Contribution à la Modélisation Electrique, Electromagnétique et Thermique des Transformateurs -

Anthony Lefèvre

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• Publié par: Sazef
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• Langue: Français

Extrait

- Chapitre II : Méthodes de Modélisation des Transformateurs -


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II.2.1.3. Conditions de Passage

Les grandeurs électromagnétiques pourraient être discontinues à l'interface entre
deux milieux de propriétés différentes. Les conditions de passage (ou de transmission)
permettent alors d'exprimer les relations entre deux grandeurs U et U sur ces frontières. 1 2



Figure II.1 – Interface entre deux milieux

nD⋅− D=ρ (II.9) ()21 s

nB⋅− B=0(II.10)()21

nE×− E=0(II.11)( )21

nH×− H=K(II.12)( )21s

K et ρ sont respectivement les densités de courant et de charges surfaciques et n la s s
normale unitaire à l'interface orientée du milieu d'indice 1 vers celui d'indice 2 (figure II.1).

Pour K et ρ négligeable, les équations ci-dessus expriment une conservation des s s
composantes normale ou tangentielle des champs associés à l'interface.

Au-delà des milieux traversés par les ondes, le domaine d'étude n'est pas infini et
nécessite l'emploi de conditions supplémentaires à ses frontières.

II.2.1.4. Conditions aux limites spatiales et temporelles

Les valeurs d'un champ U aux frontières peuvent satisfaire principalement deux
conditions simples, voire des formulations particulières [Brunotte-91]. Ainsi aux limites du
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domaine, ce champ peut être soit normal (domaine symétrique) (II.13), soit de valeur
connue (II.14), ce qui se traduit par :

∂U
Condition de Neumann : = 0 (II.13)
∂n

Condition de Dirichlet:Un⋅= 0(II.14)

Les conditions aux limites temporelles sont en général fixées à des valeurs nulles à
l'instant initial.

II.2.1.5. Conditions de Jauge

Les relations constitutives des matériaux, les conditions de passage, ainsi que les
conditions aux limites ne suffisent pourtant pas à assurer l'unicité d'une solution et
l'utilisation de jauges est nécessaire à la résolution des équations de Maxwell.

Les champs intervenant dans les équations de Maxwell ne sont définis qu'à un
gradient (champ à rotationnel), ou un rotationnel près (champ à divergence).

Selon la formulation retenue et le type d'éléments de discrétisation (MEF), certaines
jauges sont alors préférables. Les principales jauges sont :

∇⋅U =0 (Jauge de Coulomb) (II.15)

∂u
∇⋅U +K =0 (Jauge de Lorentz)(II.16)
∂t

II.2.1.6. Régime Harmonique et Etat Quasi Stationnaire

Dans le cas des grandeurs sinusoïdales, l'opérateur de différentiation temporel, est
remplacé par j ω et les équations d'Ampère (II.1) et de Faraday (II.2) se ramènent alors à
la forme complexe suivante :

∇×HJ= +j ωD (II.17)

(II.18)∇×E= −j ωB

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Dans notre problématique, les fréquences sont suffisamment faibles pour pouvoir
négliger le courant de déplacement [Koppikar-98]. Ainsi, étant donné les matériaux
-1employés dans la conception de transformateur, la condition de stationnarité ω<< σε est
aisément vérifiée. La densité de courant est alors définie par la loi d'Ohm locale :

∂D
J+≈ JJ≈+σE (II.19) 0∂t

Cette densité de courant J peut se décomposer en une densité source J imposée à 0 ,
laquelle s'ajoute une densitéinduite J dans les matériaux conducteurs. e

II.2.1.7.Bilan des Puissances Electromagnétiques

En conservant les hypothèses précédentes, multiplions la conjuguée de l'équation
*d'Ampère par E, ainsi que l'équation de Faraday par H . En intégrant alors la différence
entre ces deux équations dans le volume du domaine d'étude Ω, délimité par une surface
fermée Γ, on obtient le bilan de puissance suivant :

** * * EJddΩ= E ×H ⋅n Γ−σωEEdΩ−jµH HdΩ (II.20) ( )0∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ΩΓ ΩΩ



SSPQ0 eJf

Dans cette équation, S , S , P et Q sont respectivement la puissance apparente 0 e J f
émise par la source, celle échangée avec l'extérieur par le biais du flux associé au vecteur
de Poynting, la puissance induite et dissipée par effet Joule et enfin la puissance réactive
stockée dans le volume.

II.2.2. Différentes Formulations Electromagnétiques

Dans le cas général, le domaine de représentation d'un problème magnétodynamique
est constitué (figure II.2) : d'un inducteur Ω parcouru par une densité de courant J , de 1 0
région conductrice simplement connexe Ω , multiplement connexe Ω , ou de type mince Ω 2 3 4
et siège de courants induits. Il comporte également des régions ferromagnétiques isolantes
simplement connexes ( Ω ) ou multiplement connexes ( Ω ) [Egem-02a, 02b, 02c]. 5 6

Dans un transformateur toutes ces régions peuvent être présentes ou bien combinées.

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Figure II.2 – Domaine d'étude générique d'un problème magnétodynamique

Le domaine d'étude Ω englobe ces régions distinctes ainsi que celle du milieu
environnant Ω . Il est notamment limité par des frontières Γ , Γ , sur lesquelles sont 0 B H
annulées respectivement la composante normale de l'induction magnétique et la
composante tangentielle du champ magnétique.

La résolution du problème électromagnétique quasi stationnaire, dans le domaine Ω,
nécessite le choix d'une formulation basée sur une grandeur caractéristique et en
association avec les relations constitutives, les relations de passage, les conditions aux
limites et les conditions de jauge [Chari-93].

On distingue deux catégories de formulations basées soit sur le champ électrique E,
soit sur le champ magnétique H. La première catégorie inclut surtout la formulation en
potentiel vecteur magnétique A et ses variantes. La deuxième catégorie comprend des
formulations en H ou la formulation en T- Ω.

*II.2.2.1. Formulation en Potentiel Vecteur Magnétique AV, A

L'équation de conservation du flux (II.3) permet d'introduire le potentiel vecteur
magnétique A tel que B= ∇×A [Biro-89]. Celui-ci est défini au gradient près d'un potentiel
électrique V. L'utilisation des équations de Faraday et d'Ampère donne alors la
formulation magnétodynamique recherchée [Piriou-93] :

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⎛⎞1 ∂A⎛⎞ ∇× ∇×A+ σ +∇V =J (II.21) ⎜⎟⎜⎟0µ ∂t⎝⎠⎝⎠

Le couple de solution A-V de cette équation n'est pas unique et tout couple A'-V'
l'est également pour u scalaire vérifiant :

A'=+A ∇u (II.22)
∂uVV'=−(II.23)
∂t
L'utilisation d'une jauge est implicite dans le cas bidimensionnel et permet d’assurer
l'unicité de la solution. Dans le cas d'une résolution par les éléments finis d'arêtes,
l'utilisation de l'algorithme du gradient conjuguée remplace l'utilisation de cette jauge
[Ren-96], [Kameari-97].

Il est également possible de regrouper les deux inconnues, pour passer à une
*formulation en potentiel vect