Chapitre 3 sur le potentiel électrostatique

Zeghal

Description

Chapitre 3Le potentiel ´electrostatiqueLe champ ´electrostatique peut ˆetre caract´eris´e simplement `a l’aide d’une fonctionque nous appellerons potentiel ´electrostatique. Cette fonction scalaire est souvent plussimple `a d´eterminer que le champ ´electrostatique. Cette appellation sera justifi´ee parl’interpr´etationdecettefonctionentermed’´energiepotentielled’unechargesoumiseauxeffets d’un champ´electrostatique.3.1 Circulation du champ d’une charge ponctuelle3.1.1 Conservation de la circulation du champ~Le champ E cr´e´e par une charge ponctuelle q plac´ee au point O que nous prendrons−→ q e~rpour origine, est en coordonn´ees sph´eriques : E(~r) = . La circulation ´el´ementaire24πε r0~ ~ ~E.dr associ´ee `a un d´eplacement´el´ementaire dr est :~q e~.dr q 1r~ ~E.dr= = d(− ) (3.1)24πε r 4πε r0 0~avec dr=dr~e +rdθ~e +rsinθdϕ~e . La circulation de A `a B sur la courbe Γ ne passantr θ ϕpas par O s’´ecrit :ZB q 1 1~ ~C = E.dr= ( − )AB(Γ)4πε r r0 A BA(Γ)Elle ne d´epend pas du choix du chemin Γ suivi pour aller de A `a B. La circulation duchamp ´electrostatique pour aller d’un point A `a un point B se conserve si on emprunte0un autre chemin Γ reliant ces deux points. On dit que la circulation du champ cr´e´e par0une charge est conservative : C (Γ)=C (Γ).AB AB3.1.2 Champ de gradient et potentiel ´electrostatique d’unecharge ponctuelleEtant donn´e que pour une charge ponctuelle, la circulation ´el´ementaire du champ−→ q~´electrique s’´ecrit : E.dr = ...

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Extrait

Chapitre

Le

3

potentiel

´electrostatique

Lechamp´electrostatiquepeutˆetrecaracte´rise´simplementa`l’aided’unefonction quenousappelleronspotentiele´lectrostatique.Cettefonctionscalaireestsouventplus simplea`d´eterminerquelechamp´electrostatique.Cetteappellationserajustifi´eepar l’interpr´etationdecettefonctionentermed’´energiepotentielled’unechargesoumiseaux effetsd’unchamp´electrostatique.

3.1

Circulation du champ d’une charge ponctuelle

3.1.1 Conservation de la circulation du champ ~ Le champEquenintOrendousporsnpa´e´ecraupoc´eeqplaellecnutegophcrauren −→ q e~ r pourorigine,estencoordonne´essphe´riques:E(~r) = 2 me´eaintre.aLiccrlutaoi´nle 4πε 0 r ~ ~ ~ E.drossae´icua`ee´dne´em´tlemenelpcarentaidrest :

~ qe~ r .dr q1 ~ ~ E.dr= =d(−) (3.1) 2 4πε 0 r4πε 0 r ~ avecdr=dr~e r +rdθ~e θ +rsinθdϕ~e ϕ alucnoitL.ricaacrlrbouA`desuaBsspaneeΓtan pasparOs’e´crit: Z B q1 1 ~ ~ C AB(Γ) =E.dr= (−) A(Γ) 4πε 0 r A r B Ellened´ependpasduchoixducheminΓsuivipourallerdeA`aB.Lacirculationdu champe´lectrostatiquepourallerd’unpointA`aunpointBseconservesionemprunte 0 unautrecheminΓreliantcesdeuxpoints.Onditquelacirculationduchampcr´e´epar 0 une charge estconservative:C AB (Γ) =C AB (Γ ).

3.1.2Champdegradientetpotentiel´electrostatiqued’une charge ponctuelle Etantdonn´equepourunechargeponctuelle,lacirculatione´l´ementaireduchamp −→ q ~ ´electriques’´ecrit:E .dr=−dV(r~), avecV(~r+) = cte, nous pouvons identifier 4πε 0

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´ CHAPITRE 3. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE

lechampcr´e´eparlachargeponctuelle`aunchamp de gradient. En effet, le varia tion´ele´mentairedepotentiels’e´crit(danslesyste`medecoordonne´escart´esiennespar −→ ∂V ∂V ∂V ~ exemple) :dV(r~) = (dx+dy+dz) =rV(r~).dr. Par identification , on obtient : ∂x ∂y ∂z −→ −−→ −→ E(r~) =−gradV(~r) =− rV(r~) avec q1 V(r~+) = Cte 4πε 0 r o`uV(~r) est leequtitapoettnei´llecertsocarepe´r´egrahcalee´calpqIlesenO.finitd´e −→ `auneconstantepre`s.Onende´duitquelacirculationdeA`aBduchampEnerc´e´eparu chargeponctuelleqeste´gala`ladiff´erencedepotentielentrecesdeuxpoints: Z B q1 1 ~ ~ C AB(Γ) =E.dr= (−) =V(A)−V(B) (3.2) A(Γ) 4πε 0 r A r B

3.2

Potentiel charges :

e´lectrostatique

d’une

distribution

de

3.2.1 Circulation du champ d’une distribution Leprincipedesuperpositionnouspermetd’obtenirlechampcre´e´parunedistribution eneffectuantl’additiondeschampscr´e´esparchacunedespartiese´le´mentairesdela distribution.Parcons´equent,lacirculationduchampe´lectrostatiqued’unpointA`aun pointBnede´pendpasducheminΓsuivientreAetB(fig.3.1).Cettepropri´ete´duchamp ´electrostatiqueapourcorollaire:

Lacirculationduchamp´electrostatiquecr´e´eparunedistributionde chargesestconservative.Onende´duitquelacirculationduchamp e´lectrostatiquesuruncontour(courbeferme´e)estnulle(fig.3.2): I −→ −→ E . dl= 0 (3.3)

Cere´sultatestind´ependantducontourchoisi

Conse ´ quence:Uneedeclignrmfolairbone’uedepenpmahovasaptue´eleucrmfe surellemˆeme.Eneffet,lacirculationduchampsurunetellebouclenepourraitavoir qu’unevaleurfinie(saufsilechampestnulsurtoutelaboucleounonde´finiencertains points,cequiinterdiraitdelad´efinircommee´tantunelignedechamp).Ceseraiten contradictionaveclarelation3.3.Cettepropri´et´eesta`retenirlorsdutrace´deslignesde champ.

´ 3.2. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE D’UNE DISTRIBUTION DE CHARGES :29

~ Fig.3.1 – Circulation du champEsur une courbe Γ

~ Fig.3.2 – Circulation du hampEsur unecourbeΓferm´ee

Lacirculationd’unchamp´electriquequelconque´etantconservative,nouspouvons de´finirlafonctionV(r~ee)paep´lopettneuqtitaostrecell´ietelle que Z B −→ −→ V(B) =V(A) +E . dl(3.4) A La fonctionV(~rsedt)eia`e´nfionstunecpr`eantemahceL.srtcele´pqutitaosepe´r´ecranue distribution de charges quelconque est un champ de gradient dont l’expression en fonction dupotentiel´electrostatiqueest: −→ −−→ −→ E(M) =−grad V(M) =− rV(M) (3.5) Noussavonsquelerotationneld’unchampdevecteursde´rivantd’unefonctionscalaire −→ −→ ~ ~ ~ est nul :rot∧ r.f(r~) =r ∧ r.f(~rdoor´enncaes´ertl(0nomerertocne)=isneen)sO.n ende´duit: −→−→ ~ r ∧E(3.6)= 0

3.2.2 Expression du potentielVceoidnbituistrunedeparr´e´ charges. L’ope´rateurgradiente´tantunop´erateurlin´eaire,ilestpossibled’obtenirlepotentiel ´electrostatiqued’unedistribution,parsuperpositiondespotentielscre´´esparlescharges 1 δq p e´le´mentairesdeladistributionδq p situ´eesauopniPt:δV(M.) = 4πε 0 P M

L’expressionint´egraledupotentiel,s’annulanta`l’infini,cr´e´eparune distribution de chargesDd’extension finie est de la forme : Z Z Z 1δq p V(M) = D 4πε 0 P M

L’´el´ementdechargede´penddutypededistributionDnsssioxpredeseu’eneeL.e´´rsndico suivantesdonnant,a`uneconstantepre`s,lepotentiel´electrostatiqueserautilis´ee: