K .
12 19Toutes les charges électriques sont des multiples entiers de e=3, et même de e dans le cas macroscopique, avec la valeur numérique e = 1;6010 C.
Le nom de l’unité du système international de charge est le coulomb (symbole C) qui doit son nom au français CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB (1736-
1806).4 Manuel de Physique
1.1.3 Échanges énergétiques
Énergie électrique
L’énergie potentielle d’une charge q en un point d’un circuit où le potentiel électrique est V est liée à la force électrique!~ ~subie f = qE = grad(qV) donc E = qV.p
Lorsqu’un dipôle est relié à un certain circuit et, donc, parcouru par un courant électrique i (algébriquement mesuré de
l’entrée vers la sortie), chaque durée dt voit la charge dQ = idt passer du potentiel V à V , et l’énergie potentielle de cesE S
charges varie donc pendant le même temps de dE = dQ(V V ) = iu dt.p S E g
Cette puissance est fournie localement à ces charges par le dipôle, et ces charges électriques pourront ensuite transporter
cette énergie vers le reste du réseau pour y être utilisée.
Puissance échangée
La puissance fournie par un dipôle au reste du réseau est donc, évidemment, décrite dans la convention des générateurs
par la relation : P = u i. Réciproquement, la puissance reçue par un dipôle de la part du reste du réseau est, logiquement,g g
décrite dans la convention des récepteurs par la relation : P = u i.r r
Dans tous les cas, l’énergie échangée par le dipôle se calcule par sommation de la puissance correspondante, sous la formeZ Zt t2 2
W = P (t)dt ou W = P (t)dt.g g r r
t t1 1
Effet Joule
Un dipôle passif est, par définition, un dipôle qui consomme toujours de l’énergie, fournie par le reste du circuit.
C’est le cas des résistances, pour lesquelles la puissance électrique consommée est redistribuée sous forme thermique ; c’est
13 2l’effet Joule : P = Ri > 0.J
14On évitera soigneusement toute confusion entre les puissances (comme P ), mesurées en watt (symbole W) , et les énergies,J
15mesurées en joule (symbole J) .
Les appareils électriques de mesure des puissances (wattmètres) ne sont plus employés au laboratoire, même s’ils restent
employés pour la facturation par les fournisseurs de courant électrique. Pour les mesures, on leur préfère la multiplication
directe des courant et tension, réalisée dans les appareils numériques.
1.2 Régimes variables
1.2.1 Propriétés générales
ARQP
Dès qu’un courant électrique devient dépendant du temps, les lois de Kirchhoff cessent de s’appliquer : d’une part, des
phénomènes d’induction apparaissent et, d’autre part, des phénomènes de propagation invalident les lois des nœuds.
16Il existe des situations particulières dans lesquelles les lois de Kirchhoff restent applicables, à condition de tenir compte
des forces électromotrices induites comme seule modification aux relations établies en régime permanent.
Si l’établissement précis des conditions de l’ARQP sera effectué dans le cadre du cours d’Électromagnétisme, on peut
dès maintenant préciser que cette approximation consiste simplement à négliger les effets de propagation, qui ne peuvent
devenir prépondérants que si le temps nécessaire au signal électrique pour se propager d’un bout à l’autre du circuit (de
dimension L) à la célérité c (qui, comme on le verra, est aussi celle de la lumière dans le vide) est conséquent au regard du0
temps caractéristique T (par exemple, la période) de variation de ce même signal électrique.
Ainsi, en notant n = 1=T la fréquence du signal électrique étudié, la condition d’ARQP se mettra sous la forme :
nL c (1.1)0
13L’effet Joule porte le nom du physicien anglais JAMES PRESCOTT JOULE (1818-1889), qui compte parmi les fondateurs de la Thermodynamique, et
étudia dans ce cadre les échanges d’énergie entre formes macroscopiques (électrique par exemple) et microscopiques (thermiques).
14Le watt est l’unité du système international de puissance ; elle doit son nom à l’écossais JAMES WATT (1736-1819), inventeur des premières machines
à vapeur. On utilise aussi, surtout en mécanique, le cheval-vapeur, égal à 736 W.
15Le joule est l’unité du système d’énergie et de travail. On utilise aussi en électricité le watt-heure (égal à 3600 J).
16On parle d’approximation des régimes (ou états) quasi-permanents (ou quasi-stationnaires), notée ARQP.Bases de l’électrocinétique 5
17 6Dans le cas du courant industriel (n = 50 Hz) , cette condition s’écrit de façon peu contraignante L 6 10 m.
2 9Au contraire, dans le cas d’un circuit électronique ordinaire (L = 10 m), elle impose n 30 10 Hz.
Nous nous placerons dans le cadre de l’ARQP dans toute la suite du cours d’électrocinétique.
Dipôles simples
Le cas le plus aisé à traiter est celui des dipôles dont le comportement n’est pas ou peu modifié, comme par exemple les
résistances, pour lesquelles on a toujours u(t) = Ri(t) (en convention des récepteurs).
Un second cas est celui des dipôles qui manifestent un certain hystérésis, tout se passant alors comme si la caractéristique
parcourue en régime variable s’écartait progressivement de celle du régime permanent, remplaçant une courbe unique par
deux courbes distinctes à la montée et à la descente en tension. Ce cas (par exemple celui des diodes) ne peut pas être
simplement modélisé.
Un troisième cas concerne les phénomènes de mémoire immédiate, dans lesquels le comportement du dipôle à l’instant t
peut être relié à l’instant immédiatement antérieur t dt. C’est ici qu’on retrouve les condensateurs et des bobines d’induc-
tion.
Condensateurs
Les condensateurs sont, en régime permanent, des court-circuits aux bornes desquels la tension est liée à la charge qui
18apparaît sur les armatures par la relation q = Cu, où C est la capacité des condensateurs, mesurée en farad (symbole F) ou
plus généralement en fractions de cette unité qui est largement surdimensionnée.
En régime variable, cette relation reste valable mais le condensateur n’est plus un court-circuit puisqu’il est parcouru par le
dQ 19courant i = , évalué en convention des récepteurs. La relation caractéristique des condensateurs idéaux est donc , dans
dt
du
cette convention i = C .
dt
Les condensateurs sont en général des dipôles symétriques ; la réalisation effective de certains condensateurs, de capacité
élevée (quelques μF et au-delà) n’est pas symétrique, et leur utilisation privilégie un sens effectif.
La puissance consommée par un condensateur peut s’écrire sous la forme :
2 2d Q Cu
P = W W = = (1.2)C e e
dt 2C 2
Cette expression fait apparaître l’énergie électrique du condensateur W .e
Notons qu’on peut rendre compte de certains défauts des condensateurs en les considérant comme associés en parallèle avec
u du
une résistance de fuite élevée, réécrivant leur caractéristique sous la forme i = +C .
R dt
Bobines d’induction
Les bobines sont, en régime permanent, de simples résistances. Cependant, en régime variable, on doit tenir
di
compte d’une force électromotrice induite qui permet d’écrire u = L , en convention des récepteurs.
dt
Au contraire des condensateurs, on peut rarement regarder une bobine comme idéale et la caractéristique réelle des bobines
di
ordinaires sera écrite sous la forme d’une bobine idéale mise en série avec une résistance, u = ri+ L .
dt
20L’inductance propre de la bobine L est mesurée en henry (symbole H) .
La puissance consommée par une bobine idéale peut s’écrire sous la forme :
17L’unité du système international des fréquences, égale à l’inverse de la seconde, est le hertz (symbole Hz), qui doit son nom au physicien alle-
mand HEINRICH RUDOLPH HERTZ (1857-1894), auteur de nombreux travaux dans le domaine de l’Électromagnétisme, dont la mise en évidence des
phénomènes de propagation.
18Le farad doit son nom au physicien anglais MICHAEL FARADAY (1791-1867), auteur de la notion de champ électromagnétique, et des premières
descriptions des phénomènes d’induction et d’électrolyse. Notons que la permittivité du vide e s’exprime simplement en fonction cette unité, avec la0
12 1valeur approchée e = 8;85 10 F m .0
19On remarquera que la loi des nœuds n’est pas entièrement satisfaite puisque le courant i arrive sur une armature mais n’en repart pas ; ce point sera
éclairci dans le cadre du cours d’Électromagnétisme sous le nom de courant de déplacement de Maxwell.
20Le henry doit son nom au physicien JOSEPH HENRY (1797-1878). Notons ici que la perméabilité du vide μ s’exprime simplement en fonction cette0
7 1unité, avec la valeur conventionnelle μ = 4p 10 H m .06 Manuel de Physique
2d Li
P = W W = (1.3)L m m
dt 2
Cette expression fait apparaître l’énergie magnétique W emmagasinée dans la bobine.m
1.2.2 Régimes transitoires
Définitions
Les régimes variables sont habituellement décomposés en régime transitoire (la partie qui s’amortit au cours du temps et
finit par disparaître) et régime permanent (la partie qui subsiste indéfiniment).
Quelle que soit la forme mathématique de la décroissance au cours du temps des régimes transitoires, celle-ci dépend
éventuellement de tel ou tel paramètre caractéristique du réseau étudié. Une décroissance rapide caractérise un réseau stable
qui atteint rapidement son régime permanent de fonctionnement, et y retourne de même rapidement si une perturbation l’a
affecté, après la fin de cette perturbation.
Si au contraire les constantes de temps du régime transitoire deviennent très longues, voire tendent vers l’infini, le réseau
est qualifié de peu stable. Enfin, il arrive que le comportement transitoire s’inverse totalement, l’effet des perturbations ne
s’amortissant pas au cours du temps mais au contraire s’amplifiant régulièrement, jusqu’à l’intervention d’une limitation,
en général non linéaire. Un tel réseau est qualifié de réseau instable.
Réseau RC série
Le réseau RC série est constitue d’un condensateur idéal de capacité C monté en série avec une résistance R ; on l’alimenteZ
1
par un générateur idéal de tension constante E. La loi des nœuds E = Ri+ i(t)dt impose aussi l’équation différentielle
C
di
0 = i+ t , où on a défini la constante de temps du circuit t = RC. Sa solution est immédiate et fournit le courant i(t) dans
dt t t
le circuit, et la tension u (t) aux bornes du condensateur, i(t) = i exp donc u (t) = E Ri(t) = E Ri exp .c 0 c 0
t t
La détermination de la constante d’intégration i exige de connaître les conditions initiales. Si l’instant origine est celui de0
la fermeture d’un interrupteur, cette valeur initiale est en général connue à l’instant t = 0 qui précède l’établissement du
+circuit, alors qu’on en a besoin à l’instant t = 0 qui le suit. Entre les deux, des phénomènes transitoires rapides peuvent a
priori avoir lieu, comme d’ailleurs à chaque fois que, par exemple, E varie brutalement. Lors d’une telle variation, on peutZ Z+ +0 0 1 1+toujours écrire E(t) = Ri(t)+ q(t) donc, par intégration, E(t)dt = R q(0 ) q(0 ) + q(t)dt. Puisque la
C Ct=0 t=0
charge du condensateur reste finie (ce qui est physiquement nécessaire, puisque l’énergie W est finie), et si bien sûr lae
+tension E(t) reste aussi finie, alors q(0 ) = q(0 ).
CONTINUITÉ DE LA TENSION AUX BORNES D’UN CONDENSATEUR
La tension aux bornes d’un condensateur, alimenté par un courant fini (par l’intermédiaire d’au moins
une résistance en série) reste continue même quand les caractéristiques du réseau d’alimentation varient
de façon discontinue.
Il est important de noter l’importance de la prise en compte de la valeur finie de R dans le résultat ci-dessus ; en effet, l’ordre
de grandeur des variations de q(t) par la suite est t = RC ; si R! 0, ce temps de variation devient très court et on pourra
considérer que la tension aux bornes du condensateur cesse d’être continue.
La variation brutale de l’énergie électrique W qui correspond à cette situation est liée à un passage infiniment bref d’une
courant infini dans une résistance nulle ; la forme indéterminée qui en résulte pour le calcul des échanges énergétiques n’est
en général pas nulle.
Réseau RL série
Le réseau RL série est constitue d’une bobine idéale d’inductance L montée en série avec une résistance R ; on l’alimente un
générateur idéal de tension constante E. Le fait que la bobine idéale ne soit qu’une fiction n’empêche pas l’étude du circuit,
en incorporant sa résistance r à celle du reste du réseau.Bases de l’électrocinétique 7
di E di
Il est caractérisé par l’équation différentielle E = Ri+L soit = i+t ; on a ici défini la constante de temps du circuit
dt R dt
t = L=R. Sa solution est immédiate et fournit le courant i(t) dans le circuit (mais la tension aux bornes de la partie idéale de
E t
la bobine n’a guère de sens physique) : i(t) = +i exp . Comme précédemment, les conditions initiales sont écrites0
R t
+selon i(0 ) = i(0 ).
CONTINUITÉ DU COURANT DANS UNE BOBINE
Le courant dans une bobine, dont la résistance ne peut être négligée, reste continue même quand les
caractéristiques du réseau d’alimentation varient de façon discontinue.
Réseau RLC série
Le réseau RLC série fournit un exemple classique d’oscillateur amorti, dont nous rappelons ici les caractéristiques princi-Z
di 1 E 2pales E = Ri+ L + i(t)dt soit encore = q¨(t)+ 2lw ˙q(t)+ wq(t) ; on a ici défini la pulsation propre du réseau0 0
dt C L r
1 R C
2non amorti w = (LC) et le coefficient d’amortissement l = .0
2 L
L’étude générale de la solution correspondante est classique. Définissons l’impédance caractéristique du circuit LC parr
L
Z = . Le discriminant réduit de l’équation caractéristique associée à cette équation différentielle est en effet égal àLC
C
0 2 2D = (l 1)w .0
Si R < 2Z , l’amortissement est faible et le régime transitoire pseudopériodique amorti. Si R > 2Z , l’amortissement estLC LC
élevé et le régime transitoire apériodique. Le cas limite (R = 2Z ) correspond au régime critique et aussi au retour le plusLC
rapide au permanent.
Dans un circuit RLC, le régime permanent correspond évidemment dans tous les cas à i = 0 ; On peut tracer le portrait de
phase de cet oscillateur dans le plan (i;di=dt) et obtenir, suivant le cas, différents enroulements autour du point origine ; on
remarquera en tous cas que ce circuit série est toujours stable.
Stabilité d’un réseau linéaire
On peut généraliser cette propriété de la manière suivante, considérant un système oscillant décrit pas une équation diffé-
N kd
rentielle linéaire quelconque, a x(t) = f(t).k? kdtk=0
La solution de cette équation est la somme d’une solution particulière dépendant de f(t) et d’une solution générale de
l’équation sans second membre, qu’on recherche sous forme de combinaison linéaire d’exponentielles exp(rt) dont l’expo-
N
ksant est solution de l’équation caractéristique associée, a r = 0. Cette équation admet toujours N racines (complexes) ;k?
k=0
les régimes transitoires correspondants sont bien décroissants vers zéro, et le réseau stable, si les parties réelles de toutes les
solutions r sont négatives.
2Dans le cas particulier (fréquent !) d’une équation du second degré ax +bx+c = 0, à coefficients bien sûr réels, les racines
peuvent être réelles (et le circuit est stable si elles sont toutes deux négatives, c’est-à-dire si a, b et c sont de même signe) ou
21complexes conjuguées (et le circuit est stable si leur partie réelle est négative, si a et b sont de même signe) .
1.3 Régimes harmoniques forcés
1.3.1 Impédances
Réseaux linéaires stables
Considérons un circuit alimenté au moyen d’un ou plusieurs générateurs de tension sinusoïdale de même pulsation w.
Si toutes les équations différentielles qui régissent les grandeurs électriques du circuit sont linéaires, ces équations pré-
21On notera que cette conclusion n’est absolument pas liée au signe du discriminant de l’équation caractéristique.8 Manuel de Physique
sentent nécessairement un second membre (ou excitation) qui varie sinusoïdalement au cours du temps, sous la forme
N kd
a x(t) = A cos(wt).? k 0kdt
k=0
Si le réseau est stable (ce que nous supposerons dans la suite, mais qui n’est pas automatique, notamment dans le cas où
le réseau comporte des composants actifs), il existe un intervalle de temps au-delà duquel le régime transitoire devient
négligeable et nous ne nous intéresserons dans ce qui suit qu’au seul régime permanent ou sinusoïdal forcé, qu’on recherche
sous la forme sinusoïdale x(t) = X cos(wt + f).0
Si les relations ci-dessus sont vraies à tout instant, elles le sont aussi après un quart de période, c’est-à-dire en remplaçant
tous les cos par des sin et, finalement, on pourra noter x(t) = Re( ¯xexp(iwt)) avec ¯x = Xexp(if).0
Dans ces conditions, la résolution d’une équation différentielle est remplacée par la résolution (évidemment plus simple) de
NA0 k
l’équation linéaire ¯x = où D(iw) = a (iw) .k?D(iw)
k=0
Comme on l’a vu, ceci n’a de sens que si le réseau est stable ; chaque racine r de l’équation caractéristiques vérifie D(r) = 0.
La recherche des solutions r est donc simplement celle des pôles w de la fonction de transfert, D(iw ) = 0.k k k
STABILITÉ D’UN RÉSEAU LINÉAIRE
Un réseau est stable si tous les pôles w de la fonction de transfert ont leurs parties imaginaires positives.k
Impédances
Dans le cadre du régime harmonique forcé, il est possible de traiter entièrement un réseau linéaire au moyen d’équations
¯ ¯ ¯linéaires, avec par exemple pour les résistances, bobines et condensateurs les relations ¯u =Zi avec selon le cas Z = R,R
1
¯ ¯Z = iLw ou Z = . Les règles de calcul étant les mêmes pour les nombres complexes et les nombres réels, nous déve-L C
iCw
lopperons plus loin les théorèmes généraux des réseaux linéaires, communs au régime permanent et aux régime harmonique
1
forcé. Par analogie avec la définition des conductances G, inverses des résistances R, on définit l’admittance Y = d’un
Z
dipôle linéaire.
1.3.2 Échanges énergétiques
Puissance moyenne
¯Considérons un dipôle quelconque d’impédance (complexe) Z = X + iY, de module Z, parcouru par le courant i sous la
Xtension u, déphasés de f donc avec i = i cos(wt) et u = u cos(wt + f), reliés par cosf = et u = Zi . La puissance0 0 0 0Z
consommée instantanément par le dipôle est P(t) = u(t)i(t) ; cependant, on préfère en général étudier sa moyenne (au
1
cours d’un nombre entier de périodes) qui vaut P = u i cos(f). On définit alors les tension et courant efficaces par lesm 0 0
2p p
expressions u = u = 2 et i = i = 2 ; il vient alors :e 0 e 0
P = u i cosf (1.4)m e e
Le facteur de puissance est le coefficient cosf < 1 ; l’alimentation par les réseaux industriels des installations domestiques
et industrielles impose en général de maintenir un facteur de puissance aussi élevé que possible ; en effet, à tension d’ali-
mentation et puissance données, diminuer le facteur de puissance revient à augmenter le courant efficace, donc à augmenter
les pertes de en ligne (effet Joule) subies par le fournisseur de l’électricité.
Il n’est naturellement pas possible de calculer directement une grandeur significative par produit direct des grandeurs com-
¯plexes ¯ui ; en effet, l’hypothèse de base de l’utilisation des grandeurs complexes est la linéarité des équations, qui n’est pas
vérifiée dans le cas des grandeurs énergétiques, toutes quadratiques.
¯On peut cependant définir une puissance (fictive) complexe) P dont la partie réelle fourni la puissance moyenne, selon :
1
¯ ¯ ¯P = Re(P) P = ¯ui (1.5)m
2





Bases de l’électrocinétique 9
Adaptation d’impédance
A titre d’application, considérons la puissance moyenne consommée dans un dipôle d’impédance X + iY, alimenté par
¯E
¯ ¯un générateur linéaire de force électromotrice E et d’impédance interne X + iY . On a alors i = etg g
X + X + i(Y +Y )g g
2¯1 jEj X
¯ ¯¯u = (X + iY)i donc P = ; la puissance moyenne P est maximale si estm2 2 2 22 (X + X ) +(Y +Ygg) (X + X ) +(Y +Y )g g g
maximum, donc si Y = Y et X = X .g g
ADAPTATION D’IMPÉDANCE
Un réseau linéaire en régime harmonique forcé reçoit d’un générateur donné une puissance maximale si
le est adapté en impédance au générateur, c’est-à-dire si son impédance complexe est le conjugué
de celle du générateur.
Une réalisation commune de cette condition pour une chaîne de longueur quelconque de composants est le choix d’une
résistance unique, réelle, qui caractérise l’entrée de tout étage électronique et la sortie de l’étage précédent, assurant ainsi
automatiquement l’adaptation de toute la chaîne.
22En électronique de laboratoire, on utilise la normalisation BNC (résistances de 50 W) et en électronique de vidéo-
télévision, la normalisation à 75 W.
1.4 Propriétés des réseaux linéaires
1.4.1 Lois de base
Modèles de Thévenin-Norton
i ie r
r ug
hug
FIG. 1.2 – Générateur de Thévenin/Norton
De nombreux dipôles présentent, au moins dans certaines conditions de fonctionnement ou pour une partie de leur caracté-
ristique, un comportement linéaire, c’est-à-dire qu’une partie de leur caractéristique courant-tension est une relation linéaire.
Dans la modélisation des générateurs, on notera de telles relations linéaires sous l’une des formes équivalentes (cf. fig. 1.2)
u = e ri ou i = h gu , avec les relations évidentes rg = 1 et e = rh.g g
La première nomenclature u = e ri dite de Thévenin définit la tension à vide ou force électromotrice équivalente e etg
la résistance interne r du dipôle linéaire. La seconde nomenclature i = h gu dite de Norton définit le courant de court-g
circuit h et la conductance interne g. Ces deux modélisations équivalentes sont associées respectivement à des schémas
série (Thévenin) et parallèle (Norton).
L’ensemble des propriétés évoquées ci-après se généralisent immédiatement au cas des réseaux linéaires en régime harmo-
¯nique forcé, à condition de remplacer les grandeurs u et i par les grandeurs complexes ¯u eti ; les résistance r et conductance
g sont alors remplacées par les impédance ¯z et admittance ¯y interne, et la force électromotrice ¯e comme le courant de
¯court-circuit h sont également complexes.
On appelle générateur idéal de Thévenin un réseau dont la modélisation de Thévenin admet r = 0, et générateur idéal
de Norton un réseau dont la modélisation de Norton admet g = 0. Un générateur idéal de Thévenin n’admet donc pas de
modélisation de Norton, et réciproquement.
D’autre part, un dipôle linéaire est passif si e = 0 ou encore h = 0 ; c’est en effet seulement à cette condition que la puissance
qu’il consomme est de signe constant ; il s’agit donc d’une résistance pure.
22BNC est l’abbréviation de Bayonet Neil–Concelman Connector, du nom de ses concepteurs, travaillant pour la marine britannique.6
6
10 Manuel de Physique
Association de générateurs
L’association en série de deux dipôles linéaires est évidemment un dipôle linéaire, dont les caractéristiques de Thévenin
sont la somme de celles des dipôles qui la composent, soit e = e , r = r .? ?k k
L’association en parallèle de deux dipôles linéaires est aussi un dipôle linéaire, dont les de Norton sont
la somme de celles des dipôles qui la composent : h = ? h , g = ? g . On appelle réseau de dipôles linéaires un réseauk k
23constitué en totalité de admettant une modélisation de Thévenin ou de Norton .
DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT
Les diviseurs de tension et diviseurs de courant sont des associations en série ou en parallèle de dipôles
linéaires passifs.
R j
Dans un diviseur de tension, celle-ci est proportionnelle aux résistances, u = u.j
Rk?
k
G j
Dans un diviseur de courant, celui-ci est proportionnel aux conductances, i = i.j
Gk?
k
Théorème de Millman
Le théorème de Millman est une forme particulière prise par la loi des mailles lorsque tous les dipôles parvenant en un nœud
d’un réseau sont linéaires, montés en parallèle depuis la masse, ou fournissent un courant connu. Les dipôles linéaires sont
modélisés selon le schéma de Thévenin ; on peut alors écrire la loi des nœuds, 0 = (h g u) i , si les i sont les? k k ? p p
pk
g e i? ?k k k p p
courants partants. On en déduit la tension du nœud (par rapport à la masse) sous la forme u = , qui porte le
? gkk
24nom de théorème de Millman . En particulier, si tous les i sont nuls :p
THÉORÈME DE MILLMAN
Si un nœud A d’un réseau linéaire ne comprend que des branches à courants nuls et des branches pas-
sives, de résistance r , reliant A à divers points de potentiels e , alors le potentiel du nœud A est unek k
g ek k?
k
moyenne des e avec pour coefficients les conductances g = 1=r : u = .k k k A
gk?
k
1.4.2 Théorèmes de Thévenin-Norton
Réseau linéaire
Un réseau formé uniquement de dipôles linéaires comporte N nœuds ; on peut alors, pour chaque nœud p, écrire la loi des
nœuds sous la forme 0 = h g (V V ), où le courant de court-circuit h est dirigé du nœud k vers le nœud p (cekp kp k p kp?
k
courant est nul si la branche k p est absente ou passive), tandis que la conductance g est celle de la même branche (ellekp
est nulle si la branche est absente).
On remarquera que le choix de la modélisation de Norton est purement arbitraire ; une démonstration dans le cadre de la
modélisation de Thévenin est aussi bien sûr possible.
On peut réécrire ces N équations sous la forme matricielle équivalente, [G][V] = [J]. Dans cette expression, le terme J dep
la p-ième ligne de la matrice [J] désigne la somme algébrique des courants de court-circuit des générateurs parvenant au
nœud p. De même, le terme de ligne k et de colonne p de la matrice [G], noté G , ne dépend que des conductances deskp
25branches du réseau . La résolution du système linéaire ci-dessus fournit la matrice colonne [J] des potentiels des nœuds. Il
23Nous exclurons de leur étude le cas des générateurs idéaux, nous réservant éventuellement de faire tendre vers zéro telle ou telle résistance ou
conductance, en fin de calcul, sans forcément exclure le cas où certaines grandeurs ainsi calculées n’admettraient alors pas de limite.
24Le théorème porte le nom de JACOB MILLMAN (1911–), professeur d’électronique américain.
25Plus précisément, J = h , G = g si k = p, et G = g .p ? kp kp kp pp ? kp
k k=p

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